《双曲线》练习题经典(含答案)

《双曲线》练习题一、选择题：1．已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程是y＝±4x，则该双曲线的离心率是(A)A.17B.15C.174D.1542．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线方程为（B）A．x2﹣y2=1B．x2﹣y2=2C．x2﹣y2=D．x2﹣y2=3．在平面直角坐标系中，双曲线C过点P（1，1），且其两条渐近线的方程分别为2x+y=0和2x﹣y=0，则双曲线C的标准方程为（B）A．B．C．或D．4.已知椭圆222ax＋222by＝1（a＞b＞0）与双曲线22ax－22by＝1有相同的焦点，则椭圆的离心率为（A）A．22B．21C．66D．365．已知方程﹣=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（A）A．（﹣1，3）B．（﹣1，）C．（0，3）D．（0，）6．设双曲线=1（0＜a＜b）的半焦距为c，直线l过（a，0）（0，b）两点，已知原点到直线l的距离为，则双曲线的离心率为（A）A．2B．C．D．7．已知双曲线22219yxa的两条渐近线与以椭圆221259yx的左焦点为圆心、半径为165的圆相切，则双曲线的离心率为（A）A．54B．53C．43D．658．双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1、F2，∠F1MF2＝120°，则双曲线的离心率为(B)A.3B.62C.63D.339．已知双曲线221(0,0)xymnmn的一个焦点到一条渐近线的距离是2，一个顶点到它的一条渐近线的距离为613，则m等于(D)A．9B．4C．2D．,310．已知双曲线的两个焦点为F1(－10，0)、F2(10，0)，M是此双曲线上的一点，且满足12120,||||2,MFMFMFMF则该双曲线的方程是(A)A.x29－y2＝1B．x2－y29＝1C.x23－y27＝1D.x27－y23＝111．设F1，F2是双曲线x2－y224＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于(C)A．42B．83C．24D．4812．过双曲线x2－y2＝8的左焦点F1有一条弦PQ在左支上，若|PQ|＝7，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是(C)A．28B．14－82C．14＋82D．8213．已知双曲线﹣=1（b＞0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为（D）A．﹣=1B．﹣=1C．﹣=1D．﹣=114．设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，以F2为圆心，|F1F2|为半径的圆与双曲线在第一、二象限内依次交于A，B两点，若3|F1B|=|F2A|，则该双曲线的离心率是（C）A．B．C．D．215．过双曲线1222yx的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若|AB|=4，则这样的直线共有（C）条。A．1B．2C．3D．416．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0），以原点为圆心，b为半径的圆与x轴正半轴的交点恰好是右焦点与右顶点的中点，此交点到渐近线的距离为，则双曲线方程是（C）A．﹣=1B．﹣=1C．﹣=1D．﹣=117．如图，F1、F2是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点A、B．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为（B）A．4B．C．D．18．如图，已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，|F1F2|=4，P是双曲线右支上的一点，F2P与y轴交于点A，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，若|PQ|=1，则双曲线的离心率是（B）A．3B．2C．D．19．已知点(3,0)M，(3,0)N，(1,0)B，动圆C与直线MN切于点B，过M、N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为(B)A．221(1)8yxxB．221(1)8yxxC．1822yx（x0）D．221(1)10yxx20.已知椭圆1C与双曲线2C有共同的焦点)0,2(1F，)0,2(2F，椭圆的一个短轴端点为B，直线BF1与双曲线的一条渐近线平行，椭圆1C与双曲线2C的离心率分别为21,ee，则21ee取值范围为（D）A.),2[B.),4[C.),4(D.),2(21.已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆)0(12222babyax的焦点与顶点，若双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形，则椭圆的离心率为(D)A．31B．21C．33D．2222.双曲线22221(0,0)xyabab过其左焦点F1作x轴的垂线交双曲线于A，B两点，若双曲线右顶点在以AB为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围为(A)A．（2，+∞）B．（1，2）C．（32，+∞）D．（1，32）23.已知双曲线)0,0(12222babyax的右焦点F，直线cax2与其渐近线交于A，B两点，且△ABF为钝角三角形，则双曲线离心率的取值范围是（D）A.（，3）B.（1，3）C.（，2）D.（1，2）24．我们把离心率为e＝5＋12的双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)称为黄金双曲线．给出以下几个说法：①双曲线x2－2y25＋1＝1是黄金双曲线；②若b2＝ac，则该双曲线是黄金双曲线；③若∠F1B1A2＝90°，则该双曲线是黄金双曲线；④若∠MON＝90°，则该双曲线是黄金双曲线．其中正确的是(D)A．①②B．①③C．①③④D．①②③④二、填空题：25．如图，椭圆①，②与双曲线③，④的离心率分别为e1，e2，e3，e4，其大小关系为_____e1e2e4e3___．26．已知双曲线x2－y23＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则PA1·PF2的最小值为________．－227．已知点P是双曲线x2a2－y2b2＝1上除顶点外的任意一点，F1、F2分别为左、右焦点，c为半焦距，△PF1F2的内切圆与F1F2切于点M，则|F1M|·|F2M|＝________.b228．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)、F2(c,0)．若双曲线上存在点P，使sin∠PF1F2sin∠PF2F1＝ac，则该双曲线的离心率的取值范围是_____(1，2＋1)29.已知双曲线x2﹣=1的左、右焦点分别为F1、F2，P为双曲线右支上一点，点Q的坐标为（﹣2，3），则|PQ|+|PF1|的最小值为．7三、解答题：30．已知曲线C：y2λ＋x2＝1.(1)由曲线C上任一点E向x轴作垂线，垂足为F，动点P满足3FPEP，求点P的轨迹．P的轨迹可能是圆吗？请说明理由；(2)如果直线l的斜率为2，且过点M(0，－2)，直线l交曲线C于A、B两点，又92MAMB，求曲线C的方程．31．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为2,0，右顶点为3,0.（Ⅰ）求双曲线C的方程（Ⅱ）若直线:2lykx与双曲线恒有两个不同的交点A和B且2OAOB（其中O为原点），求k的取值范围32.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，实轴长为23.(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C左支交于A、B两点，求k的取值范围；(3)在(2)的条件下，线段AB的垂直平分线l0与y轴交于M(0，m)，求m的取值范围．33.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆C与y轴交于A、B两点，|AB|=2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知点P是椭圆C上的动点，且直线PA，PB与直线x=4分别交于M、N两点，是否存在点P，使得以MN为直径的圆经过点（2，0）？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，说明理由．30.已知曲线C：y2λ＋x2＝1.(1)由曲线C上任一点E向x轴作垂线，垂足为F，动点P满足3FPEP，求点P的轨迹．P的轨迹可能是圆吗？请说明理由；(2)如果直线l的斜率为2，且过点M(0，－2)，直线l交曲线C于A、B两点，又92MAMB，求曲线C的方程．解：(1)设E(x0，y0)，P(x，y)，则F(x0,0)，∵3,FPEP，∴(x－x0，y)＝3(x－x0，y－y0)．∴00,2.3xxyy代入y20λ＋x20＝1中，得4y29λ＋x2＝1为P点的轨迹方程．当λ＝49时，轨迹是圆．(2)由题设知直线l的方程为y＝2x－2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程组222,21.yxyx消去y得：(λ＋2)x2－42x＋4－λ＝0.∵方程组有两解，∴λ＋2≠0且Δ0，∴λ2或λ0且λ≠－2，x1·x2＝4－λλ＋2，而MAMB＝x1x2＋(y1＋2)·(y2＋2)＝x1x2＋2x1·2x2＝3x1x2＝3(4－λ)λ＋2，∴4－λλ＋2＝－32，解得λ＝－14.∴曲线C的方程是x2－y214＝1.31．(本题满分12分)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为2,0，右顶点为3,0.（Ⅰ）求双曲线C的方程（Ⅱ）若直线:2lykx与双曲线恒有两个不同的交点A和B且2OAOB（其中O为原点），求k的取值范围解（1）设双曲线方程为22221xyab由已知得3,2ac，再由2222ab，得21b故双曲线C的方程为2213xy.（2）将2ykx代入2213xy得22(13)6290kxkx由直线l与双曲线交与不同的两点得22221306236(13)36(1)0kkk即213k且21k.①设,,(,),AAABAxyBxy，则22629,1313ABABxyxykk，由2OAOB得2ABABxxyy，而2(2)(2)(1)2()2ABABABAbABABxxyyxxkxkxkxxkxx2222296237(1)222131331kkkkkkk.于是2237231kk，即2239031kk解此不等式得213.3k②由①+②得2113k故的取值范围为33(1,),13332.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，实轴长为23.(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C左支交于A、B两点，求k的取值范围；(3)在(2)的条件下，线段AB的垂直平分线l0与y轴交于M(0，m)，求m的取值范围．解：(1)设双曲线C的方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)．由已知得：a＝3，c＝2，再由a2＋b2＝c2，∴b2＝1，∴双曲线C的方程为x23－y2＝1.(2)设A(xA，yA)、B(xB，yB)，将y＝kx＋2代入x23－y2＝1，得：(1－3k2)x2－62kx－9＝0.由题意知1－3k2≠0，Δ＝361－k20，xA＋xB＝62k1－3k20，xAxB＝－91－3k20，解得33k1.∴当33k1时，l与双曲线左支有两个交点．(3)由(2)得：xA＋xB＝62k1－3k2，∴yA＋yB＝(kxA＋2)＋(kxB＋2)＝k(xA＋xB)＋22＝221－3k2.∴AB的中点P的坐标为32k1－3k2，21－3k2.设直线l0的方程为：y＝－1kx＋m，将P点坐标代入直线l0的方程，得m＝421－3k2.∵33k1，∴－21－3k20.∴m－22.∴m的取值范围为(－∞，－22)．33.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆C与y轴交于A、B两点，|AB|=2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知点P是椭圆C上的动点，且直线PA，PB与直线x=4分别交于M、N两点，是否存在点P，使得以MN为直径的圆经过点（2，0）？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由