初中一元二次方程的解法教案

关于一元二次方程的概念及解法一、知识网络图示实际问题分析数量关系一元二次方程一元二次方程的根检验解法1直接开平方法2因式分解法4公式法3配方法二、基本知识（一）主要概念1、一元二次方程的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。2、关于x的一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0,(a≠0)，其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。（二）一元二次方程的解法1、基本思想：降次2基本解法：直接开方法、因式分解法、公式法配方法。3、求根公式关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0,(a≠0))04(2422acbaacbbx三、专题应用1、一题多解例1解方程解法1配方法0)2327(22xx023272xx222)47(23)47(27xx1625)47(2x213454721xxx03722xx解法2因式分解法(x-3)(2x-1)=0X-3=0或2x-1=021321xx03722xx解变式方程2222222)12()2(09)2(0903)1(7)1(20)1()1(0xxxxxxxxxx答案：x=0或x=1答案：X=-1或x=0答案：X=3或x=-3答案：X=-5或x=1答案：x=3或31x答案：X=4或23x1、2、3、4、5、6、解法3公式法45745745722324)7(72xxx或21321xx03722xx2、运用根的定义解题例1：关于x的方程(m-3)xm-7-x+3=0为一元二次方法，那么m的值为多少？略解:m2-7=2且m-3≠0,进而求出m的值为-32例2：当m=?时关于x的方程2x2-mx+m-1=0有一个根为零。略解：把x=0代入方程中，解得m=1例3：如果α是关于x的x2-3x+m=0的一个根，-α是关于x的方程x2+3x-m=0的一个根，那么α的值是多少?解：由根的定义得：解得:m=0,α=0或α=3(2)03(1)0322mm3、配方法的应用思路导引：方程配方与二次三项式的配方的区别。方程配方的关键：二次项系数化1时要除以二次项系数，配方时在方程的两边加上一次项系数一半的平方。二次三项式的配方：二次项系数化1时要提取二次项系数，应该在一端同时加或减相同的式子。（恒等变形）（等式性质）例1填空x2-3x+_____=（）2x2+6x-4=（）2+______4923x3x13例2当a=____时x2+4x+a2-1是完全平方式。5a解得：△=42-4（a2-1)=0例3：先用配方法说明：不论x取何值，代数式x2-6x+10的值总大于零,再求出当x取何值时，代数式x2-6x+10的值最小，最小值时多少?1,106x-x,3,03-x,106x-x,x013)-(x0)3(1)3(196106:2222222最小值是的值最小代数式时即时当的值总大于零代数式取何值不论解xxxxxxx例4试判断关于x方程x2+(2k-1)x+(k-1)=0的根的情况4、判定根的情况有时候可利用配方：解：Δ=(2k-1)2-4(k-1)=4k2-8k+5=4(k-1)2+1〉0所以方程总有两个不相等的实数根四、实践与探索:对于方程x2+px+q=0(p2-4q≥0)如果两个根为x1,x2则有x1+x2=-px1x2=q以此类推ax2+bx+c=0(a≠0)(b2-4ac)≥0将此方程二次项系数化1后为如果两个根为x1,x2则也有02acxabxabxx21acxx21.,,0624-xx,x1:221填写下列各式的值不解方程的两个根是方程设例应用如下x72411)1)(x(x(4)310xxxx(3)202)(xx(2)322xxxx1x1(1)2121212122212112212212221212121xxxxxxxxxxxxx.,102kxx:22的值及另一个根求一个根是的已知方程例k思路导引：方法一：运用根的定义求解，把X=1代入，K=方法二：用根与系数的关系求解：略21另一个根为x=2例3：已知方程x2-(k+2)x+3k-2=0的两实根为x1,x2，且x12+x22=23，求k的值。思路导引：将x12+x22=23的左边变形为含有x1+x2，x1x2的形式x1+x2=k+2略解：由题意可列方程组：x1x2=3k-2解得：k=5或k=-3x12+x22=23当k=5时△=[-(k+2)]2-4(3k-2)=-30,原方程无实数根，不合题意,舍去.当k=-3时，△=450,∴k=-3