24.1.2垂直于弦的直径

第二十四章圆24.1圆的有关性质A知识要点分类练B规律方法综合练第二十四章圆C拓广探究创新练24.1.2垂直于弦的直径A知识要点分类练24.1.2垂直于弦的直径知识点1圆的对称性1．下列说法中，不正确的是()A．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形B．圆绕着它的圆心旋转任意角度，都会与自身重合C．圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个D．圆的每一条直径都是它的对称轴D24.1.2垂直于弦的直径2．如图24－1－14，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是()A．CM＝DMB.CB︵＝DB︵C．∠ACD＝∠ADCD．OM＝MB图24－1－14D知识点2垂径定理24.1.2垂直于弦的直径【解析】∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，∴M为CD的中点，即CM＝DM，选项A成立．由已知得B为CD︵的中点，即CB︵＝DB︵，选项B成立．在△ACM和△ADM中，∵AM＝AM，∠AMC＝∠AMD＝90°，CM＝DM，∴△ACM≌△ADM，∴∠ACD＝∠ADC，选项C成立．而OM与MB不一定相等，选项D不成立．故选D.24.1.2垂直于弦的直径3．如图24－1－15所示，⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，垂足为N，则ON的长度为()A．5B．7C．9D．11图24－1－15A【解析】因为ON⊥AB，所以AN＝12AB＝12×24＝12，∠ANO＝90°.在Rt△AON中，由勾股定理，得ON＝OA2－AN2＝132－122＝5.故选A.24.1.2垂直于弦的直径4．2017·泸州如图24－1－16，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝8，AE＝1，则弦CD的长是()A.7B．27C．6D．8图24－1－16B【解析】连接OC，则OC＝4，OE＝3，在Rt△OCE中，CE＝OC2－OE2＝42－32＝7.因为CD⊥AB，所以CD＝2CE＝27.24.1.2垂直于弦的直径5．2017·金华如图24－1－17，在半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为()A．10cmB．16cmC．24cmD．26cm图24－1－17C24.1.2垂直于弦的直径【解析】如图，过点O作OD⊥AB于点C，交⊙O于点D.∵CD＝8cm，OD＝13cm，∴OC＝5cm.又∵OB＝13cm，在Rt△BCO中，根据勾股定理，得BC＝OB2－OC2＝132－52＝12(cm)．∵OC⊥AB，∴AB＝2BC＝24cm.24.1.2垂直于弦的直径6．2017·长沙如图24－1－18，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝6，EB＝1，则⊙O的半径为________．图24－1－18524.1.2垂直于弦的直径【解析】如图，连接OC，∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB，∴CE＝DE＝12CD＝12×6＝3.设⊙O的半径为x，则OC＝x，OE＝OB－BE＝x－1.在Rt△OCE中，OC2＝OE2＋CE2，即x2＝(x－1)2＋32，解得x＝5，∴⊙O的半径为5.24.1.2垂直于弦的直径7．2016·宿迁如图24－1－19，在△ABC中，已知∠ACB＝130°，∠BAC＝20°，BC＝2，以点C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，则BD的长为________．图24－1－192324.1.2垂直于弦的直径【解析】如图，作CE⊥AB于点E.∠B＝180°－∠BAC－∠ACB＝180°－20°－130°＝30°.在Rt△BCE中，∵∠CEB＝90°，∠B＝30°，BC＝2，∴CE＝12BC＝1，BE＝BC2－CE2＝3.∵CE⊥BD，∴BD＝2BE＝23.24.1.2垂直于弦的直径8．如图24－1－20，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．求证：AC＝BD.图24－1－2024.1.2垂直于弦的直径证明：过点O作OH⊥AB于点H，如图，则AH＝BH，CH＝DH，∴AH－CH＝BH－DH，即AC＝BD.24.1.2垂直于弦的直径9．如图24－1－21，已知AB，CD是⊙O的两条弦，OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，OE＝OF.求证：AB＝CD.图24－1－2124.1.2垂直于弦的直径证明：∵OE⊥AB，OF⊥CD，∴AE＝BE，CF＝DF.在Rt△OBE与Rt△ODF中，∵OB＝OD，OE＝OF，∴Rt△OBE≌Rt△ODF(HL)，∴BE＝DF，∴2BE＝2DF，即AB＝CD.知识点3垂径定理的推论10．下列说法正确的是()A．垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧B．平分弦的直径垂直于弦C．垂直于直径的弦平分这条直径D．弦的垂直平分线经过圆心24.1.2垂直于弦的直径D24.1.2垂直于弦的直径11．如图24－1－22所示，⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AM＝BM，OM∶OC＝3∶5，则AB的长为()A．8cmB.91cmC．6cmD．2cm图24－1－22A24.1.2垂直于弦的直径【解析】如图所示，连接OA.∵⊙O的直径CD＝10cm，∴⊙O的半径为5cm，即OA＝OC＝5cm.∵OM∶OC＝3∶5，∴OM＝3cm.∵AM＝BM，∴AB⊥CD.在Rt△AOM中，AM＝52－32＝4(cm)，∴AB＝2AM＝2×4＝8(cm)．故选A.24.1.2垂直于弦的直径12．如图24－1－23所示，AB是⊙O的直径，∠BAC＝42°，D是弦AC的中点，则∠DOC＝________°.图24－1－234824.1.2垂直于弦的直径【解析】∵AD＝CD，∴OD⊥AC.∴∠CDO＝90°，∴∠DOC＋∠ACO＝90°.∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A＝42°，∴∠DOC＝90°－∠ACO＝48°.B规律方法综合练13．2017·西宁如图24－1－24，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD的长为()A.15B．25C．215D．8图24－1－2424.1.2垂直于弦的直径C24.1.2垂直于弦的直径【解析】作OH⊥CD于点H，连接OC，如图，∵OH⊥CD，∴HC＝HD.∵AP＝2，BP＝6，∴AB＝8，∴OA＝4，∴OP＝OA－AP＝2.在Rt△OPH中，∵∠OPH＝30°，∴OH＝12OP＝1.在Rt△OHC中，∵OC＝OA＝4，OH＝1，∴CH＝OC2－OH2＝15，∴CD＝2CH＝215.14．已知⊙O的半径为13cm，弦AB∥CD，AB＝24cm，CD＝10cm，则AB与CD之间的距离为()A．17cmB．7cmC．12cmD．17cm或7cm24.1.2垂直于弦的直径D24.1.2垂直于弦的直径【解析】①当弦AB和CD的位置如图①所示时，过点O作OE⊥AB于点E，延长OE交CD于点F，则OF⊥CD.∵AB＝24cm，CD＝10cm，∴AE＝12cm，CF＝5cm.∵OA＝OC＝13cm，∴OE＝5cm，OF＝12cm，∴EF＝12－5＝7(cm)．②当弦AB和CD的位置如图②所示时，过点O作OE⊥AB于点E，延长EO交CD于点F，则OF⊥CD.∵AB＝24cm，CD＝10cm，∴AE＝12cm，CF＝5cm.∵OA＝OC＝13cm，∴OE＝5cm，OF＝12cm，∴EF＝OF＋OE＝17(cm)．∴AB与CD之间的距离为7cm或17cm.15．如图24－1－25，AB是⊙O的弦，AB的长为8，P是⊙O上一个动点(不与点A，B重合)，过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为________．图24－1－2524.1.2垂直于弦的直径424.1.2垂直于弦的直径【解析】∵OC⊥AP，OD⊥PB，∴AC＝PC，PD＝BD，∴CD是△ABP的中位线．∵AB的长为8，∴CD＝12AB＝4.16．如图24－1－26，⊙O的直径为10cm，弦AB＝8cm，P是弦AB上的一个动点，则OP长的取值范围是________________．图24－1－2624.1.2垂直于弦的直径3cm≤OP≤5cm24.1.2垂直于弦的直径【解析】作直径MN⊥弦AB，垂足为D.由垂径定理，得AD＝DB＝12AB＝4cm.由⊙O的直径为10cm，连接OA，可得OA＝5cm.由勾股定理，得OD＝OA2－AD2＝3cm.∵垂线段最短，半径最长，∴OP长的取值范围是3cm≤OP≤5cm.17．如图24－1－27，点A，B，C，D在⊙O上，AB是⊙O的直径，BE＝CE.(1)请写出四个不同类型的正确结论；(2)若BE＝4，AC＝6，求DE的长．图24－1－2724.1.2垂直于弦的直径24.1.2垂直于弦的直径解：(1)不同类型的正确结论有：BE＝12BC，BD︵＝CD︵，BD＝CD，OD⊥BC，△BOD是等腰三角形，△BDE≌△CDE，OB2＝OE2＋BE2等(答案不唯一，合理即可)．(2)∵AB是⊙O的直径，∴OA＝OB.∵BE＝CE，∴OD⊥BC，OE为△ABC的中位线，∴OE＝12AC＝12×6＝3.在Rt△OBE中，由勾股定理，得OB＝OE2＋BE2＝32＋42＝5，∴OD＝OB＝5，∴DE＝OD－OE＝5－3＝2.8．如图24－1－28，一条公路的转弯处是一段圆弧AB︵.(1)用直尺和圆规作出AB︵所在圆的圆心O(要求保留作图痕迹，不写作法)；(2)若AB︵的中点C到弦AB的距离为20m，AB＝80m，求AB︵所在圆的半径．图24－1－2824.1.2垂直于弦的直径24.1.2垂直于弦的直径解：(1)如图①，连接AC，BC，作线段AC，BC的垂直平分线交于点O，点O即为所求．(2)如图②，连接OA，AB，OC，OC交AB于点D.∵C为AB︵的中点，∴OC⊥AB，∴AD＝BD＝12AB＝40m.设⊙O的半径为rm，则OA＝rm，OD＝OC－CD＝(r－20)m.在Rt△OAD中，∵OA2＝OD2＋AD2，∴r2＝(r－20)2＋402，解得r＝50.即AB︵所在圆的半径是50m.19．有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图24－1－29所示，正常水位下水面宽AB＝60m，水面到拱顶距离CD＝18m，当洪水泛滥，水面到拱顶距离为3.5m时需要采取紧急措施，当水面宽MN＝32m时，是否需要采取紧急措施？请说明理由．图24－1－2924.1.2垂直于弦的直径新知梳理C拓广探究创新练24.1.2垂直于弦的直径解：不需要采取紧急措施．理由：∵OD为弓形的高，∴AB︵所在圆的圆心在直线CD上，设圆心为O，连接OA，OC，OM.设OA＝Rm，在Rt△AOC中，AC＝12AB＝30m，OC＝OD－CD＝(R－18)m，∴R2＝302＋(R－18)2，解得R＝34.设CD交MN于点E，DE＝xm，在Rt△MOE中，ME＝12MN＝16m，OE＝OD－DE＝(34－x)m，∴342＝162＋(34－x)2，即x2－68x＋256＝0，解得x1＝4，x2＝64(不合题意，舍去)，∴DE＝4m．∵4m＞3.5m，∴不需要采取紧急措施．