2-2河南科技大学线性代数

§3逆矩阵上面我们讲了矩阵的运算，包括矩阵的加法，数乘矩阵，矩阵的乘法，你可能会发现连四种最基本的运算加、减、乘、除都没有讲全。我们只讲了加法、乘法，其实减法可以由加法和数乘推出来，()ABAB除法呢？事实上矩阵没有除法，所以你做题时出现例如BA这种形式肯定是错误的。记住这一点，矩阵没有除法，但有一种运算和除法差不多，就是逆。首先来给大家介绍一下为什么要引进逆矩阵，或者说逆矩阵产生的过程。由第一章的Cramer法则，我们知道Cramer法则不是求解下面这类方程组11112211211222221122,,(1).nnnnnnnnnnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb的一个很好的途径，今天换个思维看能不能找到好的方法。记1112111212222212nnnnnnnnaaaxbaaaxbAXBaaaxb1AXB则线性方程组（）变为,,baxbxAXBa由联想到解但矩阵没有除法。axb另外解也可以认为是11aaxabAXB根据这种思路解1AXBA把的两边同时左乘，得：11AAXAB11,aa因为11EAAE相当于数中的，所以11,XABAA所以称为的逆矩阵。这就是为什么要引进逆矩阵或逆矩阵产生的过程。1.nAnBABBAEABABA22定义阶方阵，若存在阶方阵，使得，则称是可逆的，把称为的逆矩阵，记作。ABBAB另外定义中和的地位是等同的，所以也是可逆矩阵，并且是的逆矩阵。关于这个定义，做两点解释：①可逆矩阵一定是方阵。AA②若可逆，则的逆唯一。反证法：,,BCAABBAEACCAE设均是的逆矩阵，则BBEBACBACECC所以逆唯一下面要解决的问题是：•什么样的矩阵可逆？•怎样求逆矩阵？为了回答这两个问题，先来看伴随矩阵的定义定义：n阶方阵A的伴随矩阵定义为.112111222212nnnnnnAAAAAAAAAA元素的代数余子式位于第j行第i列ijaijA性质.AAAAAE||000||000||AAA性质.AAAAAE证明AA||AE000||000||||AAA000000||||||AAA00000||||||0AAA111211121121222122221112nnnnmmmnnnnnaaaAAAaaaAAAaaaAAA000||00|0|||AAA||000||000||AAA回到刚才的逆矩阵，下面的定理回答了什么样的矩阵可逆以及怎样求逆矩阵的问题。定理2.1nnA可逆的充分必要条件是0A，且A可逆时，有1*1AAA。其中，*A为A的伴随矩阵。证明（充分性）11AAAAE因为可逆，于是存在，使，1110AAAAEA这样，所以。（必要性）**0AAAAAAE当时，由**AAAAEAA得：1*1AAAA于是矩阵可逆，且从这个定理可以得到简化定义的推论：11,,ABnABEBAEABABBA推论设都是阶方阵，若或，则都可逆，并且，。把此推论和定义比较一下，就会发现只要,ABEBAE中有一个成立就可以。推论是定义的简化，以后应用时用推论即可。,ABE证明：若1ABABE则0,0,,ABAB从而因此都可逆111AAEAABB111BEBABBA逆矩阵满足的运算规律：111,,AAAA①若可逆则也可逆且（和转置类似）1110AAAA②若可逆，数，则可逆，且（和转置不同）111,,,nABABABBA③若阶矩阵均可逆则也可逆且（和转置类似）11,,TTTAAAA④若可逆则亦可逆且（转置和逆运算可交换）证明关于矩阵逆的证明题有两种方法，1,AAE定理充分性的证明即是这一方法；111ABBA②验证法，比如③要证11ABBAE只要证即可。11111(),ABBAABBAEAAE因为1111(),ABABEABBA又所以①用定义，即凑成当矩阵A可逆时还可规定：0AE，kkAAA个，11kkAAA个112322,343.1AA21例求1*1公式,用AAA对矩阵的逆运算要求熟练掌握三阶数字矩阵求逆123243解213A1230250261230250012112131*122232132333AAAAAAAAAA11A11121432123221343A12A121213331322A2342123A6432213A6332312A2343123A4213213A5213312A222所以1*13-22641135365322222-211-1AAA求完后验证一下所求结果是否正确，1AAE例2.2设1231321221,,205334331ABCXAXBCX且满足，求:，右乘，得11AB解方程两边左乘1111AAXBBACB11XACB所以1A在上例中已求，131,52B21104104X所以二阶矩阵求伴随矩阵的规律：主对角线元素换位，副对角线元素变号。例2.3（学生做）1122223123,,,24136ABAB求1*3312362113AA31045222A1421212解134321222211B121120000,0,000nnAA求例2.41111210000000nA例2.5,,ABABABAB满足已知求矩阵（一元一次方程）1ABBABAA解两处错误，容易出错的两个地方1ABBAB①ABBBAE②正确的应该是：ABBAAEBA1BAEA所以