2-4河南科技大学线性代数

例2.17121224111221A化为行阶梯形，简化行阶梯形矩阵解121224111221A21312rrrr12120033003332rr121200330000（行阶梯形）21()3r121200110000（行阶梯形）12rr120100110000（简化行阶梯形）只能用行变换例2.18121102111A，求1A解121100102010111001AE21rr12110002111001010112110002111011100131rr23rr12110001010102111021r121100010101021110322rr12110001010100111213rr120012010101001112122rr1002140101010011121EA求出后，一定要验证一下对否。1A§6矩阵的秩一、矩阵的秩的概念显然，m×n矩阵A的k阶子式共有个．kkmnCC概念辨析：k阶子式、余子式、代数余子式mnAk的定义2.5矩阵阶子式:任取(,),mnAkkkmkn的行列位于这些行列交叉处的个元素按原位置次序构成的2k阶行列式,称为矩阵kmnAk的一个阶子式。与元素a12相对应的余子式2123123133aaMaa相应的代数余子式矩阵A的一个2阶子式12132223aaaa21231212123133(1)aaAMaa111213212223313233aaaaaaaaa111213142122232431323334aaaaaaaaaaaa规定：零矩阵的秩等于零．定义2.6矩阵的秩若中有一个阶子式不为零，且所有的阶子式（若存在）全为零，则称为的秩，记作AA1rrrRAr222321232122111213323331333132aaaaaaaaaaaaaaa矩阵A的一个3阶子式111213212223313233aaaaaaaaa矩阵A的2阶子式如果矩阵A中所有2阶子式都等于零，那么这个3阶子式也等于零．111213142122232431323334aaaaAaaaaaaaa根据行列式按行（列）展开法则可知，矩阵A中任何一个r阶子式（如果存在的话）都可以用r-1阶子式来表示．如果矩阵A中所有r-1阶子式都等于零，那么所有r阶子式也都等于零．事实上，所有高于r-1阶的子式（如果存在的话）也都等于零．因此矩阵A的秩就是A中非零子式的最高阶数．矩阵A的秩就是A中非零子式的最高阶数．显然，若矩阵A中有某个s阶子式不等于零，则R(A)≥s；若矩阵A中所有t阶子式等于零，则R(A)t．若A为n阶矩阵，则A的n阶子式只有一个，即|A|．当|A|≠0时，R(A)=n;可逆矩阵（非奇异矩阵）又称为满秩矩阵．当|A|=0时，R(A)n;不可逆矩阵（奇异矩阵）又称为降秩矩阵．若A为m×n矩阵，则0≤R(A)≤min(m,n)．R(AT)=R(A)．矩阵A的一个2阶子式TD矩阵AT的一个2阶子式111213142122232431323334aaaaAaaaaaaaa12132223aaaaDAT的子式与A的子式对应相等，从而R(AT)=R(A)．112131122232132333142434TaaaaaaAaaaaaa12221323aaaa例：求矩阵A和B的秩，其中123235471A21032031250004300000B解：在A中，2阶子式．12023A的3阶子式只有一个，即|A|，而且|A|=0，因此R(A)=2．例：求矩阵A和B的秩，其中123235471A解（续）：B是一个行阶梯形矩阵，其非零行有3行，因此其4阶子式全为零．以非零行的第一个非零元为对角元的3阶子式213032240004，因此R(B)=3．还存在其它3阶非零子式吗？21032031250004300000B例：求矩阵A和B的秩，其中123235471A解（续）：B还有其它3阶非零子式，例如2030128004212035180032020156003结论：行阶梯形矩阵的秩就等于非零行的行数．21032031250004300000B二、矩阵的秩的计算例：求矩阵A的秩，其中．32050323612015316414A分析：在A中，2阶子式．2012016A的3阶子式共有(个)，要从40个子式中找出一个非零子式是比较麻烦的．334540CC一般的矩阵，当行数和列数较高时，按定义求秩是很麻烦的.行阶梯形矩阵的秩就等于非零行的行数.一个自然的想法是用初等变换将一般的矩阵化为行阶梯形矩阵.两个等价的矩阵的秩是否相等？定理：若A~B，则R(A)=R(B)．应用：根据这一定理，为求矩阵的秩，只要用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是该矩阵的秩．例：求矩阵的秩，并求A的一个最高阶非零子式．32050323612015316414A解：第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵．行阶梯形矩阵有3个非零行，故R(A)=3．第二步求A的最高阶非零子式．选取行阶梯形矩阵中非零行的第一个非零元所在的列0161041004000B0325326~205161rA，与之对应的是选取矩阵A的第一、二、四列．32050164143236104311~20153000481641400000rA00325161326041~205004161000rABR(A0)=3，计算A0的前3行构成的子式3253256113266011216025205205因此这就是A的一个最高阶非零子式．分析：对B作初等行变换变为行阶梯形矩阵，设B的行阶梯形矩阵为，则就是A的行阶梯形矩阵，因此可从中同时看出R(A)及R(B)．例：设，求矩阵A及矩阵B=(A,b)的秩．1221124802,2423336064Ab(,)BAbA解：12211248022423336064B32314123rrrrrr12211006350021500631R(A)=2R(B)=312211000010002150000623344311016rrrrrr42233rrrr12211002150000100000例2.20求下列矩阵的秩（学生做）11210224203061103001A1234124511012B01112022200111111001C11210224203061103001A213123rrrr1121000000030410300143rr112100000003041000402334rrrr112100304100040000003RA1234124511012B2131rrrr123404110822322rr123404110000,2RB01112022200111111001C4311001011100002100003rr4RC1411001022200111101112rr21211001011100111101112r324211001011100002100022rrrr