结构力学矩阵位移法

《结构力学教程》（I）第10章矩阵位移法§10-1概述§10-2局部坐标下的单元刚度矩阵§10-3整体坐标下的单元刚度矩阵§10-4连续梁的整体刚度矩阵§10-5刚架的整体刚度矩阵§10-6荷载列阵§10-7计算步骤及算例§10-8忽略轴向变形时刚架的整体分析§10-9桁架结构的整体分析主要内容§10-1概述1、结构分析方法1）传统方法——前面介绍的力法、位移法、力矩分配法等都是传统的结构分析方法,适用于手算,只能分析较简单的结构。2）矩阵分析方法——矩阵力法和矩阵位移法，或称为柔度法与刚度法等都被称为矩阵分析方法。它是以传统结构力学作为理论基础、以矩阵作为数学表达形式，以计算机作为计算手段的电算结构分析方法，它能解决大型复杂的工程问题。2、基本思路1）手算位移法（1）取基本体系——构造各自独立的单跨超静梁的组合体；（2）写出杆端弯矩表达式——建立各杆件的杆端弯矩与杆端位移间的关系；3）矩阵位移法——它是以结点位移作为基本未知量的结构分析方法。由于它易于实现计算过程程序化，故本章只对矩阵位移法进行讨论。杆件结构的矩阵位移法也被称为杆件结构的有限元法。§10-1概述（3）根据结点、截面的平衡条件——建立力的平衡方程，即位移法方程。2）矩阵位移法（1）结构离散化——划分单元；（2）单元分析——建立单元的杆端力与杆端位移间的关系，形成单元刚度矩阵；（3）整体分析——建立整个结构的结点位移与结点荷载间的关系，形成结构刚度矩阵。§10-1概述下面用一道例题来说明矩阵位移法的基本思路。用位移法解该题：2、杆端弯矩：1、未知量：123121112M42ii211112M24ii232223M42ii322223M24iiM1M3M2i1i2§10-1概述1323、建立方程：1M0121MM2M021232MMM3M0323MM4、解方程得：1235、回代得：杆端弯矩M1M3M2i1i2§10-1概述1321112142Mii……①111222322(44)2Miiii…②2223324Mii……③把以上解题过程写成矩阵形式：1、确定未知量：可以通过编号来解决（一个结点一个转角未知量）。2、杆端弯矩表达式（按杆件来写）1-2杆1211121112M42M24iiii单元刚度方程M1M3M2i1i2§10-1概述132121112M42ii211112M24ii写成矩阵形式12122-3杆2322232322M42M24iiii单元刚度方程M1M3M2i1i2§10-1概述132232223M42ii322223M24ii写成矩阵形式23233、位移法方程：1112142Mii……①111222322(44)2Miiii……②2223324Mii……③位移法方程写成矩阵形式：11111122222233420M2442M024Miiiiiiii整体刚度矩阵4、解方程得：5、回代得：杆端弯矩以上五个方面就是我们在本章中需仔细研究的。123M1M3M2i1i2§10-1概述132123123结点荷载列阵结点位移列阵§10-2局部坐标下的单元刚度矩阵1、单元划分及编号②①③在杆系结构中以自然的一根杆件为一个单元，并以加圈的数字为记号。如图所示为刚架的单元划分。2、结点编号及未知量确定结点编号的作用：用于单元定位确定未知量结点编号的方法：先处理法后处理法因此一个刚结点就有3个位移：，而且支座位移也要作为未知量。,,uv在确定未知量时：●不忽略轴向变形；●所有单元都是两端固定的。先处理法：是直接给未知量编号。后处理法：是先给结点编号（包括支座结点），然后按一个结点3个位移再减去支座约束计算。§10-2局部坐标下的单元刚度矩阵后处理法：结点编号如图所示，33344400uvuv先处理法：12341,2,34,5,60,0,00,0,0例1：因此未知量为6个。结点编号如图所示，编号顺序为：先水平，后竖向，再转动。位移为零编“0”号。由于：§10-2局部坐标下的单元刚度矩阵后处理法：单元编号如图所示，先处理法：12341,2,34,5,60,0,00,0,0例1：单元编号如图所示，①②③①单元两头的结点号为：“1”、“2”，如果结点的坐标已知，单元的位置就定了。①②③①单元两头的结点号为：“1,2,3”、“4,5,6”，如果结点的坐标已知，单元的位置同样定了。§10-2局部坐标下的单元刚度矩阵后处理法：结点编号如图所示，3344400uvuv1,2,34,5,60,0,70,0,0例2：1234由于：因此未知量为7个。先处理法：结点编号如图所示，7个未知量，号就编到7。§10-2局部坐标下的单元刚度矩阵先处理法：后处理法：23234455500uuvvuvuv124531,2,34,5,60,0,80,0,04,5,7例3：结点编号如图所示，由于：因此未知量为8个。结点编号如图所示，8个未知量，号就编到8。§10-2局部坐标下的单元刚度矩阵先处理法：后处理法：124531,2,34,5,60,0,80,0,04,5,7例3：单元编号如图所示，单元编号如图所示。①②③①单元“1”、“2”对应②单元“1”、“4”对应③单元“3”、“5”对应①②③①单元“123”、“456”对应②单元“123”、“008”对应③单元“457”、“000”对应§10-2局部坐标下的单元刚度矩阵后处理法：3340uvv12341,23,40,00,5例4：结点编号如图所示，桁架一个结点2各线位移，由于：因此未知量为5个。先处理法：结点编号如图所示，8个未知量，号就编到8。§10-2局部坐标下的单元刚度矩阵后处理法：例4：1234单元编号如图所示，1,23,40,00,5先处理法：单元编号如图所示，①②③⑥⑤④①单元“1”、“2”对应⑤单元“1”、“4”对应…①单元“1,2”、“3,4”对应①②③⑥⑤④⑤单元“1,2”、“0,5”对应…§10-2局部坐标下的单元刚度矩阵3、建立坐标坐标系：局部坐标整体坐标1）局部坐标作用：用于表明杆端力及单元定位方法：x轴与杆件重合及顺时针转原则。标法如图所示，箭头表示x轴的方向，y轴不标出。①单元的起始点是“1”，终点是“2”。1234①②③ABFAXFBXFBYFAYMABMBA§10-2局部坐标下的单元刚度矩阵后处理法：例4：局部坐标如图所示，1234①②③⑥⑤④①单元“1”、“2”对应⑤单元“4”、“1”对应…单元定位向量：①1231②42③34④41⑤32⑥先起始点后终点§10-2局部坐标下的单元刚度矩阵例4：先处理法：局部坐标如图所示，…①单元“1,2”、“3,4”对应1,23,40,00,5①②③⑥⑤④⑤单元“0,5”、“1,2”对应单元定位向量：①1234②00120534③0005④0512⑤0034⑥§10-2局部坐标下的单元刚度矩阵2）整体坐标作用：用于建立位移法方程方法：可根据结构情况及顺时针转原则建立。1234①②③XYXYO表述杆端力时每根杆件都需要一套局部坐标，但建立位移法方程时每个结构则需要一个统一的坐标。§10-2局部坐标下的单元刚度矩阵4、单元刚度矩阵单元刚度矩阵——两端固定单元，由两端发生单位位移产生的杆端力的矩阵形式。单元刚度矩阵局部坐标下的单元刚度矩阵整体坐标下的单元刚度矩阵本节先介绍局部坐标下的单元刚度矩阵以两端固定单元为研究对象，让其两端各发生3个位移，求出6个杆端力，然后写成矩阵形式，即可得到单元刚度矩阵。§10-2局部坐标下的单元刚度矩阵单元形式——两端固定单元杆端位移——每端各三个位移，杆端力——每端各三个杆力，正负号规定——与局部坐标一致为正，相反为负。111222uvuv、、、、、111222xyxyFFMFFM、、、、、exyE，A，Il122u2v1ue211v12x2Fy2F2Mx1F1My1Fe12§10-2局部坐标下的单元刚度矩阵12121211EALEI,EA1EALEI,EA116EIL2112EIL216EIL2112EIL214EIL16EIL212EIL16EIL2EI,EA1§10-2局部坐标下的单元刚度矩阵1212122EI,EA2EAL2EALEI,EA2212EIL2212EIL222EIL26EIL224EIL26EIL2EI,EA226EIL216EIL2§10-2局部坐标下的单元刚度矩阵1121112232321112222()1261266462xyEAFuuLEIEIEIEIFvvLLLLEIEIEIEIMvvLLLL21221122323221122221261266264xyEAEAFuuLLEIEIEIEIFvvLLLLEIEIEIEIMvvLLll当两端固定单元的两端同时发生六个位移时，六个杆端力可利用叠加原理求出：1号杆端2号杆端§10-2局部坐标下的单元刚度矩阵把杆端力与杆端位移的表达式写成矩阵形式：EAL-EAL6EIL2-6EIL24EIL2EIL12EIL3-12EIL300000000-EAL0000EAL6EIL200006EIL2-12EIL36EIL2-6EIL22EIL12EIL3-6EIL24EIL-6EIL2FX1FY1FX2Fy2M2M1u2u1v2v221=§10-2局部坐标下的单元刚度矩阵EAL-EAL6EIL2-6EIL24EIL2EIL12EIL3-12EIL300000000-EAL0000EAL6EIL200006EIL2-12EIL36EIL2-6EIL22EIL12EIL3-6EIL24EIL-6EIL2FX1FY1FX2Fy2M2M1u2u1v2v221=eeeFk可缩写成:----单元刚度方程§10-2局部坐标下的单元刚度矩阵eeeFk单元刚度方程：其中：eF----单元杆端力列阵----单元杆端位移列阵eFX1FY1FX2Fy2M2M1eF=eu2u1v2v221=§10-2局部坐标下的单元刚度矩阵EAL-EAL6EIL2-6EIL24EIL2EIL12EIL3-12EIL300000000-EAL0000EAL6EIL200006EIL2-12EIL36EIL2-6EIL22EIL12EIL3-6EIL24EIL-6EIL2=ekek----单元刚度矩阵11122122[][][][]eekkkkk也可写成：1221…①§10-2局部坐标下的单元刚度矩阵单元刚度矩阵的性质●单元刚度矩阵是杆端力用杆端位移来表达的联系矩阵。ijkjik●其中每个元素称为单元刚度系数，表示由于单位杆端位移引起的杆端力。由反力互等定理可知：，因此单元刚度矩阵是对称矩阵。●第k列元素分别表示当第k个杆端位移=1时引起的六个杆端力分量。●一般单元的单元刚度矩阵是奇异矩阵。，不存在逆矩阵。[]0ek§10-2局部坐标下的单元刚度矩阵EAL-EAL6EIL2-6EIL24EIL2EIL12EIL3-12EIL300000000-EAL0000EAL6EIL200006EIL2-12EIL36EIL2-6EIL22EIL12EIL3-6EIL24EIL-6EIL2=ek1221由上述一般