3-1河南科技大学线性代数

第三章线性方程组n元线性方程组11112211211222221122nnnnmmmnnmaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb（3.1）3.1高斯消元法,aaaaaaaaaAmnmmnn21222211121112,nxxXx则上述方程组（3.1）可写成矩阵方程.AXb（3.1）若记12mbbbb称为线性方程组(3.1)的系数矩阵,mnA称为其增广矩阵。1mnmBAb当时称(3.1)为非齐次线性方程组,1mbO当时称为齐次线性方程组,1mbO考虑方程组24941372xyxyz鸡兔蛇同笼,足94,头37,问蛇至少几条?假设鸡只，兔只，蛇条xyz此时Cramer法则失效,消元法仍可行。249437xyxyz11224737xyxyz2124710xyyz12222710xzyz2122710xzyz对方程组的化简使用了下面两种运算：①用一个非零常数去乘方程组中某一个方程；②把一个方程的倍加到另一个方程上；kk有时候也使用③互换方程组中两个方程的位置。把这三种运算称为方程组的初等变换。显然，初等变换把一个线性方程组变为一个与它同解的线性方程组。另外，一个线性方程组由它的未知量的系数和常数项完全确定，因此一个线性方程组与它的增广矩阵是一一对应的。把上述过程用增广矩阵的初等行变换表示如下：249437xyxyz11224737xyxyz2124710xyyz24094111371121204711137r211204701110rr12222710xzyz2122710xzyz1221022701110rr211022701110r可以看出，上面对方程组进行初等变换的过程，实际上就是对它的增广矩阵进行初等行变换化为简化行阶梯形矩阵的过程。把线性方程组的增广矩阵化为简化行阶梯形,可以得到方程组的解。这种求方程组的方法就是高斯消元法。这种方法只允许用初等行变换。例3.1解线性方程组1234123412340,32,231.xxxxxxxxxxxx解对增广矩阵进行初等行变换B111101113211231B2131111100024200121rrrr11110002420012123212111100012100000rrr12110110012100000rr原方程组可化为124341,21,xxxxx4个未知数，2个有效方程，所以应该有2个自由未知数，所谓自由未知数就是不能由其它变量表示的未知数。比如将这两个方程改写为1241,xxx3421xx因为不能由其它的变量表示，所以写为24,xx2244,xxxx即124223444121xxxxxxxxx124223444121xxxxxxxxx4224410020100xxxxx24111100021010xx方程组的通解其中为自由未知量，24,xx24,xxR因为可以取任意实数，所以方程组的解实际上有无穷多个。?RA（2）110110012100000B有效方程几个？（2个）所以可理解为有效方程的个数RA个未知数，个有效方程，所以自由未知数的个数=nnRARA例3.2求解方程组1234123412342302455336682xxxxxxxxxxxx解:将增广矩阵进行初等行变换得121302455336682B213123121300031300312rrrr32121300031300005rr化为简化行阶梯形吗?不需要，如果把这个矩阵还原成方程组，最后一个方程代表什么意思？0=5，所以出现矛盾方程0=5原方程组无解例3.3求解方程组12323123,,202884599xxxxxxxx解:将增广矩阵进行初等行变换得121002884599B3141210028803139rr232123121001440013rrr132341203010160013rrrr12210029010160013rr12030101600133,3RAn所以自由未知量个数=0，所以解是唯一的，唯一解12329163xxx例3.4求下列方程组的解12345162524164133121241031xxxxx解:将增广矩阵化为简化行阶梯形162524164133121241031B21312162524002813000017rrrr2313216250100028010000017rrrr121603000028010000017rr122160300001405000017r124345630,45,7.xxxxxx1242234445063,,54,,7.xxxxxxxxxx123244524063010504001700,xxXxxxxxxxR定理3.1非齐次线性方程组11mnnmAXb(3.2)的解有三种情形:（1）方程组(3.2)无解;RARB（2）方程组(3.2)有唯一解;RARBn（3）方程组(3.2)有无穷多解.RARBn怎么来理解？BAb所以RARB无解时，出现矛盾方程0=a（实数），RARB有解时RARB有唯一解时，不含自由未知数，也就是自由未知数的个数=0，即0,nRA所以有唯一解时RARBn也可以这样来理解：有唯一解时,RARBnRA化行阶梯形矩阵的秩，也就是有用方程的个数=未知数的个数是简n所以有唯一解。无穷多解时，含自由未知数，也就是自由未知数的个数0nRA即,RAn所以有无穷多解时RARBn也可以这样来理解：无穷多解时，方程个数未知数个数，含有自由未知数。例3.5就的不同取值讨论下列方程组的解的情况.,kb2,.xykxyb解:增广矩阵行变换为1121Bkb21112012rkrkbk故(1)1,212,kbRARB此时方程组无解;(2)12,kRARB此时有唯一解(3)1,212,kbRARB此时有无穷多解.0340222032432143214321xxxxxxxxxxxx例3.6解齐次线性方程组齐次线性方程组的情形齐次线性方程组肯定有解，最起码存在一个零解所以对齐次方程组，关心的是它的非零解解对系数矩阵施行初等行变换化为最简形:r2-2r1r3-r1341122121221Ar3-r2r2÷(-3)r1-2r2000034210122146304630122100003421035201由最简形矩阵得原方程组的同解方程组为03420352432431xxxxxx由此可得4433432431342352xxxxxxxxxxx3,x4为自由未知量,可取任意实数.令x3=c1,,x4=c2,写成向量形式为121212121231425522334242,331001ccxxccccccRxcxc定理3.2齐次线性方程组11mnnmAXO(3.3)的解有两种情形:（1）方程组(3.3)只有零解有唯一解;RAn（2）方程组(3.3)有非零解有无穷多解.RAn有唯一解即“真正方程个数”=未知数个数什么时候有非零解？存在自由未知数时，即“真正方程个数”未知数个数.RAn推论1若则,mn11mnnmAXO有非零解.（方程个数未知数个数）推论211nnnnAXO有非零解0.nnA例3.7设线性方程组12312321231xxxxxxxxx解法一21111111B(,)BAb13211~11111rr问：取何值时，方程组无解，有唯一解，有无穷多解？并在有无穷多解时求出方程组的通解。对增光矩阵做初等行变换2211011100121121312223110110111rrrr3222223110110021rr113,RARB其通解为12322331xxxxxxx23,xxR111100000000B当时此时方程组有无穷多解12233111100010xxxxx1这时又分两种情形：2,3,RARB时22110110021B当时当方程组有唯一解2时当112403360003BRARB方程组无解解法二:此方法只适用于方程组中方程的个数和未知数的个数相等的特殊情况221111(1)(2)(1)(2)11A方程组有唯一解;1,20,A(1)当时,(2)当时,将其代入原方程组得1111100000000B13,RARB此时方程组有无穷多解(3)当时,将其代入原方程组得232112403360003rr21111212