高等结构动力学2-模态综合法(动态子结构方法)

动态子结构方法/模态综合法•1.模态综合法的理论基础及基本概念•2.子结构的各种模态•3.固定界面模态综合法•4.自由界面模态综合法董兴建上海交通大学振动，冲击，噪声研究所机械大楼A832•模态综合法的进一步阐述有限单元法可成功将一连续系统转化为一个多自由度系统问题可求得：系统的固有频率，振型（模态），动力响应现代工程结构特征：庞大，复杂飞机，大型轮船，高层建筑，大型机械，航天器系统自由度成千上万阶，甚至几十万阶传统的动力特性和动力响应分析往往十分困难对策：从量级上大幅缩减整体结构自由度而不改变问题的本质模态综合法或动态子结构法－Hurty和GladWell等人于上世纪60年代初奠定了模态综合技术的理论基础－60年代末至70年代间，Craig和Bampton、Rubin、Hou、Hintz等人先后从各个不同侧面对古典的模态综合技术进行了改进和总结－我国学者王文亮、王永岩、张汝清等人也做了大量研究工作，使模态综合方法得到了进一步发展－上世纪60年代初，人们为了解决大型复杂结构系统整体动力分析困难问题而提出了模态综合技术－模态综合法主要分为固定界面模态综合法和自由界面模态综合法模态综合法的发展按照工程的观点或结构的几何轮廓，遵循某些原则要求，把完整的大型复杂结构人为地抽象成若干个子结构。首先对自由度少得多的各个子结构进行动态分析，然后经由各种方案，把它们的主要模态信息予以保留，以综合总体结构的动态特性动态子结构方法的基本思想：总系统（n个自由度）子结构1子结构2子结构n总系统（m个自由度，mn）子结构1子结构2子结构n……（1）分割总系统（2）子结构模态分析（3）综合子结构而成总系统方程并求解（4）再现子结构再现子结构：于整体结构中再现由模态坐标返回到物理坐标后的各子结构，以得到实际结构的主振型和位移及应力等动态响应•模态综合法理论基础－Ritz法取假设模态为若干个独立(线性无关)的假设振型的线性组合原n特征值问题转化为近似的s阶特征值问题()20KMw-=a1122ssXaaafff=+++=Dasn12sffféù=êúëûDT12saaaéù=êúëûaTKK=DDTMM=DD有如下结论221,2,iiisww==1,2,iiXis==DaTT00ijijXMXXKXij==¹TT()XXRXXX=KM带入瑞利商固定界面模态综合法：子结构交界面全部为固定约束如图所示：拆分为两个子结构自由界面模态综合法：子结构交界面全部为自由子结构1子结构2子结构1子结构2固定子结构1子结构2自由•模态综合法的基本概念固定界面模态综合法：自由界面模态综合法：子结构1子结构2mmmmmkkkkkk固定子结构1子结构2自由子结构1m/2子结构2m/2两个子结构a、buIuIuJ整体结构界面以一个例子说明模态综合法的基本步骤每个子结构的自由度分为内部自由度{uI}和界面自由度{uJ}：,}{aJaIauuubJbIbuuu}{根据界面连续性条件，有：}{}{bJaJuu由力的对接条件，有：}0{}{}{bJaJff界面内力合力为零•模态综合法的基本步骤子结构a、buIuIuJ整体结构界面系统动能：}]{[}{21}]{[}{21bbTbaaTabaumuumuTTT系统势能：}]{[}{21}]{[}{21bbTbaaTabaukuukuVVV两个子结构的质量阵两个子结构的刚度阵,}{aJaIauuubJbIbuuu}{uIuIuJ}]{[}{21}]{[}{21bbTbaaTabaumuumuTTT选择恰当的子结构的保留模态来构成子结构的李兹基：}]{[}{21}]{[}{21bbTbaaTabaukuukuVVV,}{aJaIauuubJbIbuuu}{aΦ][bΦ][做模态坐标变换：}{][}{},{][}{bbbaaapΦupΦu两个子结构的模态坐标通常子结构保留模态的个数少于它的自由度，即{pa}的分量数小于{ua}的分量数，也即模态坐标的数量小于物理坐标的数量称为第一次坐标变换第一次坐标变换：物理坐标模态坐标n1个n2个n1不一定与n2相等uIuIuJ}]{[}{21}]{[}{21bbTbaaTabaumuumuTTT}]{[}{21}]{[}{21bbTbaaTabaukuukuVVV,}{aJaIauuubJbIbuuu}{}{][}{},{][}{bbbaaapΦupΦu}]{[}{21}{][}{21}{][}{21pMppMppMpTTbbTbaaTa}]{[}{21}{][}{21}{][}{21pKppKppKpVTbbTbaaTabbbTbaaaTaΦmΦMΦmΦM]][[][][,]][[][][bbbTbaaaTaΦkΦKΦkΦK]][[][][,]][[][][baMMM][]0[]0[][][baKKK][]0[]0[][][bappp}{其中：(n1+n2)个uIuIuJ,}{aJaIauuubJbIbuuu}{}{][}{},{][}{bbbaaapΦupΦu}]{[}{21pMpTT}]{[}{21pKpVTbaMMM][]0[]0[][][baKKK][]0[]0[][][bappp}{[M]和[K]实际上是独立处理各子结构后得到的，而每个子结构的界面自由度{uJa}、{uJb}不是相互独立的，因此坐标{p}中的元素不是相互独立的，不独立坐标的个数d恒等于界面自由度数，例如上图中d＝3由界面连续性条件：}{}{bJaJuu}]{[}]{[bbJaaJpΦpΦ}0{babJaJppΦΦ}0{}]{[pCbJaJΦΦC][(n1+n2)个d个d个d行d行d行uIuIuJ,}{aJaIauuubJbIbuuu}{}{][}{},{][}{bbbaaapΦupΦubappp}{}0{babJaJppΦΦ}0{}]{[pC设{p}中独立广义坐标为{pI}，非独立广义坐标为{pd}：Idppp}{可写为：}0{][][IddIddppCC}]{[][}{1IdIdddpCCp所以，有：}]{[}{][][][}{1qSpICCpIdIdd][][][][1ICCSdIdd称为第二次坐标变换独立的模态坐标(n1+n2)个d行d个(n1+n2-d)个(n1+n2-d)个uIuIuJ,}{aJaIauuubJbIbuuu}{}{][}{},{][}{bbbaaapΦupΦu}]{[}{qSp][][][][1ICCSdIdd}]{[}{21pMpTT}]{[}{21pKpVTbaMMM][]0[]0[][][baKKK][]0[]0[][][bappp}{}{][}{21*qMqTT}{][}{21*qKqVT]][[][][*SMSMT]][[][][*SKSKT系统动能：系统势能：(n1+n2)个(n1+n2-d)个uIuIuJ,}{aJaIauuubJbIbuuu}{}{][}{},{][}{bbbaaapΦupΦu}]{[}{qSp][][][][1ICCSdIdd}{][}{21*qMqTT}{][}{21*qKqVT]][[][][]][[][][**SKSKSMSMTT系统的无阻尼自由振动的运动方程：}0{}{][}{][**qKqM广义特征值问题：}{][}{][**ΦMΦK新方程的阶数等于所选取的全部保留模态的总数减去对接自由度数(n1+n2)个(n1+n2-d)个(n1+n2-d)n1个n2个系统的无阻尼自由振动的运动方程：}0{}{][}{][**qKqM上述分析很容易推广到多个子结构组成的结构系统，困难的是如何构造和获取各子结构的保留模态来构成李兹基。各种不同的获取方法，便形成了不同的模态综合技术]][[][][],][[][][**SKSKSMSMTT对于一般的动力学分析问题，也可以得到缩聚方程为：****}{}{][}{][}{][RqKqCqM}{][}{],][[][][**RSRSCSCTT动态子结构方法/模态综合法•1.模态综合法的理论基础及基本概念•2.子结构的各种模态•3.固定界面模态综合法•4.自由界面模态综合法董兴建上海交通大学振动，冲击，噪声研究所机械大楼A832•子结构的两种模态和两类广义坐标系统的两类广义坐标：完备变换，自由度没有缩聚物理（几何）坐标模态坐标}]{[)()(),(1qtqxtxwiii例如，对于连续体：连续体离散后，有限n自由度系统：11}{][}{nnnnqu近代模态综合法中，子结构的模态基常取为：][][][ΦΨH[]:Ψ静力模态基，约束模态，附着模态等[]:Φ动力模态基，一般由子结构的固定界面或自由界面的低阶主模态组成，主模态物理坐标模态坐标•子结构的主模态和静力模态一个实际结构划分为若干个子结构后可能出现各种不同形式的子结构][][][ΦΨH约束模态主模态不同形式的子结构将对应不同形式的模态根据约束情况划分，可分为：约束的子结构自由悬浮的子结构子结构1子结构2子结构1子结构2受约束的子结构自由悬浮的子结构子结构的动力模态基和静力模态基，根据受约束和自由悬浮将有不同的含义下面分别讲述无刚体模态有刚体模态•受约束子结构（1）主模态可以分为三类：固定界面主模态：当子结构所有界面自由度受到约束时，所求出的子结构的主振型自由界面主模态：子结构没有一个对界面自由度受到约束时，所求出的子结构的主振型混合界面主模态：子结构部分对界面自由度受到约束时，所求出的子结构的主振型子结构1子结构2子结构1固定界面子结构1自由界面子结构1混合界面界面位移和转角为零界面位移为零•受约束子结构（1）主模态固定界面主模态自由界面主模态混合界面主模态2([][]){}{}w-=KMΦ0主模态可由下式求出：归一化：2[][][][],[][][][]diag()TTrwl===ΦMΦIΦKΦ][][][ΦΨH约束模态主模态子结构1子结构2子结构1固定界面子结构1自由界面子结构1混合界面•受约束子结构（1）主模态固定界面主模态自由界面主模态混合界面主模态2([][]){}{}w-=KMΦ0在模态综合法中，常常需取子结构低阶主模态来组成主模态矩阵[Фk]，以后称之为保留主模态，模态综合法正是因为舍去了子结构的高阶主模态而达到整体降阶的目的TT2[][][][],[][][][]diag()rw===ΦMΦIΦKΦλ][][][ΦΨH约束模态主模态子结构1子结构2子结构1固定界面子结构1自由界面子结构1混合界面•受约束子结构（2）约束模态将子结构的物理坐标{u}分割成两个集合：][][][ΦΨH约束模态主模态集合C：界面附加约束的自由度集合V：包含自然约束和无约束自由度所谓约束模态就定义在集合C上，依次给C集合中的每一个坐标一个单位位移而同时强制C集合内其余坐标的位移为零。这样物理坐标{u}产生的一系列静变形的集合就称为定义在集合C上的约束模态约束模态矩阵约束模态由下述方程确定：[][][][][][][][]VVVCVCVCCVCCCCCCéùéùéùêúêúêú=êúêúêúêúêúêúëûëûëûKKψ0KKIF附加界面约束反力子结构刚度阵表