3-2河南科技大学线性代数

§2n维向量组的线性相关性为什么要引进向量、向量组的定义呢？我们知道一个元方程可以用元有序数组1122nnaxaxaxb1nn12,,,,naaab来代表，所谓方程之间的关系，实际上是代表它们的元有序数组之间的关系，因此，我们先来讨论多元有序数组。1n一、n维向量、向量组定义1n个数a1，a2，，an组成的有序数组称为n维向量，记为a叫做n维列向量，aT叫做n维行向量。（实际上就是矩阵中n=1的情况）。数ai叫做向量的第i个分量。向量一般用a、b、g等符号表示。如果没有特殊说明，向量指的是列向量。向量作为一种特殊的矩阵，它的运算按矩阵运算就可以。12naaaa定义2：若干个同维数的列向量（行向量）所组成的集合称为向量组．11121314342122232431323334aaaaAaaaaaaaa1234,,,aaaa123TTTbbb1122nnxxxbaaa线性方程组的向量表示11112211211222221122nnnnmmmnnmaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb（1）AXb1112112122221212nnnmmmnmaaabaaabxxxaaab定义：给定向量组A：a1,a2,…,am，对于任何一组实数l1,l2,…,lm，表达式l1a1+l2a2+…+lmam称为向量组A的一个线性组合．l1,l2,…,lm称为这个线性组合的系数．定义：给定向量组A：a1,a2,…,am和向量b，如果存在一组实数k1,k2,…,km，使得b=k1a1+k2a2+…+kmam则向量b是向量组A的线性组合，这时称向量b能由向量组A线性表示．（2）（1）（2）两式是一样的，也就是（2）也表示这样一个方程组，如果存在使得（2）成立，也就是AXb12,,,mkkkAXb这个方程组有解，上节课知道所以下面定理成立。AXb有解RARAb定理1b可由向量组12:,,,mAaaa线性表示1212mmRRaaaaaabb可由向量组12:,,,mAaaa线性表示，即存在12,,,mkkk使得1122,mmkkkbaaa由于12,,,mkkk相当于线性方程组中的12,,,mxxx，也就是方程组有解，所以1212mmRRaaaaaab例1：设123100,,010001Eeee100203170001123237eee237b那么线性组合的系数e1,e2,e3的线性组合一般地，对于任意的n维向量b，必有1231000010000100001nbbbb123nbbbbbn阶单位矩阵En的列向量叫做n维单位坐标向量．1231000010000100001nbbbb123nbbbbb1000010000100001nE任何一个n维向量都可以表示成n维单位坐标向量的线性组合例2设121272,5,4563aab问可否由线性表示,可则表之.b12,aa解:设可由线性表示b12,aa1122kkbaa12127254563kk12127254563kk12127254563kk对增广矩阵进行行变换得到12127254563aab1270918016321030120002RARB（未知数个数），方程组有唯一解，123,2kk故可由线性表示,且可以唯一表示为b12,aa1232.baa定义3设有n维向量组a1，a2，，am，如果存在一组不全为零的数l1，l2，，lm，使l1a1l2a2lmamO，则称向量组a1，a2，，am线性相关，否则称它线性无关。二、线性相关与线性无关易见向量组a1，a2，，am线性相关的充分必要条件是：以x1，x2，，xm为未知量的齐次线性方程组x1a1x2a2xmamO有非零解。000221122221121221111mmnnnmmmmxaxaxaxaxaxaxaxaxa即：有非零解。向量组a1,a2,,am线性相关/线性无关的一般判定方法1设有一组数l1，l2，，lm，使l1a1l2a2lmamO成立。（1）000221122221121221111mmnnnmmmmaaaaaaaaalllllllll2)或通过向量的线性运算,将(1)式化为如下齐次方程组(2)3)判断上面关于l1,l2,,lm方程组（1）或(2)有无非零解?若有非零解，则a1,a2,,am线性相关；否则,线性无关。备注：给定向量组A，不是线性相关，就是线性无关，两者必居其一．向量组A：a1,a2,…,am线性相关，通常是指m≥2的情形.若向量组只包含一个向量：当a是零向量时，线性相关；当a不是零向量时，线性无关．a1,a2线性相关当且仅当a1,a2的分量对应成比例，其几何意义是两向量共线．a1,a2,a3线性相关的几何意义是三个向量共面．讨论：1.含有零向量的向量组是否线性相关。结论：1.含有零向量的向量组一定线性相关。12000nOOlaaa例3判断向量组（3维单位坐标向量）1231000,1,0001eee的相关性.解:12310000100,0010kkk123000kkk123,,eee线性无关例4判断下列向量组的相关性.1231353,9,726haaa析:按定义求解吗？h不知道，玄机在何处?213,aa又如何呢?112233kkkOaaa故线性相关.123,,aaa我们的目标是找三个数使下面的式子成立12330Oaaa如果三个数不全为零，线性相关；否则，线性无关。例5判断下列向量组的相关性.123412472,5,5,85669aaaa分析:判断其相关性也就是判断11223344kkkkOaaaa有没有非零解，其中是未知数，1234,,,kkkk系数矩阵1234,,,Aaaaa是的。34利用上节推论1：若mn则11mnnmAXO有非零解，故相关。例5.讨论向量组的线性相关性。解：设有一组数321,,xxx使0332211aaaxxx所以方程组有非零解。即存在一组不全为零的数321,,xxx（如21x,12x,13x）使0332211aaaxxx所以321,,aaa线性相关)3,1,1(),5,3,1(),1,1,1(321aaa123111,,131153Aaaa111111022022044000A23RA定理2向量组a1，a2，，am线性相关的充要条件是：向量组中至少有一个向量可以由其余向量线性表示。充分性：因为a1，a2，，am线性相关，故存在不全为零的数l1，l2，，lm，使l1a1l2a2lmamO。不妨设l10，于是mmαααα)()()(13132121llllll，即a1可由a2，a3，，am线性表示。必要性：不妨设a1可由其余向量线性表示：a1l2a2l3a3lmam，则存在不全为零的数1，l2，l3，，lm，使(1)a1l2a2l3a3lmamO，即a1，a2，，am线性相关。证明：定理3给定向量组记12,,,,naaa12,,,nAaaa则:(1)向量组线性相关12,,,naaaAxO有非零解;RAn(2)向量组线性无关12,,,naaaAxO只有零解;RAn推论1若向量组中向量个数大于维数,则向量组线性相关.证设是维向量组，且，则由这个向量12,,,naaamnm组构成的矩阵是的矩阵，所以12,,,naaamn12,,,nRmnaaa由定理3，线性相关。12,,,naaa定理4给定向量组则:12,,,,naaa（1）若向量组线性相关，则向量组12,,,naaa121,,,,,,npaaabb线性相关。（向量组部分相关，则全体相关）1122nnkkkOaaa1122100nnpkkkOaaabb12121112111121212222122212121,11,21,,,,,,,nnnnnnmmmnmmmnmmmnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaabbb增加维数（2）若向量组线性无关，则向量组12,,,naaa1,,nbb线性无关.（维数少的无关，维数多的也无关）证：令121,,,,,,nnABaaabb显然,RARB又线性无关，所以12,,,naaaRAn即又只有列，所以RBnBn,RBn所以,RBn即线性无关。1,,nbb定理5若向量组线性无关,向量组12,,,naaa12,,,,nbaaa线性相关,则可由唯一线性表示。b12,,,naaa证：记1212,,,,,,,,nnABbaaaaaa有,RARB因线性无关,12,,,naaaRAn12,,,,nbaaa线性相关,1.RBn从而1,nRBnRBn因此有唯一解，Axb所以可由唯一线性表示。b12,,,naaa()RARBn向量组线性相关性的判定（重点、难点）向量组A：a1,a2,…,am线性相关存在不全为零的数k1,k2,…,km，使得k1a1+k2a2+…+kmam=O．m元齐次线性方程组Ax=O有非零解．矩阵A=(a1,a2,…,am)的秩小于向量的个数m．向量组A中至少有一个向量能由其余m－1个向量线性表示．向量组线性无关性的判定（重点、难点）向量组A：a1,a2,…,am线性无关如果k1a1+k2a2+…+kmam=O,则必有k1=k2=…=km=0．m元齐次线性方程组Ax=O只有零解．矩阵A=(a1,a2,…,am)的秩等于向量的个数m．向量组A中任何一个向量都不能由其余m－1个向量线性表示．例