实变函数论第三版课件

实变函数论与泛函分析曹广福第1讲集合及其运算目的：了解集合的表示法；掌握集合的基本运算；熟悉一些常用集合的符号；准确理解集合序列的上、下限集。重点与难点：集合序列的上、下限集。基本内容：一．背景1．Cantor的朴素集合论2．悖论3．基于公理化的集合论第1讲集合及其运算二．集合的定义—具有某种特定性质的对象的全体1．集合的几种表示法我们在诸如《数学分析》等前期课程中已接触过集合这个概念，所谓集合，指的是具有某种特定性质的对象的全体，通常用大写英文字母A，B，X，Y…等表示；集合中的每个对象称为该集合的元素。一般说来，我们总用小写字母a,b,x,y…表示集合中的元素。集合及其运算对于集合A，某一对象x如果是A的元素，则称x属于A，记作；如果x不是A的元素，则称x不属于A，记正如定义所说，集合是由具有某种特定性质的对象全体组成的，因此，在表示一个集合时，常把这一性质写出来，例如，A是由具有性质P的元素全体组成时，通常记为：，其中P可以是一段文字，也可以是某个数学式子。}|{PxxA具有性质xAxAxA或集合及其运算2．几个特殊的集合及其表示：除了上述方法之外，有时也用特殊记号表示某些特殊的集合。比如，在大多数场合下，R始终表示实数全体（或直线）C始终表示复数全体（或复平面），N、Z、Q分别表示自然数、整数、有理数全体，以后如无特别声明，我们也都不加解释地使用这些符号。此外，直线上的区间也采用诸如[a,b]，（a,b）等记号，如果一个集合仅由有限个元素组成，则最方便的办法是将其一一列出，例如，1到10的自然数全体可记作{1,2,3,…,10}，不含任何元素的集合称为空集，记作。集合及其运算三．集合的运算1.集合的子集假设A,B是两个集合，如果A中的元素都是B中的元素，则称A是B的子集，记作前者读作“A包含于B中”，后者读着“B包含A”。显然，空集是任何集合的子集，任何集合是其自身的子集。假如要证明A是B的子集，最常用的办法是，任取。如果A是B的子集，且存在，则称A是B的真子集，记作。如果A是B的子集，B又是A的子集，则称A与B相等，记作A=B。BxAx然后设法证明,AbBb使,BABAAB或集合及其运算2．交运算所有既属于A，又属于B的元素组成的集合称为A与B的交集（或通集），记作，若，则称A与B互不相交，显然B当且仅当且。对于一簇集合，可类似定义其交集，即BABAAxAxBxAA}{},|{AxAxAA有对每一集合及其运算3.并运算假设A，B是两个集合，所谓A与B的并集（或和集），指的是由A与B中所有元素构成的集合，记作，换句话说，对于一簇集合，可类似定义其并集，即BA.BxAxBAx或当且仅当AA}{},{AxAAA使存在例注：在本书中我们未把0包含在N内,+∞不在Ｎ中,},11:{11NnxxAnnn设]0,1[1nnA)1,2(1nnA((])-2-1-1/n-101-1/n1例][1][1nafnafEE则记设},)(:{,:][axfExEREfaf([a-1/na),(),[11nnaa)(][11nafnE)),[(11nna([([[a-1/n-1a-1/na-1/n+1a例则记设},)(:{,:][axfExEREfaf][1][1nafnafEE([aa+1/n)),((11nna)(][11nafnE),[),(11nnaa集合及其运算4．差（余）运算由所有属于A但不属于B的元素组成的集合，称为A减B的差集，记作A-B（A\B），也就是说，，但。AxBAx当且仅当Bx集合及其运算应该注意的是，此处并未要求B是A的子集。假如B是A的子集，则称A-B为B关于A的余集，记作CAB。需要指出的是，我们讲某个集合的余集时，要弄清相对于哪个集合的余集，特别是涉及到多个集合时，尤其应注意。有时，我们总是限定在某个固定集合A内讨论一些子集，在这种情况下，可以省略A，而将CAB记作CB（或BC）。集合称为A与B的对称差，记作。)()(ABBABA第1讲集合及其运算四.集合的运算问题1：回忆数的四则运算，由此猜测集合的运算应该具有什么性质。集合及其运算定理1（1）（2）（3）（4）（5）（6）AAAAAA,AAAAA,,ABBAABBA;;)()(CBACBA;)()(CBACBA)()()(CABACBA)()()(CBCACBA集合及其运算（7）（8）（9）（10）（11）（12）。)()(BACBAC)()(BABABA)()()(CABACBA)()()(CABACBABCACCAB则若,ABABABAB,,则若集合及其运算上述基本性质都是常用的，其中（9），（10）两式通常称为德摩根（DeMorgan）法则，它们的证明也是容易的。现在以（10）式为例进行证明。集合及其运算(9')()()(10')()()AAAASASASASA集合及其运算五．集合序列的上、下(极)限集},,:{nAxNnNx使是一个集合序列设,,,,21nAAA(){:}{:}limsuplimnnnnnnnAAxxAxAxA或属于无限多个集合存在无限多个，使上极限集1NNnnANB例：设A2n=[0,1]A2n+1=[1,2];则上极限集为[0,2］下极限集(){:}{:}limliminfnnnnnnAAxxAxnxA或除去有限个集外，有当充分大时，有1NNnnA例：设A2n=[0,1]A2n+1=[1,2];则上极限集为[0,2],下极限集为{1}11limlimnnnnnnnnAAAA1},,:{NNnnnAAxNnNx使上极限集(){:}limsuplimnnnnnAAxxA或属于无限多个集合},,:{nAxNnNx有NB如果集列的上极限集与下极限集相等，即}{nA极限集则称集列收敛，称其共同的极限为集列的极限集，记为：}{nA}{nAlimnnAAlimlimnnnnAAA单调增集列极限;}{),(}{1为单调减少则称满足若集列nnnnANnAAA;}{),(}{1为单调增加则称满足若集列nnnnANnAAA定理9：单调集列是收敛的.}{)21limnnnnnAAA单调减少，则若;,}{)11limnnnnnAAA则单调增加若单调增集列极限分析1},,:{NNnnnAAxNnNx使)(suplimlimnnnnAA1},,:{NNnnnAAxNnNx有)(inflimlimnnnnAA111nnNNnnnnNnnAAAA当An为单调增加集列时11NNNNnnNNnnAAAA单调减集列极限分析1},,:{NNnnnAAxNnNx使)(suplimlimnnnnAA1},,:{NNnnnAAxNnNx有)(inflimlimnnnnAA11NNNNnnNNnnAAAA当An为单调减小集列时111nnNNnnnnNnnAAAA则设,),,(),11,11(212NnnnAnnAnn例1},,:{NNnnnAAxNnNx使)(suplimlimnnnnAA1},,:{NNnnnAAxNnNx有)(inflimlimnnnnAA(((）))-n-1012n(,)limnnA(1,1]limnnA则设,],1,[],4,[1121112NnAAnnnnnn例[[]]-1012341},,:{NNnnnAAxNnNx有)(inflimlimnnnnAA1},,:{NNnnnAAxNnNx使)(suplimlimnnnnAA(0,1]limnnA[0,4)limnnA例111}|)()(:|{)}()(lim:{kNNnknnnxfxfxxfxfxknknnxfxfNnNxfxf11|)()(|,,1,1:)()(lim有},:{AxxA有},:{AxxA使例111})(:{})(:{)()(limkNNnknnnaxfxaxfxxfxf，则设knkkaxfNnNaxf111)(,,1,)(,1有利用极限的保号性知，使得从而aaxfnaxfNnNkknk111)()(,,1,1取极限，则两边关于有则，若111})(:{kNNnknaxfxx,)()(lim},)({axfxfaxfxxnn即：反之若aa+1/kf(x)第1讲集合及其运算一．域与б-域有理数全体（或实数全体）相对于四则运算是封闭的，人们通常称它们为有理数域（或实数域），整数集则不然。前面已经定义了集合的“并”、“交”、“差”运算，那么什么样的集簇相对于集合的运算是封闭的呢？第1讲集合及其运算这就是下面要引进的定义。定义2假设S是一个给定的集合，F是以S的一些子集为元素的一个集合，称为S的子集簇，如果它满足（1）；（2）当时，；（3）当。则说F是S的一些子集构成的一个域(或代数)。如果还有是F中一列元素时,有则称F为S的一些子集构成的一个域(或代数)。FAFACsFBAFBA,,时,,,,)3(21nAAA当FAnn1F第1讲集合及其运算不难发现，如果（1）、（2）、（3）成立，则必有，且对任意。如果(3‘)成立，则对任意有。域的最简单例子是S的一切子集构成的簇，这是S的子集簇中最大者；另一个例子是由空集和S本身构成的簇，这是S的子集所构成的域中最小者。FSFBAFBA,,,,,,,21FAAAnFAnn1第1讲集合及其运算问题5：对于一个给定集合的子集簇F，它关于集合的运算可能不是封闭的。1.如何构造一个б-域包含F?2.这样的б-域有多少？3.存不存在满足上述条件的最小的б-域？4.如何构造？第1讲集合及其运算我们所要的域G(F)必须满足这样两个条件（i）（ii）任何包含F的域都包含G(F)，换句话说，G(F)是包含F的域中最小者。满足（i）的域不难找，S的一切子集构成的域便是一个，问题在于如何找最小的一个，为此，不妨把包含F的所有域相交，记这个集合为，则显然有，而且任何包含F的域当然也包含了，如果我们证明了是一个域，则它就是包含F的最小域。)(FGF()FFF()FF()FF()FF第1讲集合及其运算下面的定理说明，不仅是含F的最小域，而且是满足（i）、（ii）的唯一域定理3假设F是S的子集簇，则是满足（i）、（ii）的唯一的域。()FF()FF第2讲势的定义目的：掌握势的定义，熟悉势的性质，了解势的比较。重点与难点：势的定义及比较。第2讲势的定义7苹果{1,2,3,4,5,6,7}7桔子一．势的定义问题1：回忆有限集是如何计数的？问题2：有限集的计数方法如何移植到无限集情形？第2讲势的定义第2讲势