探索绝对值的最值问题

知识准备1、∣a∣表示的意义是什么？2、∣a∣是什么数？最小是多少？3、你知道∣x+2∣表示的意义吗？它的最小值是多少？∣a∣的意义：在数轴上表示数a的点到原点的距离∣a∣是非负数，即∣a∣≥0，最小值是0∣x+3∣的意义：在数轴上表示数x的点到表示3的点的距离；最小值是0.探究一问题：当x=时，∣x－2∣－3有最小值，最小值是多少？解：∵∣x－2∣≥0∴∣x－2∣－3≥－3∵当x=2时，∣x－2∣=0∴当x=2时，∣x－2∣－3=－3因此，当x=2时，∣x－2∣－3有最小值，最小值是－3探究二当x=时，∣x－1∣+∣x－2∣有最小值，最小值是多少？思维点拨：1、∣x－1∣表示的意义是什么？2、∣x－2∣表示的意义是什么？3、∣x－1∣+∣x－2∣表示的意义又是什么？问题解决解:设A：1，B：2，M：x则AM=∣x－1∣，BM=∣x－2∣ＡＭ＋ＢＭ＝∣x－1∣+∣x－2∣如图，易知当点M在AB上时，ＡＭ＋ＢＭ有最小值因此，当１≤ｘ≤２时，∣x－1∣+∣x－2∣有最小值，最小值是１（AB=1）注：也可用分类讨论的方法求∣x－1∣+∣x－2∣的最小值探究三问题：当x=时，∣x－1∣+∣x－2∣+∣x－3∣有最小值，最小值是多少？1、那么怎样求∣x－1∣+∣x－2∣+∣x－3∣的最小值呢？能否分为两组呢？怎么分组呢？可分为∣x－1∣+∣x－3∣和∣x－2∣两组.有探究一和探究二可知当1≤x≤3时，∣x－1∣+∣x－3∣有最小值为2.当x=2时，∣x－2∣有最小值是0因此，当x=2时，∣x－1∣+∣x－2∣+∣x－3∣有最小值，最小值是22、X为多少时，可以满足两组同时取最小值呢？X=2分组标准：存在x取值同时满足各组.有最小值探究四问题：当x=时，∣x－1∣+∣x－2∣+∣x－3∣+∣x－4∣有最小值，最小值是多少？同样，我们可以分为∣x－1∣+∣x－4∣和∣x－2∣+∣x－3∣两组当1≤x≤4时，∣x－1∣+∣x－4∣有最小值为3.当2≤x≤3时，∣x－2∣+∣x－3∣有最小值为1.二者同时取最小值的条件是2≤x≤3因此，当2≤x≤3时，∣x－1∣+∣x－2∣+∣x－3∣+∣x－4∣有最小值，最小值是4探索五问题：当x=时，∣x－1∣+∣x－2∣+∣x－3∣+∣x－4∣+∣x－5∣有最小值，最小值是多少？同样，我们可以分为∣x－1∣+∣x－5∣、∣x－2∣+∣x－4∣和∣x－3∣三组当1≤x≤5时，∣x－1∣+∣x－5∣有最小值为4.当2≤x≤4时，∣x－2∣+∣x－4∣有最小值为2.当x=3时，∣x－3∣有最小值为0.三者同时取最小值的条件是x=3因此，当x=3时，∣x－1∣+∣x－2∣+∣x－3∣+∣x－4∣+∣x－5∣有最小值，最小值是6探索六问题：当x=时，∣x－1∣+∣x－2∣+∣x－3∣+∣x－4∣+∣x－5∣+∣x－6∣有最小值，最小值是多少？同样，我们可以分为∣x－1∣+∣x－6∣、∣x－2∣+∣x－5∣和∣x－3∣+∣x－4∣三组当1≤x≤6时，∣x－1∣+∣x－6∣有最小值为5.当2≤x≤5时，∣x－2∣+∣x－5∣有最小值为3.三者同时取最小值的条件是3≤x≤4因此，当3≤x≤4时，∣x－1∣+∣x－2∣+∣x－3∣+∣x－4∣+∣x－5∣+∣x－6∣有最小值，最小值是8当3≤x≤4时，∣x－3∣+∣x－4∣有最小值为1.由上述几个探究你发现了什么规律?每个探索的规律一样吗？探索与发现规律问题：当x=时，∣x－a1∣+∣x－a2∣+∣x－a3∣+...+∣x－an-1∣+∣x－an∣有最小值？已知a1≤a2≤a3≤a4≤...≤an-1≤an猜想：当x=时，原式有最小值.⑴当n为奇数时an21⑵当n为偶数时当时，原式有最小值.aannx212拓展延伸一问题：当x=时，∣x－1∣+∣x－2∣+∣x－3∣+...+∣x－2012∣有最小值，最小值是多少？当1006≤x≤1007时，原式有最小值.（1007-1006）+（1008-1005）+（1009-1004）+...+（2012-1）它的最小值=1+3+5+7+...+2011=10062拓展延伸二问题：当x=时，∣x－1∣+∣x－2∣+∣x－3∣+...+∣x－2012∣+∣x－2013∣有最小值，最小值是多少？当x=1007时，原式有最小值.它的最小值（1007-1007）+（1008-1006）[phone]）+...+（2013-1）=0+2+4+6+8+...+2012=1006×1007