3-4河南科技大学线性代数

§4线性方程组解的结构一、齐次线性方程组解的结构二、非齐次线性方程组解的结构解的性质、基础解系、全部解解的性质、全部解三、相关习题齐次线性方程组的矩阵形式为Ax=O(*)设x1=c1，x2=c2，，xn=cn是齐次线性方程组的解，则称向量为齐次线性方程组的解向量，简称解。a11x1+a12x2++a1nxn=0a21x1+a22x2++a2nxn=0am1x1+am2x2++amnxn=0齐次线性方程组的矩阵形式一、齐次线性方程组解的结构12,,Tnxccc=解向量齐次线性方程组Ax=O一定有解，其中x=O就是一个解。齐次线性方程组解的性质:证明12()A+12,,AOAO==（1）若为的解，则21,()21+也是的解.()（2）若为的解，为实数，则k()k也是的解.()证明()Ak12AA=+OO=+.O=kA=kO=.O=均是的解,则它们的综上所述,若()12,,,s1122sskkk+++线性组合也是的解.()定义齐次线性方程组)(的一组解向量s,,,21如果满足：(1)线性无关；s,,,21(2)的任一解向量均可被)(s,,,21线性表示，则称s,,,21为)(的一个基础解系。)(若只有零解，则基础解系不存在。基础解系即为全体解向量组的极大无关组。设A为mn矩阵,若()RAn,则齐次线性方程组AxO=存在基础解系,且含(A)nR个向量。定理证略下面举例说明求下面齐次线性方程组的一个基础解系，并用基础解系表示出全部解。例1解123451234523451234503230226054330xxxxxxxxxxxxxxxxxxx++++=+++=+++=+++=11111321130122654331A=31413511111012260122601226rrrr111110122600000000001011501226,0000000000()25,RA=自由未知量取为345,,,xxx11111012260122601226134523455226xxxxxxxx=++=334455xxxxxx===基础解系:112,100=356,001=212,010=全部解为112233,xkkk=++(1,2,3)iki=任意实数。134523455226xxxxxxxx=++=334455xxxxxx===12334545115226100010001xxxxxxxx=++方程组的通解基础解系实际上是自由未知数后面所乘的那些向量。由于基础解系实际上是解向量的最大无关组，最大无关组不唯一，所以基础解系也是不唯一的，但基础解系所含向量个数是一定的。基础解系含向量的个数=自由未知数的个数=nRA若是一个基础解系，则齐次方程组的通解12,,,nr11nrnrXkk=++二、非齐次线性方程组解的结构()Axb=111212122212,nnmmmnaaaaaaAaaa=12,nxxxx=11112211211222221122,,.nnnnmmmnnmaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb+++=+++=+++=12.mbbbb=()AxO=称为()的导出组。非齐次线性方程组解的性质:证明12()A12,,AbAb==（1）若为的解，则12,()21是的解.()证明()A+（2）若为的解，()为的解，()则是的解.+()12AA=.bbO==AA=+.bOb=+=例3解求方程组的全部解.1234123412342132344352xxxxxxxxxxxx++=+=++=1435207595014101810211113213414352B=()()2RARB==所以有无穷多解。1435207595,000004,n=1435207595000001161077759501,77700000134234116777595777xxxxxx=++=3344xxxx==123434116777595777100010xxxxxx=++导出组的基础解系：115,70=219,07=特解：0675,700=所以全部解为01122,xkk=++12,kk任意。123434116777595777100010xxxxxx=++设非齐次线性方程组()Axb=全部解的求法：满足()(),RBRArn==则有无穷多解,()AxO=导出组(1)求出导出组的基础解系()12,,,,nr(2)求出原方程组的一个特解()0,则()的全部解为01122,nrnrxkkk=++++其中12,,,nrkkk为任意常数.例2四元非齐次方程组中，，是其三个解，3RA=AXb=123,,1231112,1314=+=求的通解。AXb=解非齐次方程组通解=非齐次方程组的特解+对应齐次方程组的通解，要求对应齐次方程组的通解，就要先求出基础解系。基础解系含向量的个数=431nRA==所以只要求出一个的非零解就可。AXO=因为是的解，123,,AXb=所以是的解。2131,AXO=所以是的解。21312312+=+AXO=23110212+=所以的通解：AXb=11012Xk=+例3用基础解系表示出下列线性方程组的通解23424538213496xyzxyzxyzxyz++=+=+=+=解：对增广矩阵进行初等行变换，有B23141245382134196B=212xzyzzz==+=1021011200000000于是211210xykz=+（为任意常数）k例4求一个齐次线性方程组，使它的基础解系为120123,3210TT==解：根据已知，可得方程组的通解为12123403122130xxccxx=+212xzyzzz==+=与此等价地可以写成12212312413223xcxccxccxc==+=+=12123403122130xxccxx=+所以412413233233xxxxxx=+=+124134230320xxxxxx+=+=例5当为何值时，线性方程组131231244226423xxxxxxxx+=++=+++=+有解，并求出解的一般形式解：101412261423BAb==++2131461010123201243rrrr++1010123201243++32101012230001rr1=时方程组有解1=时101101210000B132333112,xxxxxx==+=1231112,01xxkkRx=+例6设线性方程组试就的取值讨论方程1231231234324pxxxxtxxxtxx++=++=++=,pt组的解的情况，并在有无穷多解时求出通解。解：114:1131214pAbtt=12213111301143001rrrprrrtptppt3211301142001rprtppt+3211301142001142rtrtpppttpt+11301142001142tpppttpt+（1）当（即）时，方程组有唯一解10pt1,0pt（2）当且时，方程组无解，10pt=1420tpt+此时包含两种情况1p=①②0t=（3）当且时，方程组有无穷多解10pt=1420tpt+=11-202tt且即112pt=且（3）当且时，方程组有无穷多解10pt=1420tpt+=10pt==或当时，1p=114202ttt+==即112pt==且当时，1=0矛盾，不成立0t=11,2pt==当时，11132:01020000Ab1012010200001323322xxxxx=+==方程组的通解为123332120,01xxxxRx=+法二：根据Cramer法则，当方程组的系数矩阵的行列式不等于零时，方程组有唯一解。321111pt+=1111121ptt32111100rrptt=1tp=所以，当方程组有唯一解10pt且1）当时1p=11301142001142tBpppttpt+113010200012tt=12t=当时，方程组有无穷多解当时，方程组无解12t因此当时，方程组有无穷多解11,2pt==因此当时，方程组无解11,2pt=0t=2）当时，11301142001142tBpppttpt+1013011420001pp=方程组无解一、线性相关性的基本要求1）掌握线性表示、线性相关、线性无关、极大无关组、向量组的等价、向量组与矩阵的秩等概念，理解它们之间的关系；2）会判断向量组的线性相关性，会求向量组的秩与矩阵的秩，会求极大线性无关组；3）会证明一些简单线性相关性的题目。二、内容提要１．重要概念如果有一组数1，2，，m，使b=1a1+2a2++mam，称b可由a1，a2，，am线性表示。如果存在一组不全为零的数1，2，，m，使1a1+2a2++mam=O，则称向量组a1，a2，，am线性相关。若只有当1＝2＝