《新编基础物理学》-第九章真空中电场习题解答和分析

1题9-2解图第九章习题解答9-1两个小球都带正电，总共带有电荷55.010C,如果当两小球相距2.0m时，任一球受另一球的斥力为1.0N.试求总电荷在两球上是如何分配的？分析：运用库仑定律求解。解：如图所示，设两小球分别带电q1，q2则有q1+q2=5.0×10-5C①由题意，由库仑定律得：912122091014π4qqqqFr②由①②联立得：51521.210C3.810Cqq9-2两根6.0×10-2m长的丝线由一点挂下，每根丝线的下端都系着一个质量为0.5×10-3kg的小球.当这两个小球都带有等量的正电荷时，每根丝线都平衡在与沿垂线成60°角的位置上。求每一个小球的电量。分析：对小球进行受力分析，运用库仑定律及小球平衡时所受力的相互关系求解。解：设两小球带电q1=q2=q，小球受力如图所示220cos304πqFTR①sin30mgT②联立①②得：2o024tan30mgRq③其中223sin606103310(m)2rl2Rr代入③式，即：q=1.01×10-7C9-3电场中某一点的场强定义为0FEq，若该点没有试验电荷，那么该点是否存在场强？为什么？答：若该点没有试验电荷，该点的场强不变.因为场强是描述电场性质的物理量，仅与场源电荷的分布及空间位置有关，与试验电荷无关，从库仑定律知道，试验电荷q0所受力F与q0成正比，故0FEq是与q0无关的。9-4直角三角形ABC如题图9-4所示，AB为斜边，A点上有一点荷911.810Cq，B题9-1解图2点上有一点电荷924.810Cq，已知BC=0.04m，AC=0.03m，求C点电场强度E的大小和方向(cos37°≈0.8,sin37°≈0.6).分析：运用点电荷场强公式及场强叠加原理求解。解：如题图9-4所示C点的电场强度为12EEE994112201.8109101.810(N/C)4π()(0.03)qEAC994222204.8109102.710(N/C)4π()(0.04)qEBC222241241.82.7103.2410(N/C)(V/m)EEE或方向为：o44217.33107.2108.1arctanEEarctan即方向与BC边成33.7°。9-5两个点电荷6612410C,810Cqq的间距为0.1m，求距离它们都是0.1m处的电场强度E。分析：运用点电荷场强公式及场强叠加原理求解。解：如图所示：9661122019104103.610(N/C)4π10qEr9662222029108107.210(N/C)4π10qEr1E，2E沿x、y轴分解：61212cos60cos1201.810(N/C)xxxEEEEE61212sin60sin1209.3610(N/C)yyyEEEEE∴2269.5210(N/C)xyEEEo66xy101108.11036.9arctanEEarctan9-6有一边长为a的如题图9-6所示的正六角形，四个顶点都放有电荷q，两个顶点放有电荷－q。试计算图中在六角形中心O点处的场强。分析：运用点电荷场强公式及场强叠加原理求解。解：如图所示.设q1=q2=…=q6=q，各点电荷q在O点产生的题9-5解图题9-4解图C3题9-7解图题9-8解图电场强度大小均为：1236204πqEEEEEa各电场方向如图所示，由图可知3E与6E抵消.41520EEEEE据矢量合成，按余弦定理有：)60180cos()2)(2(2)2()2(2220ooEEEEE202002334232aqaqEE方向垂直向下.9-7电荷以线密度λ均匀地分布在长为l的直线上，求带电直线的中垂线上与带电直线相距为R的点的场强。分析：将带电直线无穷分割，取电荷元，运用点电荷场强公式表示电荷元的场强，再积分求解。注意：先电荷元的场强矢量分解后积分，并利用场强对称性。解：如图建立坐标，带电线上任一电荷元在P点产生的场强为：02204()dxdErRx根据坐标对称性分析，E的方向是y轴的方向qqqq-q-q题图9-6O.题9-6解图422222223/221/200220sin4()4()4()4LLLLdxRlEdxlRxRxRR9-8两个点电荷q1和q2相距为l，若（1）两电荷同号；（2）两电荷异号，求电荷连线上电场强度为零的点的位置.分析：运用点电荷场强公式及场强叠加原理求解。解：如图所示建立坐标系，取q1为坐标原点，指向q2的方向为x轴正方向.(1)两电荷同号.场强为零的点只可能在q1、q2之间，设距q1为x的A点.据题意：E1=E2即：122200||||4π4π()qqxlx∴112||||||qlxqq(2)两电荷异号.场强为零的点在q1q2连线的延长线或反向延长线上，即E1=E2122200||||4π4π()qqxlx解之得：112||||||qlxqq9-9如题图9-9所示，长l=0.15m的细直棒AB上，均匀地分布着线密度915.0010Cm的正电荷，试求：（1）在细棒的延长线上，距棒近端d1=0.05m处P点的场强；（2）在细线的垂直平分线上与细棒相距d2=0.05m的Q点处的场强；(3)在细棒的一侧，与棒垂直距离为d2=0.05m，垂足距棒一端为d3=0.10m的S点处的场强.分析：将均匀带电细棒分割成无数个电荷元，每个电荷元在考察点产生的场强可用点电荷场强公式表示，然后利用场强叠加原理积分求解，便可求出带电细棒在考察点产生的总场强。注意：先电荷元的场强矢量分解后积分，并利用场强对称性。题图9-9题9-9解图(1)dy5解：(1)以P点为坐标原点，建立如图（1）所示坐标系，将细棒分成许多线元dy.其所带电量为dqdy，其在P点的场强为dE，则2200ddd4π4πqyEyy∴1120011d114π4πdldyEyddl26.7510(N/C)(V/m)或方向沿Y轴负方向(2)建立如图所示的坐标系，将细棒分成许多线元dy.其所带电量为dqdy。它在Q点的场强dE的大小为：201dd4πyErdE在x、y轴的投影为：20πsinddcosdsind24πxEEEyr20πcosddsindcosd24πyEEEyr由图可见：2cydtg，2cscrd22cscdydd∴02dsind4πxEd02dcosd4πyEd由于对称性，dEy分量可抵消，则2211120202dsind(coscos)4π4πxEEdd又∵θ1=π-θ2∴13305.010910522coscos2499201120ddE31.510(N/C)方向沿X轴正方向6(3)在细棒一侧的S点处的场强。建立如图（3）所示的坐标系，分析如（2）则：211202d(coscos)4πxxEEd212102d(sinsin)4πyyEEd其中：312222320.12cos50.10.05ddd；11sin5322222320.051coscos(π)cos2()0.050.05ldldd21sin22231.4610(N/C)xyEEE。方向：与x轴的夹角：54.2yxEarctgE9-10无限长均匀带电直线，电荷线密度为λ,被折成直角的两部分.试求如题图9-10所示的P点和P′点的电场强度.分析：运用均匀带电细棒附近的场强公式及场强叠加原理求解。解：以P点为坐标原点，建立如题9-10解图(1)所示坐标系均匀带电细棒的场强：12210(coscos)(sinsin)4πaEij在P点：1π4，2π∴竖直棒在P点的场强为：题图9-10题9-9解图(2)题9-9解图(3)7102214π22aEij水平棒在P点的场强为：202214π22aEji∴在P点的合场强：1204πaEEEij即024πEa：方向与x轴正方向成45°.同理以P′点为坐标原点，建立如图题9-10解图(2)坐标：12210(coscos)(sinsin)4πaEij在P′点：13π4，2π∴竖直棒在P′点的场强为：102214π22aEij水平棒在P′点的场强为：202214π22aEji∴在P′点的合场强为：120[]4πaEEEij即：024πEa，方向与x轴成-135°.9-11无限长均匀带电棒1l上的线电荷密度为1,2l上的线电荷密度为2，1l与2l平行,在与1l，2l垂直的平面上有一点P,它们之间的距离如题图9-11所示,求P点的电场强度。分析：运用无限长均匀带电细棒的场强公式及场强叠加原理求解。解：1l在P点产生的场强为：1110102π0.8πaEii题9-10解图(1)x题9-10解图(2)x8题9-12解图2l在P点产生的场强大小为：22022πEa方向如题9-11解图所示。把2E写成分量形式为：22222220202002343cossin5π10π5π5πEEaaEiji+jij∴在P点产生的合场强为：12212000430.8π5π5πEEEij题9-11解图9-12一细棒被弯成半径为R的半圆形,其上部均匀分布有电荷+Q,下部均匀分布电荷-Q.如题图9-12所示,求圆心O点处的电场强度。题图9-11题图9-129分析：微分取电荷元，运用点电荷场强公式及场强叠加原理积分求解。将带电半圆环分割成无数个电荷元，运用点电荷场强公式表示电荷元场强。将电荷元电场进行矢量分解，再进行对称性分析，然后积分求解。解：把圆环分成无限多线元dl，dl所带电量为2ddπQqlR，产生的场强为dE。则dE的大小为：232200ddd2π2πQlQERR把dE分解成dEx和dEy，则：dsindxEEdcosdyEE由于+Q、-Q带电量的对称性，x轴上的分量相互抵消，则：0xEπ42222000cosd2d2cosdππyyQQEEERR∴圆环在O点产生的场强为：220QEjR9-13两平行无限大均匀带电平面上的面电荷密度分别为+б和-2б,如题图9-13所示,求:(1)图中三个区域的场强1E，2E，3E的表达式；（2）若б=4.43×10-6C·m-2，那么，1E，2E，3E各多大？分析：首先确定场强正方向，然后利用无限大均匀带电平板场强及场强叠加原理求解。解：（1）无限大均匀带电平板周围一点的场强大小为：02E∴在Ⅰ区域：10002222EiiiⅡ区域：200023222Eiii题图9-1310题9-15解图题9-16解图Ⅲ区域：30002222Eiii（2）若σ=4.43×10-6C·m-2则)(1050.221501mViiE)(1050.7231502mViiE)(1050.221503