抛物线及标准方程

2.4.1抛物线及其标准方程MNNMxyoxyoFF'F'F当0＜e＜1时，是椭圆.当e＞1时，是双曲线.思考1：当e=1时，它又是什么曲线？复习：椭圆和双曲线的第二定义平面内到一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹.(其中定点不在定直线上)如图，点是定点，是不经过点的定直线。是上任意一点，过点作，线段FH的垂直平分线m交MH于点M，拖动点H，观察点M的轨迹，你能发现点M满足的几何条件吗？MHLLLHFH提出问题：LMFHFH几何画板观察C问题探究：当e=1时，即|MF|=|MH|，点M的轨迹是什么？探究？可以发现,点M随着H运动的过程中,始终有|MF|=|MH|,即点M与点F和定直线l的距离相等.点M生成的轨迹是曲线C的形状.(如图)M·Fl·e=1H我们把这样的一条曲线叫做抛物线.二、抛物线的定义：1.MFle动点与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数，则这个点的轨迹是抛物线l.FMd.1.le定点F是抛物线的，定直线叫做抛物线的，常数＝是抛物线点准线的焦离心率注意：定点不在定直线上思考2：请自己动手建系探求抛物线的方程，怎样建系方程最简单？三、抛物线的标准方程：l.FMd.FlxF如图，以过点垂直于直线的直线为轴，和垂足的中点为坐标原点建立直角坐标系.xOyK||,(0),(,),FKppMxy设(,0),:22ppFlx则MFd三、抛物线的标准方程：22,(0)ypxp抛物线标准方程把方程y2=2px(p＞0)叫做抛物线的标准方程.其中p为正常数,焦点在x轴正半轴上.且p的几何意义是:焦点坐标是(,0),2p2px准线方程为:思考3:坐标系的建立还有没有其它方案也会使抛物线方程的形式简单？﹒yxo方案(1)﹒yxo方案(2)﹒yxo方案(3)﹒yxo方案(4)焦点到准线的距离图象开口方向标准方程焦点准线向右向左向上向下﹒yxo﹒yxoyxo﹒yxo﹒22(0)ypxp22(0)ypxp22(0)xpyp22(0)xpyp2px(,0)2pF(,0)2pF(0,)2pF(0,)2pF2px2py2py四．四种抛物线的对比练习：填表（填标准方程）方程焦点坐标准线方程28yx24yx(0,2)F2y(2,0)F2x28xy-2y28xy(0,2)F1(0,)16F214xy116y例1（1）已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标及准线方程（2）已知抛物线的焦点坐标是F（0，－1），求抛物线的标准方程（3）已知抛物线的准线方程为x=1，求抛物线的标准方程（4）求过点A（3，2）的抛物线的标准方程焦点F(,0)32准线：x=－32x2=－4yy2=－4xy2=x或x2=y4392待定系数法1.已知点P(x0,y0)是抛物线y2=2px(p0)上一点，则P到焦点F的距离|PF|=()02px2.已知点A(2,1),点M在抛物线y2=4x上移动，F是抛物线的焦点，则|MF|+|MA|的最小值是(),此时M的坐标是()3.已知M是抛物线上一动点，M到其准线的距离为d1,M到直线x+y=2的距离为d2,则d1+d2的最小值是().214yx31(,1)432222168.yxxy或22168.yxxy或4.若点M到点F（4，0）的距离比它到直线l:x＋5＝0的距离少1，求点M的轨迹方程.216.yx216.yxxlFOyM5.如图，一个动圆M与一个定圆C外切，且与定直线l相切，则圆心M的轨迹是什么？CMl以点C为焦点的抛物线.22(0),(2,3),,10ypxpAFAF作业：已知抛物线点为焦点，若抛物线上的动点到的距离之和的最小值为，求抛物线的方程(1)范围(2)对称性(3)顶点x≥0,y∈R关于x轴对称原点(0,0)抛物线和它的轴的交点抛物线的性质(4)离心率以y2=2px(p0)为例l.FMd.xOyKe=1方程图形范围对称性顶点离心率y2=2px（p＞0）y2=-2px（p＞0）x2=2py（p＞0）x2=-2py（p＞0）lFyxOlFyxOlFyxOx≥0y∈Rx≤0y∈Rx∈Ry≥0y≤0x∈RlFyxO关于x轴对称关于y轴对称（0,0）e=1Fxy思考：你能说出直线与抛物线位置关系吗？直线与抛物线的位置关系问题：已知直线l：y＝kx＋1和抛物线C：y2＝4x，试判断当k为何值时，l与C有：①一个公共点；②两个不同公共点；③没有公共点.判断直线与抛物线位置关系的操作程序：把直线方程代入抛物线方程得到一元一次方程得到一元二次方程直线与抛物线的对称轴平行相交（一个交点）计算判别式0=00相交相切相离总结：|AB|＝8例1斜率为1的直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点，求线段AB的长.OxyBAF法1：解出交点坐标法2：弦长公式法3：焦半径例2求准线平行于x轴，且截直线y＝x－1所得的弦长为的抛物线的标准方程.x2＝5y或x2＝－y.例3过抛物线y2＝4x的焦点F作直线l，交抛物线于A、B两点，求线段AB的中点M的轨迹方程.xFOyMBAy2＝2(x－1).101、在抛物线y2=64x上求一点，使它到直线Ｌ：4x+3y+46=0的距离最短，并求此距离..FxOy00(.)Pxy解：直线与抛物线无交点设抛物线上一点，02064xy则|9164634|00yxd5463400yx代入得：将64200yx546316020yyd)(,804616480020Ryyy2,24min0dy时当另解：与抛物线相切设直线034myx)24,9(P此时03160346422myymyxxy36:0m得由2、已知抛物线y=x2,动弦AB的长为2，求AB中点纵坐标的最小值.FABM解：),(),(),,(002211yxMAByxByxA中点设bkxylAB:设2xybkxy02bkxx241||22bkkAB由弦长bxxkyyy)2(221210bk2241122kkb220114kky41114122kk43411)1(时，取等号当k43min0y41:xylAB此时xoy另解：),(),(),,(002211yxMAByxByxA中点设xoyFABMCND,2BCADMN,41200yypMNBFBCAFAD,)41(20yBFAF2,ABBFAFABF中)41(20yBCAD2|)||(|minBFAF43min0y即2、已知抛物线y=x2,动弦AB的长为2，求AB中点纵坐标的最小值.2112222(0),,,(,),(,)1),2)1123)24)sinypxpFlABAxyBxyABABABAFBFppAB例：已知抛物线过焦点的直线交抛物线于不同两点，直线倾斜角为若试用的横坐标表示求证：以为直径的圆与准线相切求证：求证：过焦点弦的几何特征：思考：正三角形的一个顶点在原点，另两个顶点A、B在抛物线y2＝2px（p＞0为常数）上，求这个正三角形的边长.22168.yxxy或22168.yxxy或216.yxOxyBA43p已知抛物线y2=4x,过定点A(-2,1)的直线l的斜率为k,下列情况下分别求k的取值范围：1.l与抛物线有且仅有一个公共点；2.l与抛物线恰有两个公共点；3.l与抛物线没有公共点.直线与抛物线的关系尝试练习