抛物线及标准方程典型例题

典型例题一例1指出抛物线的焦点坐标、准线方程．（1）yx42（2）)0(2aayx分析：（1）先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种，求出p，再写出焦点坐标和准线方程．（2）先把方程化为标准方程形式，再对a进行讨论，确定是哪一种后，求p及焦点坐标与准线方程．解：（1）2p，∴焦点坐标是（0，1），准线方程是：1y（2）原抛物线方程为：xay12，ap12①当0a时，ap412，抛物线开口向右，∴焦点坐标是)0,41(a，准线方程是：ax41．②当0a时，ap412，抛物线开口向左，∴焦点坐标是)0,41(a，准线方程是：ax41．综合上述，当0a时，抛物线2ayx的焦点坐标为)0,41(a，准线方程是：ax41．典型例题二例2若直线2kxy与抛物线xy82交于A、B两点，且AB中点的横坐标为2，求此直线方程．分析：由直线与抛物线相交利用韦达定理列出k的方程求解．另由于已知与直线斜率及弦中点坐标有关，故也可利用“作差法”求k．解法一：设),(11yxA、),(22yxB，则由：xykxy822可得：04)84(22xkxk．∵直线与抛物线相交，0k且0，则1k．∵AB中点横坐标为：2842221kkxx，解得：2k或1k（舍去）．故所求直线方程为：22xy．解法二：设),(11yxA、),(22yxB，则有22212188xyxy．两式作差解：)(8))((212121xxyyyy，即2121218yyxxyy．421xx444)(22212121kxxkkxkxyy，448kk故2k或1k（舍去）．则所求直线方程为：22xy．典型例题三例3求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆心与抛物线的准线相切．分析：可设抛物线方程为)0(22ppxy．如图所示，只须证明12MMAB，则以AB为直径的圆，必与抛物线准线相切．证明：作lAA1于lBBA11,于1B．M为AB中点，作lMM1于1M，则由抛物线的定义可知：BFBBAFAA11,在直角梯形AABB11中：ABBFAFBBAAMM21)(21)(21111ABMM211，故以AB为直径的圆，必与抛物线的准线相切．说明：类似有：以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离，以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交．典型例题四例4（1）设抛物线xy42被直线kxy2截得的弦长为53，求k值．（2）以（1）中的弦为底边，以x轴上的点P为顶点作三角形，当三角形的面积为9时，求P点坐标．分析：（1）题可利用弦长公式求k，（2）题可利用面积求高，再用点到直线距离求P点坐标．解：（1）由kxyxy242得：0)44(422kxkx设直线与抛物线交于),(11yxA与),(22yxB两点．则有：4,122121kxxkxx)21(5)1(54)(5))(21(22212212212kkkxxxxxxAB53)21(5,53kAB，即4k（2）9S，底边长为53，∴三角形高5565392h∵点P在x轴上，∴设P点坐标是)0,(0x则点P到直线42xy的距离就等于h，即55612402220x10x或50x，即所求P点坐标是（－1，0）或（5，0）．典型例题五例5已知定直线l及定点A（A不在l上），n为过A且垂直于l的直线，设N为l上任一点，AN的垂直平分线交n于B，点B关于AN的对称点为P，求证P的轨迹为抛物线．分析：要证P的轨迹为抛物线，有两个途径，一个证明P点的轨迹符合抛物线的定义，二是证明P的轨迹方程为抛物线的方程，可先用第一种方法，由A为定点，l为定直线，为我们提供了利用定义的信息，若能证明PNPA且lPN即可．证明：如图所示，连结PA、PN、NB．由已知条件可知：PB垂直平分NA，且B关于AN的对称点为P．∴AN也垂直平分PB．则四边形PABN为菱形．即有PNPA．..lPNlAB则P点符合抛物线上点的条件：到定点A的距离与到定直线的距离相等，所以P点的轨迹为抛物线．典型例题六例6若线段21PP为抛物线)0(2:2ppxyC的一条焦点弦，F为C的焦点，求证：pFPFP21121．分析：此题证的是距离问题，如果把它们用两点间的距离表示出来，其计算量是很大的．我们可以用抛物线的定义，巧妙运用韦达定理，也可以用抛物线的定义与平面几何知识，把结论证明出来．证法一：)0,2(pF，若过F的直线即线段21PP所在直线斜率不存在时，则有pFPFP21,pppFPFP2111121．若线段21PP所在直线斜率存在时，设为k，则此直线为：)0)(2(kpxky，且设),(),,(222111yxPyxP．由)2()2(pxkypxky得：04)2(22222pkxkpxk2221)2(kkpxx①4221pxx②根据抛物线定义有：pxxPPpxFPpxFP21211211,2,2则FPFPFPFPFPFP212121114)(2)2)(2(22121212121pxxpxxpxxpxpxpxx请将①②代入并化简得：pFPFP21121证法二：如图所示，设1P、2P、F点在C的准线l上的射影分别是1P、2P、F，且不妨设1122PPmnPP，又设2P点在FF、11PP上的射影分别是A、B点，由抛物线定义知，pFFmFPnFP,,12又AFP2∽12BPP，1221PPFPBPAF即nmnnmnppnmmnnmp2112)(故原命题成立．典型例题七例7设抛物线方程为)0(22ppxy，过焦点F的弦AB的倾斜角为，求证：焦点弦长为2sin2pAB．分析：此题做法跟上题类似，也可采用韦达定理与抛物线定义解决问题．证法一：抛物线)0(22ppxy的焦点为)0,2(p，过焦点的弦AB所在的直线方程为：)2(tanpxy由方程组pxypxy2)2(tan2消去y得：0tan)(tan4tan422222ppx设),(),,(2211yxByxA，则4)cot21(tan)2(tan22122221pxxppxx又)(tan2121xxyy242222222222122122212sin2sin14)cot1(cot4sec44)cot1()tan1(4)()tan1())(tan1(pppppxxxxxxAB即2sin2pAB证法二：如图所示，分别作1AA、1BB垂直于准线l．由抛物线定义有：coscos11BFpBBBFpAFAAAF于是可得出：cos1pAFcos1pBF22sin2cos12cos1cos1ppppBFAFAB故原命题成立．典型例题八例8已知圆锥曲线C经过定点)32,3(P，它的一个焦点为F（1，0），对应于该焦点的准线为1x，过焦点F任意作曲线C的弦AB，若弦AB的长度不超过8，且直线AB与椭圆22322yx相交于不同的两点，求（1）AB的倾斜角的取值范围．（2）设直线AB与椭圆相交于C、D两点，求CD中点M的轨迹方程．分析：由已知条件可确定出圆锥曲线C为抛物线，AB为抛物线的焦点弦，设其斜率为k，弦AB与椭圆相交于不同的两点，可求出k的取值范围，从而可得的取值范围，求CD中点M的轨迹方程时，可设出M的坐标，利用韦达定理化简即可．解：（1）由已知得4PF．故P到1x的距离4d，从而dPF∴曲线C是抛物线，其方程为xy42．设直线AB的斜率为k，若k不存在，则直线AB与22322yx无交点．∴k存在．设AB的方程为)1(xky由)1(42xkyxy可得：0442kyky设A、B坐标分别为),(11yx、),(22yx，则：442121yykyy222122122212)1(44)(1))(11(kkyyyykkyykAB∵弦AB的长度不超过8，8)1(422kk即12k由223)1(22yxxky得：0)1(24)32(2222kxkxk∵AB与椭圆相交于不同的两点，32k由12k和32k可得：31k或13k故3tan1或1tan3又0，∴所求的取值范围是：34或4332（2）设CD中点),(yxM、),(33yxC、),(44yxD由223)1(22yxxky得：0)1(24)32(2222kxkxk9325313231322232)1(2,324222224322132243kkkxkkxxxkkxxkkxx则323211522k即3252x．3)1(2)1(23221222222xyxykkxxyk化简得：032322xyx∴所求轨迹方程为：)3252(032322xxyx典型例题九例9定长为3的线段AB的端点A、B在抛物线xy2上移动，求AB的中点到y轴的距离的最小值，并求出此时AB中点的坐标．分析：线段AB中点到y轴距离的最小值，就是其横坐标的最小值．这是中点坐标问题，因此只要研究A、B两点的横坐标之和取什么最小值即可．解：如图，设F是xy2的焦点，A、B两点到准线的垂线分别是AC、BD，又M到准线的垂线为MN，C、D和N是垂足，则2321)(21)(21ABBFAFBDACMN．设M点的横坐标为x，纵坐标为y，41xMN，则454123x．等式成立的条件是AB过点F．当45x时，41221Pyy，故22122)(212221221xyyyyyy，221yy，22y．所以)22,45(M，此时M到y轴的距离的最小值为45．说明：本题从分析图形性质出发，把三角形的性质应用到解析几何中，解法较简．典型例题十例10过抛物线pxy2的焦点F作倾斜角为的直线，交抛物线于A、B两点，求AB的最小值．分析：本题可分2和2两种情况讨论．当2时，先写出AB的表达式，再求范围．解：(1)若2，此时pAB2．(2)若2，因有两交点，所以0．)2(tanpxyAB：，即2tanpyx．代入抛物线方程，有0tan222pypy．故22222212csc44tan4)(pppyy，2222212212tancsc4tan)()(pyyxx．故422222csc4)tan11(csc4ppAB．所以ppAB2sin22．因2，所以这里不能取“=”．综合(1)(2)，当2时，pAB2最小值．说明：(1)此题须对分2和2两种情况进行讨论；(2)从解题过程可知，抛物线点弦长公式为2sin2pl；(3)当2时，AB叫做抛物线的通径．通径是最短的焦点弦．典型例题十一例11过抛物线pxy22)0(p的焦点F作弦AB，l为准线，过A、B作l的垂线，垂足分别为'A、'B，则①''FBA为（），②BAF'为（）．A．大于等于90B．小于等于90C．等于90D不确定分析：本题考查抛物线的定义、直线与圆的位置关系等方面的知识，关键是求角的大小以及判定直线与圆是否相切．解：①点A在抛物线上，由抛物线定义，则2