3-3河南科技大学线性代数

§3最大线性无关组主要内容:一．等价向量组二．向量组的极大线性无关组三．向量组的秩与矩阵秩的关系一、等价向量组定义1：如果向量组中的每一个向量12:,,,mA(1,2,,)iit都可以由向量组12:,,,sB线性表示，那么就称向量组A可以由向量组B线性表示。若同时向量组B也可以由向量组A线性表示，就称向量组A与向量组B等价。1,,2,12211mikkksisiii2,,2,12211silllmimiii即（1）反身性：一个向量组与其自身等价；（2）对称性：若向量组与等价，则和等价；ABABA（3）传递性：与等价,与等价，则与等价。CCAB向量组的等价关系具有以下三个性质：BNote若,AB则能由线性表示.12123:,,:,,ABAB例1说明向量组与向量组等价，其中分别为：B,ABA1321233,,aARaaaaRa1231000,1,0001Beee表示所有3维向量的集合A析:由121233100010001aaaaaa知道向量组中任一向量可由向量组线性AB表示,反过来是显然的,BA若则能由线性表示.BA二、向量组的最大线性无关组定义2:对向量组A，如果在A中有r个向量012:,,,rA满足：012:,,,rA线性无关。（1）那么称部分组为向量组的一个最大（线性）无关组。0AA（2）A中的任意r+1个向量（若A中存在r+1个向量的话）都线性相关注:（1）对最大的理解，只要再加上一个，就变成相关的了（2）一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身。等价定义:对向量组A，如果在A中有r个向量12,,,r满足：012:,,,rA线性无关。（1）那么称部分组为向量组的一个最大线性无关组。0AA（2）A中的任一向量都能由线性表示。012:,,,rA（3）最大无关组与的关系A,A可由12,,,r线性表示，则可由A12,,,r线性表示；又为的一部分，则可由线性表示。12,,,rAA12,,,r所以与可互为线性表示，即A12,,,r0AA向量组与它的最大无关组等价A0A（4）最大无关组是否唯一？不唯一,它们之间是等价的关系（所含向量个数相等）。例如1010,1,1000abc0abc所以线性相关任意两个都无关，所以这个向量组的最大无关组是,;,;,abacbc三、向量组的秩与矩阵秩的关系定义3：向量组的最大无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩,记作例如：向量组的1231010,1,1000秩为2。12(,,,)sR1.向量组的秩怎么样求一个向量组的秩，求最大无关组呢，根据下面的定理定理1在中，个行向量的秩等于个列向量的秩，等于的秩。mnAmnA根据定理，求向量组的秩时，只要把向量组写成一个矩阵，求出矩阵的秩就可以了。例2求所有3维向量组成的向量组的秩及一个最大无关组3R解由例1知，线性无关，123,,eee3123,,,,Reee线性相关（向量个数向量维数）所以为最大无关组，123,,eee33RR例3求向量组12341,2,2,0,1,1,1,2,1,0,4,4,0,2,3,3TTTT的秩及一个最大无关组。（考试中常出现的题目，要求大家熟练掌握）解根据定理，把向量组写成矩阵的形式。以向量1234,,,为列组成矩阵，对其进行初等行变换，化为行阶梯形矩阵A123411102102,,,21430243A2131221110012203630243rrrr422322131110012200090001rrrrr343191110012200010000rrrBmnAmnA根据中，个行向量的秩等于个列向量的秩，等于的秩。所以1234,,,3RRARB最大无关组这样来找：是一个行阶梯形矩阵，在每一个阶梯中选一个“元素”B（属于同一阶梯），得到或者是''23,'''124,,'''134,,。从而对应向量组或者是构成124,,134,,1234,,,的最大线性无关组。这种方法找出来的一定是最大线性无关组，但不一定所有的最大无关组都可以用这种方法找到。例4：向量组12345(7,2,1,11),(1,1,5,8)(3,1,1,4),(5,3,7,0),(4,2,1,11)TTTTT求向量组的秩和一个极大无关组。解：7135421132151711184011A311517121132713541184011rr21314127111517109111003644430637770rrrrrr324247151710911100000300000rrrrB()3RA又因为B的1，2，5列是B的列向量组的一个极大无关组所以，125,,是12345,,,,的一个极大无关组。考虑：是否还有其他的极大无关组？135,,145,,与例4求向量组12341,1,2,2,1,0,2,1,5,1,2,0,3,1,3,1,1,0,4,1TTTT的秩及一个最大无关组，并判断其相关性，用最大无关组表示其余向量。解根据定理，把向量组写成矩阵的形式123410211201,,,213025141131A10210220011205520112102101100112055201121021011000010000000010210220011205520112所以1234,,,3RRA124,,为向量组的一个极大线性无关组。因为秩的个数向量的个数，所以线性相关。1234,,,用最大无关组表示其余向量，这时选非零行的第一个非零元所在的列为最大无关组，然后将矩阵继续化为简化行阶梯形，10210110000100000000因为维向量可由表示为n12nxxx12,,neee1122nnxexexe其中为12,,neee100010,,,001类似地31221310200110000100000000rr例5：求向量组1234(2,4,2),(1,1,0),(2,3,1),(3,5,2)的一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示。解：设212341352012A2123011101112123011100002012011100001210101110000B则B的1，2列为极大无关组，且123124121,11所以12,为所求的一个极大无关组，且123124121;11定理2向量组能由向量组线性表示，则()()RARBAB定理3向量组与向量组等价的12:,,nA12:,,nB充分必要条件是,RARBRAB例5设有向量组（Ⅰ）：123(1,0,2),(1,1,3),(1,1,2)TTTa和向量组（Ⅱ）：123(1,2,3),(2,1,6),(2,1,4)TTTaaaa试问：当为何值时，向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）等价？当为何值时，向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）不等价？a解：对构成的矩阵做初等行变换，,123123111122(,,,,,)011211232364aaaa111122011211001111aaaa所以，①当时，1a123123123,,3,(,,,,,)3RR另外，123122,,211364aaa123(,,)3R123100,,011111aaa故123123123123(,,,,,)3(,,)(,,)RRR向量组等价60123(,,)3R100011011aa100011001②当时，1a123123111122(,,,,,)011211000202所以123123(,,)2,(,,)3,RR123123(,,,,,)3R向量组不等价。例6已知向量组123(0,1,1),(,2,1),(,1,0)TTTab与向量组123(1,2,3),(3,0,1),(9,6,7)TTT具有相同的秩，且可由线性表示，求的值。123,,3,ab解：对矩阵做初等行变换123,,139139206012317000123,,2R所以12,且是一个极大无关组又因为123123,,,,RR123,,2R所以1230,,1210110ab另一方面，可由线性表示，123,,3所以，可由线性表示，312,12123,,,2RR即12313,,2010310b3ab5b