空间向量与立体几何测试题及答案

高中数学选修（2-1）空间向量与立体几何测试题一、选择题1．若把空间平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的始点放置在同一点，则这些向量的终点构成的图形是（）Ａ．一个圆Ｂ．一个点Ｃ．半圆Ｄ．平行四边形答案：Ａ2．在长方体1111ABCDABCD中，下列关于1AC的表达中错误的一个是（）Ａ．11111AAABADＢ．111ABDDDCＣ．111ADCCDCＤ．11111()2ABCDAC答案：Ｂ3．若，，abc为任意向量，Rm，下列等式不一定成立的是（）Ａ．()()abcabcＢ．()abcacbc···Ｃ．()ababmmmＤ．()()abcabc····答案：Ｄ4．若三点，，ABC共线，P为空间任意一点，且PAPBPC，则的值为（）Ａ．1Ｂ．1Ｃ．12Ｄ．2答案：Ｂ5．设(43)(32)ab，，，，，xz，且∥ab，则xz等于（）Ａ．4Ｂ．9Ｃ．9Ｄ．649答案：Ｂ6．已知非零向量12ee，不共线，如果1222122833eeeeee，，ABACAD，则四点，，，ABCD（）Ａ．一定共圆Ｂ．恰是空间四边形的四个顶点心Ｃ．一定共面Ｄ．肯定不共面答案：Ｃ7．如图1，空间四边形ABCD的四条边及对角线长都是a，点EFG，，分别是ABADCD，，的中点，则2a等于（）Ａ．2BAAC·Ｂ．2ADBD·Ｃ．2FGCA·Ｄ．2EFCB·答案：Ｂ8．若123123123，，aeeebeeeceee，12323deee，且xyzdabc，则，，xyz的值分别为（）Ａ．51122，，Ｂ．51122，，Ｃ．51122，，Ｄ．51122，，答案：Ａ9．若向量(12)，，a与(212)，，b的夹角的余弦值为89，则（）Ａ．2Ｂ．2Ｃ．2或255Ｄ．2或255答案：Ｃ10．已知ABCD为平行四边形，且(413)(251)(375)ABC，，，，，，，，，则顶点D的坐标为（）Ａ．7412，，Ｂ．(241)，，Ｃ．(2141)，，Ｄ．(5133)，，答案：Ｄ11．在正方体1111ABCDABCD中，O为ACBD，的交点，则1CO与1AD所成角的（）Ａ．60°Ｂ．90°Ｃ．3arccos3Ｄ．3arccos6答案：Ｄ12．给出下列命题：①已知ab，则()()abccbabc···；②，，，ABMN为空间四点，若BABMBN，，不构成空间的一个基底，那么ABMN，，，共面；③已知ab，则，ab与任何向量都不构成空间的一个基底；④若，ab共线，则，ab所在直线或者平行或者重合．正确的结论的个数为（）Ａ．1Ｂ．2Ｃ．3Ｄ．4答案：Ｃ二、填空题13．已知(315)(123)，，，，，ab，向量c与z轴垂直，且满足94，··cacb，则c．答案：2221055，，14．已知，，ABC三点不共线，O为平面ABC外一点，若由向量1253OPOAOBOC确定的点P与ABC，，共面，那么．答案：21515．已知线段AB面，BC，CDBC，DF面于点F，30DCF°，且DA，在平面的同侧，若2ABBCCD，则AD的长为．答案：2216．在长方体1111ABCDABCD中，1BC和1CD与底面所成的角分别为60°和45°，则异面直线1BC和1CD所成角的余弦值为．答案：64三、解答题17．设123423223325，，，aijkaijkaijkaijk，试问是否存在实数，，，使4123aaaa成立？如果存在，求出，，；如果不存在，请写出证明．答案：解：假设4123aaaa成立．1234(211)(132)(213)(325)aaaa，，，，，，，，，，，∵，(22323)(325)，，，，∴．22332235，，，∴解得213，，．所以存在213v，，使得412323aaaa．理由即为解答过程．18．如图2，正三棱柱111ABCABC的底面边长为a，侧棱长为2a，求1AC与侧面11ABBA所成的角．解：建立如图所示的空间直角坐标系，则113(000)(00)(002)222，，，，，，，，，，，aABaAaCaa．由于(100)，，n是面11ABBA的法向量，1111312cos6023aACACACaAC，，·°nnnn．故1AC与侧面11ABBA所成的角为30°．19．如图3，直三棱柱111ABCABC中，底面是等腰直角三角形，90ACB°，侧棱12AADE，，分别是1CC与1AB的中点，点E在平面ABD上的射影是ABD△的重心G，求点1A到平面AED的距离．解：建立如图所示的空间直角坐标系，设2CAa，则1221(200)(020)(001)(202)(1)333aaAaBaDAaEaaG，，，，，，，，，，，，，，，，，．从而2(021)333aaGEBDa，，，，，．由0GEBDGEBD·，得1a，则1(202)(200)(111)AAE，，，，，，，，．自1A作1AH面AED于M，并延长交xOy面于H，设(0)Hxy，，，则1(22)AHxy，，．又(201)AD，，，(111)AE，，．由112(2)20(2)20AHADxAHAExy，，11xy，，得(110)H，，．又1111cosAMAAAAAM，·111426cos2326AAAAAH，·．20．已知正方体1111ABCDABCD的棱长为2，PQ，分别是BCCD，上的动点，且2PQ，确定PQ，的位置，使11QBPD．解：建立如图所示的空间直角坐标系，设BPt，得22(2)CQt，222(2)DQt．那么211(202)(022)(20)(22(2)20)BDPtQt，，，，，，，，，，，，从而21(2(2)22)QBt，，，1(222)PDt，，，由11110QBPDQBPD·，即222(2)2(2)401ttt．故PQ，分别为BCCD，的中点时，11QBPD．21．如图4，在底面是直角梯形的四棱锥SABCD中，90ABC°，SA面ABCD，112SAABBCAD，，求面SCD与面SBA所成二面角的正切值．解：建立如图所示的空间直角坐标系，则1(000)(100)(110)00(001)2ABCDS，，，，，，，，，，，，，，．延长CD交x轴于点F，易得(100)F，，，作AESF于点E，连结DE，则DEA即为面SCD与面SBA所成二面角的平面角．又由于SAAF且SAAF，得11022E，，，那么102EA，，12，111222ED，，，从而6cos3EAEDEAEDEAED，·，因此2tan2EAFED，．故面SCD与面SBA所成二面角的正切值为22．22．平行六面体1111ABCDABCD的底面ABCD是菱形，且11CCBCCDBCD，试问：当1CDCC的值为多少时，1AC面1CBD？请予以证明．解：欲使1AC面1CBD，只须11ACCD，且11ACCB．欲证11ACCD，只须证110CACD·，即11()()0CAAACDCC·，也就是11()()0CDCBCCCDCC·，即22111coscos0CDCCCBCDBCDCBCCCCB．由于1CCBBCD，显然，当1CDCC时，上式成立；同理可得，当1CDCC时，11ACCB．因此，当11CDCC时，1AC面1CBD．一.选择题：(10小题共40分)1.已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O,下列条件中能确定点M与点A、B、C一定共面的是()A.OCOBOAOMB.OCOBOAOM2C.OCOBOAOM3121D.OCOBOAOM3131312.直三棱柱ABC—A1B1C1中，若BACCCbCBaCA11,,,则()A.cbaB.cbaC.cbaD.cba3.若向量且向量和垂直向量Rbanbam,(,、则)0()A.nm//B.nmC.nmnm也不垂直于不平行于,D.以上三种情况都可能4.以下四个命题中,正确的是()A.若OBOAOP3121,则P、Ａ、Ｂ三点共线B.设向量},,{cba是空间一个基底，则{a+b，b+c，c+a}构成空间的另一个基底C.cbacba)(D.△ABC是直角三角形的充要条件是0ACAB5.对空间任意两个向量baobba//),(,的充要条件是()A.baB.baC.abD.ba6.已知向量baba与则),2,1,1(),1,2,0(的夹角为()A.0°B.45°C.90°D.180°7.在平行六面体1111DCBAABCD中，M为AC与BD的交点，若cAAbDAaBA11111,,，则下列向量中与MB1相等的是()A.cba212121B.cba212121C.cba2121D.-cba21218.已知的值分别为与则若,//),2,12,6(),2,0,1(baba()A.21,51B.5，2C.21,51D.-5，-29.已知的数量积等于与则bakjibkjia35,2,23()A.-15B.-5C.-3D.-110.在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是()A.52B.52C.53D.1010二.填空题:(4小题共16分)11.若A(m+1,n-1,3),B(2m,n,m-2n),c(m+3,n-3,9)三点共线，则m+n=.12.已知A（0，2，3），B（-2，1，6），C（1，-1，5），若aACaABaa则向量且,,,3||的坐标为.13.已知ba,是空间二向量，若bababa与则,7||,2||,3||的夹角为.14.已知点G是△ABC的重心，O是空间任一点，若的值则,OGOCOBOA为.三.解答题:(10+8+12+14=44分)15.如图：ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD，M、N分别是PC、AB中点，(1)求证：MN⊥平面PCD；(2)求NM与平面ABCD所成的角的大小.16.一条线段夹在一个直二面角的两个面内，它和两个面所成的角都是300，求这条线段与这个二面角的棱所成的角的大小.17.正四棱锥S—ABCD中，所有棱长都是2，P为SA的中点，如图.(1)求二面角B—SC—D的大小；(2)求DP与SC所成的角的大小.18.如图，直三棱柱ABC—A1B1C1，底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别是A1B1，A1A的中点；(1)求;的长BN(2)求;,cos11的值CBBA(3).:11MCBA求证(4)求CB1与平面A1ABB1所成的角的余弦值.高中数学选修2-1测试题(10)—空间向量(1)参考答案DDBBDCDAAB11.012.(1，1，1)13.60014.315.(1)略(2)45016.45017.(1)13(2)18.(1)3(2)3010(3)略(4)3101018.如图，建立空间直角坐标系O—xyz.（1）依题意得B（0，1，0）、N（1，0，1）∴|BN|=3)01()10()01(222.（