《函数的基本性质──单调性与最值》教学设计

《函数的基本性质──单调性与最值》教学设计一、内容和内容解析函数思想是贯穿高中数学的一根主线，函数的基本性质又是函数一章的重点内容。一方面，它是对以前所学具体函数的一次总结，又是函数知识的一次拓展，对后续学习指、对数函数、三角函数有重要的指导作用。另一方面，函数的单调性与最大(小)值是初等数学与高等数学衔接的枢纽，特别在应用意识日益加深的今天，函数的单调性与最大(小)值在解决实际问题中有着相当重要的作用。因此，函数单调性与最大(小)值的教学，在教材体系中有着不可替代的位置，又有着重要的现实意义。函数的单调性最大(小)值是函数的重要性质之一，它是研究函数值与自变量变化的一种关系，既要求学生结合函数的图象（直观性）来研究函数单调性和最大(小)值，也要求学生利用函数单调性和最大(小)值的定义（严谨性）来研究函数单调性和最大(小)值。因此本节课的教学重点是函数的单调性与最大(小)值的概念及其几何意义；判断、证明函数单调性；求函数的最大(小)值，利用单调性和最大(小)值来解决实际问题，培养学生的函数思想，数形结合思想以及应用数学意识。二、目标和目标解析1、通过观察一些函数图象的特征，形成函数单调性的直观认识。再通过具体函数值的大小比较，认识函数值随自变量的增大（减小）的规律，由此得出函数单调性的定义。理解函数单调性的定义，能够熟练应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性。2、通过实例，使学生体会到函数的最大（小）值实际上是函数图象的最高（低）点的纵坐标，因而借助函数图象的直观性可得出函数的最大（小）值，由此得出函数最大（小）值的定义。理解函数最值的定义，掌握求最值的基本方法和基本步骤，能解决相关实际问题。3、利用函数的单调性和图象求函数在闭区间上的最大（小）值，解决日常生活中的实际问题，增进对数学应用价值的认识，激发学习数学兴趣与热情。4、学会运用函数图象理解和研究函数的性质，利用函数的性质来画函数的图象（草图），培养学生数形结合的思想和应用数学意识。5、函数单调性和最大（小）值的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程。培养学生的探究能力和创新精神，体验到思考与探索的乐趣，培养学生勇于探索，善于研究的精神，挖掘其非智力因素的资源，培养学生良好的思维品质。三、教学问题诊断分析函数的单调性这一性质学生在初中曾经接触过,但只是从图象上直观分析图象的上升与下降，而现在要求把它上升到理论的高度，用准确的数学语言去刻画它。这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变对高一的学生来说是比较困难的，因此要在概念的形成上重点下功夫。在函数的单调性的概念教学中，学生往往在理解“任意两个”、“都”这两个词的含义出现障碍，误认为“有两个”、“某两个”，而教学中利用函数的图象，举一些反例加以理解巩固。函数的单调性一定与某个区间相对应，而学生容易犯“某个函数单调递增（减）函数”这一错误。“函数在（-∞，0）上y随x增大而减少，在（0，+∞）上y随x的增大而减少。”而学生容易错误理解函数在定义域内是减函数，即把两个单调区间进行合并；分别在区间上取两个数-1和5，-15，而f(-1)f(5)这与函数单调递减的定义相矛盾加以说明。单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容，学生在代数论证推理方面的能力是比较弱的，许多学生甚至还搞不清什么是代数证明，也没有意识到它的重要性，所以单调性的证明自然就是教学中的难点。在证明过程中，有些学生在作差变形中，缺乏相应的运算变换能力，在教学中多举一些例子，多让学生接触一些不同类型，然后进行必要总结（通分，因式分解，有理化，配方等），要变形到最后能判断符号为止，千万不能想当然，或中间“烂肚子”而直接下结论。对于函数的最大（小）值的定义，在初中也只有定性的研究，而现在要求定量探讨，用准确的数学语言来描述。学生对“任意”、“都”、“存在”这些词的含义不容易理解，利用求函数的最值，讨论函数（x0）单调区间等具体的例子加以巩固。四、学习行为分析学生在学习本节内容之前已经学习了函数的定义，表示法，图象，也学习了一次函数，二次函数，反比例函数的函数值y与变量x之间的关系，特别是学习了二次函数的最大（小）值，这为理解函数的单调性和最大（小）值奠定了一定的基础。但另一方面，以前对函数的单调性和最大（小）值的研究是一种定性的研究，侧重于直观的思维，而本节内容是要对函数单调性和最大（小）值的定量的研究，侧重于逻辑思维能力，这给学生的学习带来了较大的困难。因此，在教学过程中，多创设熟悉的问题情景：如在引课中利用建造一个长方形的花坛，构造熟悉的二次函数，上课中所举例子都是一些常见的函数来加以落实。在定义教学中，多给学生思考问题的时间和空间，引导学生观察，归纳，总结。特别利用数形结合，定性与定量相结合，尽量让学生用数学语言来描述，以便于学生的理解和掌握。利用类比教学法：当介绍了增函数的定义之后，让学生自己得出相应减函数的定义；当介绍了函数最大值的定义之后，让学生自己得出函数最小值的定义；便于学生进一步加深对定义的理解。对于一些容易出错的问题采取纠错教学法：“函数在(-∞,0）上y随x的增大而减少,在（0,+∞）上y随x的增大而减少，则函数在定义域内是减函数”。“所有函数是否都有最大（小）值？”、“函数在相应的区间内是否一定有单调性？”。还有一些比较复杂的问题：“确定函数的单调区间”等问题让学生去讨论，去探究，教师积极引导，培养学生的自主探究能力。五、教学支持条件分析函数的单调性和函数的最大（小）值这一性质学生在初中接触到过，但只侧重于图象上直观分析，而现在要求把它上升到理论的高度，用准确的数学语言去刻画它。这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变对高一的学生来说是比较困难的，为了突破这一难点，充分发挥信息技术的辅助教学的功能。在概念教学中，首先利用多媒体技术画出函数y=x，y=x2，，y=x3相应的函数的图象，然后在函数上取不同的点，由学生观察函数的值y随x的变化而变化的规律，化静为动，化抽象为直观，便于学生理解。对于概念中的一些关键字词，比如“任意”、“都”、“存在”在多媒体课件中用不同的颜色加以标明，便于学生加深印象。对于一些容易出错的问题采取小组讨论法，纠错法。例如教师提出“讨论函数的单调性”，让学生分组讨论，然后推荐代表发言。有学生会回答是“递减函数”，理由是“图形的形状是下降”。也有同学会回答“不是单调函数”，理由是“因为x1=-1，x2=1时，x1x2，这时f(-1)f(1)，与减函数的意义不符，所以它不是减函数，同样也不是增函数”。也有同学会回答“函数在(-∞,0)上是减函数,在(0,+∞)也是减少，理由是可以用定义来证明之。根据学生的不同回答，首先让其它组的同学予以纠正，充分发挥学生的力量；当学生碰到困难时，教师予以引导，点拨，最后统一结论。对于例（3）学生熟悉的烟花问题，可采用自学导学法，首先让学生通读题目，理解题意，然后利用多媒体演示动画模型，激发学生学习兴趣；接着相互讨论，共同解决。最后学生提问，教师答疑，师生共同小结求最值的基本方法。六、评价设计《高中数学课程新标准》中提出：“对学生数学学习的评价，既要关注学生知识与技能的理解和掌握，更要关注他们情感与态度的形成与发展；既要关注学生数学学习的结果，更要关注他们在学习过程中的变化和发展。”根据新课程标准的要求，发展性评价的核心是关注学生的发展、促进学生的发展，实现评价发展性功能的一个重要举措就是突出评价的过程性，评价将贯穿于教学的整个过程，将学生在数学学习活动过程中的全部情况都纳入评价的范围，而不只是评价学生的学习的结果。在本教学设计过程中，始终注重过程评价，注重评价的针对性，实效性。主要体现在三个方面：一是基础知识掌握情况的评价。对函数的单调性和函数的最大（小）值的定义能否深刻的，全面的理解，特别是一些关键字词，如“任意两个”、“都”、“存在”的理解。举出正面和反面的例子让学生辨别，个别评价与集体评价相结合。二是基本技能掌握情况的评价。主要包括函数单调性判断的基本方法（图象法，定义法，复合函数法），如何选择不同的方法。证明函数单调性的基本步骤和基本策略（主要是作差变形的策略），单调区间的确定。求最值的基本方法的掌握情况等。三是数学思想的落实和数学探究能力培养的评价。运用函数图象理解和研究函数的性质，利用函数的性质来画函数的图象（草图），提升学生数形结合的思想。函数单调性和最大（小）值的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程。让学生真正参与到数学活动中来，让学生真正成为学习的主人。（具体的教学评价见教学过程）七、教学过程设计设计环节设计意图师生活动一．创设情境，导出问题“问题是数学的心脏”，把问题作为出发点，为下一步提出探索性的问题创设有效的学习环境。教师提出问题：学校准备建造一个长方形的花坛，周长设计为16米。由于受周围地理位置限制，其中一边的长度既不能超过6米，又不能少于1米。以实际问题为背景、以学生熟悉的一元二次函数为入口点，激活学生原有的认知，让学生对所要学的新知获得感性的认识。问1、建立面积y与一边长x的函数关系式。生：y=x(8-x)(1≤x≤6)问2、画出上面函数的图象。问3、指出y的值与x值的变化关系。生：当1≤x≤4时，y随x值的增大而增大，当4≤x≤6时，y随x值的增大而减小。问4、求出面积的最大值与最小值。生：当x=4时，Smax=16m；当x=1时，Smin=7m引导学生解决，体会函数单调性与最大（小）值在实际中的应用。二、借助信息技术，利用熟悉的函数，给出单调性直观认识。从形象、直观的图形入手，为探索与思考问题提供方向和“路标”，并借机发展学生的动手实践能力、创新能力、和探索能力。请学生分别画出下列函数的图象，并探讨函数值y与自变量x之间的关系：y=x，y=x，y=，y=x3学生动手画图，个别板演，集体探讨函数值与自变量之间的关系，教师适当引导。y=x在R上y随x的增大而增大。y=x在(-∞,0)上y随x的增大而减少，在(0,+∞)上y随x的增大而增大。y=在（-∞，0）上y随x的增大而减少,在（0，+∞）上y随x的增大而减少。y=x3在R上y随x的增大而增大。教师利用信息技术，动画演示函数的图象。三、从定性到定量，引出单调性的定义，并能深刻理解定义的含义。从定性描述到定量描述，从通俗的日常用语到严谨的数学语言，让学生学会抽象概括，学会逻辑地、合理地思考问题。注意数形结合，定义是严谨的语言，图象是直观的语言，注意两者有机的结合。怎样用数学语言表示y=x在R上y随x的增大而增大呢？（学生讨论，教师引导，得出增函数的定义）(学生不一定一下子答得比较完整，教师应抓住时机予以启发，纠正，补充)。一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于属于I内某个区间D上的任意两个自变量值x1、x2,当x1x2时,都有f(x1)f(x2).那么就说f(x)在这个区间D上是增函数(increasingfunction)用类比的方法得出减函数的定义：如果对于属于I内某个区间D上的任意两个自变量值x1、x2,当x1x2时,都有f(x1)f(x2).那么就说f(x)在这个区间D上是减函数(decreasing利用类比方法，实现知识与能力的迁移教师提出问题，让学生在自主探索，讨论，在合作交流中，充分体现学生学习的主体性，对概念进一步深入的领会。function)如果函数y=f(x)在某个区间D上是增函数或减函数。那么就说函说y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间.1、“函数y=x2是单调递增函数”这一说法对吗？2、y=在（0,+∞）上是减函数，在(-∞,0)是减函数，能否说函数在整个定义域上是减函数？3、函数在某个区间是否一定具有单调性？4、如何理解定义中“任意”两个字？四、讲解例题、巩固知识，提高能力。例（1）是利用函数的图象来判断函数的单调性，具有直观性，也是常用方法。例（2）是利用单调性的定义来