数值分析试题及答案汇总

1数值分析试题一、填空题（20×2′）1.32,1223XA设x=0.231是精确值x*=0.229的近似值，则x有2位有效数字。2.若f(x)=x7－x3＋1，则f[20,21,22,23,24,25,26,27]=1，f[20,21,22,23,24,25,26,27,28]=0。3.设，‖A‖∞＝___5____，‖X‖∞＝__3_____，‖AX‖∞≤_15___。4.非线性方程f(x)=0的迭代函数x=(x)在有解区间满足|’(x)|1，则使用该迭代函数的迭代解法一定是局部收敛的。5.区间[a,b]上的三次样条插值函数S(x)在[a,b]上具有直到2阶的连续导数。6.当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的前插公式，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的后插公式；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的拉格朗日插值公式。7.拉格朗日插值公式中f(xi)的系数ai(x)的特点是：niixa0)(1；所以当系数ai(x)满足ai(x)1，计算时不会放大f(xi)的误差。8.要使20的近似值的相对误差小于0.1%，至少要取4位有效数字。9.对任意初始向量X(0)及任意向量g，线性方程组的迭代公式x(k+1)=Bx(k)+g(k=0,1,…)收敛于方程组的精确解x*的充分必要条件是(B)1。10.由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是5。x00.511.522.5y=f(x)-2-1.75-10.2524.2511.牛顿下山法的下山条件为|f(xn+1)||f(xn)|。12.线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差ri(i=0,1,…,n)来实现的，其中的残差ri＝(bi-ai1x1-ai2x2-…-ainxn)/aii，(i=0,1,…,n)。13.在非线性方程f(x)=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且f(x)2的二阶导数不变号，则初始点x0的选取依据为f(x0)f”(x0)0。14.使用迭代计算的步骤为建立迭代函数、选取初值、迭代计算。二、判断题（10×1′）1、若A是n阶非奇异矩阵，则线性方程组AX＝b一定可以使用高斯消元法求解。(×)2、解非线性方程f(x)=0的牛顿迭代法在单根x*附近是平方收敛的。()3、若A为n阶方阵，且其元素满足不等式),...,2,1(1niaanijjijii则解线性方程组AX＝b的高斯——塞德尔迭代法一定收敛。(×)4、样条插值一种分段插值。()5、如果插值结点相同，在满足相同插值条件下所有的插值多项式是等价的。()6、从实际问题的精确解到实际的计算结果间的误差有模型误差、观测误差、截断误差及舍入误差。()7、解线性方程组的的平方根直接解法适用于任何线性方程组AX＝b。(×)8、迭代解法的舍入误差估计要从第一步迭代计算的舍入误差开始估计,直到最后一步迭代计算的舍入误差。(×)9、数值计算中的总误差如果只考虑截断误差和舍入误差，则误差的最佳分配原则是截断误差＝舍入误差。()10、插值计算中避免外插是为了减少舍入误差。(×)三、计算题（5×10′）1、用列主元高斯消元法解线性方程组。112123454321321321xxxxxxxxx解答：（1，5，2）最大元5在第二行，交换第一与第二行：3112412345321321321xxxxxxxxxL21=1/5=0.2,l31=2/5=0.4方程化为：8.152.06.26.10.42.0123453232321xxxxxxx（-0.2,2.6）最大元在第三行，交换第二与第三行：6.10.42.08.152.06.2123453232321xxxxxxxL32=-0.2/2.6=-0.076923,方程化为：38466.00.384628.152.06.212345332321xxxxxx回代得：00010.199999.500005.3321xxx2、用牛顿——埃尔米特插值法求满足下列表中插值条件的四次插值多项式P4(x)，并写出其截断误差的表达式(设f(x)在插值区间上具有直到五阶连续导数)。xi012f(xi)1-13f’(xi)15解答：做差商表xiF(xi)F[xi,xi+1]F[xi.xi+1.xi+2]F[xi,xi+1,xi+2,xi+3]F[xi,xi+1,xi+2,xi+3,xi+4]4011-1-21-113234302351-2-1P4(x)=1-2x-3x(x-1)-x(x-1)(x-1)(x-2)R4(x)=f(5)()/5!x(x-1)(x-1)(x-2)(x-2)3、对下面的线性方程组变化为等价的线性方程组，使之应用雅克比迭代法和高斯——赛德尔迭代法均收敛，写出变化后的线性方程组及雅克比迭代法和高斯——赛德尔迭代法的迭代公式，并简单说明收敛的理由。解答：交换第二和第四个方程，使系数矩阵为严格对角占优：雅克比迭代公式：《计算机数学基础(2)》数值分析试题33846512321432431421xxxxxxxxxxxx65843312431432321421xxxxxxxxxxxx65843312431432321421xxxxxxxxxxxx5一、单项选择题(每小题3分，共15分)1.已知准确值x*与其有t位有效数字的近似值x＝0.0a1a2…an×10s(a10)的绝对误差x*－x()．(A)0.5×10s－1－t(B)0.5×10s－t(C)0.5×10s＋1－t(D)0.5×10s＋t2.以下矩阵是严格对角占优矩阵的为()．(A)2100121001210012，(B)2100141101410125(C)2100141212410125(D)51311412014111243.过(0，1)，(2，4)，(3，1)点的分段线性插值函数P(x)=()(A)3210320123xxxx(B)32103201232xxxx(C)3210320123xxxx(D)32420123xxxx4.等距二点的求导公式是()(A))(1)()(1)(111kkkkkkyyhxfyyhxf(B))(1)()(1)(111kkkkkkyyhxfyyhxf(C))(1)()(1)(111kkkkkkyyhxfyyhxf(D)5.解常微分方程初值问题的平均形式的改进欧拉法公式是)(211cpkyyy那么yp,yc分别为()．(A)),(),(1kkkckkkpyxhfyyyxhfyy(B)),(),(1pkkckkkpyxhfyyyxhfyy(C)),(),(pkkckkkpyxfyyyxfyy(D)),(),(1pkkckkkpyxhfyyyxhfyy二、填空题(每小题3分，共15分)66.设近似值x1,x2满足(x1)=0.05，(x2)=0.005，那么(x1x2)=．7.三次样条函数S(x)满足：S(x)在区间[a,b]内二阶连续可导，S(xk)=yk(已知)，k=0,1,2,…,n，且满足S(x)在每个子区间[xk,xk+1]上是．8.牛顿－科茨求积公式nkkkbaxfAxxf0)(d)(，则nkkA0＝.9.解方程f(x)=0的简单迭代法的迭代函数(x)满足在有根区间内，则在有根区间内任意取一点作为初始值，迭代解都收敛．10.解常微分方程初值问题的改进欧拉法预报――校正公式是预报值：),(1kkkkyxhfyy，校正值：yk+1=．三、计算题(每小题15分，共60分)11.用简单迭代法求线性方程组3612363311420238321321321xxxxxxxxx的X(3)．取初始值(0,0,0)T，计算过程保留4位小数．12.已知函数值f(0)=6，f(1)=10，f(3)=46，f(4)=82，f(6)=212，求函数的四阶均差f(0,1,3,4,6)和二阶均差f(4，1，3)．13.将积分区间8等分，用梯形求积公式计算定积分312d1xx，计算过程保留4位小数．14.用牛顿法求115的近似值，取x=10或11为初始值，计算过程保留4位小数．四、证明题(本题10分)15.证明求常微分方程初值问题00)(),(yxyyxfy在等距节点a=x0x1…xn=b处的数值解近似值的梯形公式为y(xk+1)yk+1=yk+2h[f(xk,yk)+f(xk+1,yk+1)]其中h=xk+1－xk(k=0,1,2,…n－1)《计算机数学基础(2)》数值分析试题答案一、单项选择题(每小题3分，共15分)1.A2.B3.A4.B5.D二、填空题(每小题3分，共15分)6.0.05x2+0.005x17.3次多项式8.b－a9.(x)r110.yk+)],(),([211kkkkyxfyxfhhf(xk＋1,1ky)．三、计算题(每小题15分，共60分)11.写出迭代格式73025.05.039090.006363.05.225.0375.00)(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(3)(2)1(1kkkkkkkkkxxxxxxxxxX(0)=(0,0,0)T.330025.005.03309090.0006363.05.25.2025.00375.00)1(3)1(2)1(1xxx得到X(1)＝(2.5，3，3)T0000.130325.05.25.07363.2339090.005.26363.0875.25.2325.03375.00)2(3)2(2)2(1xxx得到X(2)=(2.875，2.3637，1.0000)T6971.0307363.225.0875.25.06045.2319090.00875.26363.04136.35.2125.07363.2375.00)3(3)3(2)3(1xxx得到X(3)=(3.1364，2.0456，0.9716)T.12.计算均差列给出．kxf(xk)一阶均差二阶均差三阶均差四阶均差0611043461814/34823661/362126529/311/151/15f(0,1,3,4,6)=151f(4,1,3)=613.f(x)=21x,h=25.082．分点x0=1.0，x1=1.25，x2=1.5，x3=1.75，x4=2.0，x5=2.25，x6=2.50，x7=2.75，x8=3.0.函数值：f(1.0)=1.4142，f(1.25)=1.6008，f(1.5)=1.8028，f(1.75)=2.0156，f(2.0)=2.2361，f(2.25)=2.4622，f(2.50)=2.6926，f(2.75)=2.9262，f(3.0)=3.1623．)()([2d)(8031xfxfhxxf))]()()()()()()((27654321xfxfxfxfxfxfxf(9分)=225