24.1.2垂直于弦的直径.ppt

24.1.2垂直于弦的直径1.理解圆的轴对称性及垂径定理及其它的推证过程；能初步应用垂径定理进行计算和证明.2.进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力.3.通过圆的对称性，培养学生的数学审美观，并激发学生对数学的热爱．学习目标•学习重点：理解圆的轴对称性，掌握垂径定理及其推论，学会运用垂径定理等结论解决一些有关证明、计算和作图问题。•学习难点：垂径定理及其推论。自学指导•认真看书81-83页，独立完成以下问题，看谁做得又对又快？•1、结合81探究，同学们动手操作，你发现了什么？你得到什么结论？你会证明你的结论吗？•2、什么是垂径定理？它的推论是什么？•3、你知道解例2的每步依据吗？问题&探究1用纸剪一个圆（课前布置学生准备好）圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴2．探究新知不借助任何工具，你能找到圆形纸片的圆心吗?由此你能得到圆的什么特性？实践探究把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？·OABCDE活动二（1）是轴对称图形．直径CD所在的直线是它的对称轴（2）线段：AE=BE⌒⌒弧：ＡＣ＝ＢＣ，ＡＤ＝ＢＤ⌒⌒把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，ＡＣ和ＢＣ重合，ＡＤ和ＢＤ重合．⌒⌒⌒⌒叠合法垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。题设结论（1）过圆心（2）垂直于弦｝｛（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧3．获得新知垂径定理垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧CD⊥AB∵CD是直径，∴AE=BE,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.·OABCDE•老师提示:•垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.3．获得新知知二推三问题&探究3问题：把垂径定理中的题设垂直于弦的直径换为平分弦的直径。你会得到什么结论？垂径定理推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。∴CD⊥AB,∵CD是直径，AE=BE⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.·OABCDE（2）“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例。平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。·OABCD①CD是直径,②CD⊥AB,③AM=BM⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.如果具备上面五个条件中的任何两个，那么一定可以得到其他三个结论吗？一条直线满足:(1)过圆心;(2)垂直于弦;(3)平分弦（不是直径）;(4)平分弦所对优弧;(5)平分弦所对的劣弧.●OABCD└M课堂讨论根据已知条件进行推导：①过圆心②垂直于弦③平分弦④平分弦所对优弧⑤平分弦所对劣弧（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。①⑤③④②①④③②⑤①③②④⑤①④⑤②③（3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。①②③④⑤只要具备上述五个条件中任两个,就可以推出其余三个.(4)若，CD是直径,则、、.(1)若CD⊥AB,CD是直径,则、、.(2)若AM=MB,CD是直径,则、、.(3)若CD⊥AB,AM=MB,则、、.1.如图所示:练习●OABCD└MAM=BM⌒⌒AC=BC⌒⌒AD=BDCD⊥AB⌒⌒AC=BC⌒⌒AD=BDCD是直径⌒⌒AC=BC⌒⌒AD=BD⌒⌒AC=BCCD⊥ABAM=BM⌒⌒AD=BDEDCOAB下列图形是否具备垂径定理的条件？ECOABDOABc是不是是不是OEDCABEDCOABOBCADDOBCAOBAC垂径定理的几个基本图形：CD过圆心CD⊥AB于EAE=BEAC=BCAD=BD1、如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论中不成立的是（）A、∠COE=∠DOEB、CE=DEC、OE=AED、BD=BC⌒⌒·OABECDC2、如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB=cm。·OABE解：连接OA，∵OE⊥AB∴cmOEOAAE8=6＋10=＋=2222∴AB=2AE=16cm3、如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。·OABE解：过点O作OE⊥AB于E，连接OA∴cmOEcmABAE3=4=21=∴cmOEAEAE5=3＋4=＋=2222即⊙O的半径为5cm.4、如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE=1，AB=10，求直径CD的长。·OABECD解：连接OA，∵CD是直径，OE⊥AB∴AE=1/2AB=5设OA=x，则OE=x-1，由勾股定理得x2=52+(x-1)2解得：x=13∴OA=13∴CD=2OA=26即直径CD的长为26.如图，1400多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是37m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23m，你能求赵州桥主桥拱的半径吗？例237m7.23mABOCD关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线。圆心到弦的距离、半径、弦构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。ABOCD解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在的圆的圆心为O，半径为R.经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与AB交于点C，则D是AB的中点，C是AB的中点，CD就是拱高.∴AB=37m，CD=7.23m∴AD=1/2AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23∵222ADODOA解得R≈27.3（m）即主桥拱半径约为27.3m.⌒⌒22223.75.18RR2.（湖州·中考）如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，下列结论中一定正确的是（）A．AE＝OEB．CE＝DE12CEC．OE＝D．∠AOC＝60°B1.（绍兴·中考）已知⊙O的半径为5,弦AB的弦心距为3,则AB的长是()A.3B.4C.6D.8D四、当堂检测巩固新知2、已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点.求证：AC＝BD.证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，则AE＝BE，CE＝DE.AE－CE＝BE－DE.所以，AC＝BDE.ACDBO通过本课时的学习，需要我们：1．理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程；能初步应用垂径定理进行计算和证明.2．掌握垂径定理的推论,明确理解“知二推三”的意义.利用垂径定理及其推论解决相应的数学问题.五、课堂小结六、家庭作业•1、必做p89页2题90页9题•2、选作p89页1题