24.1.2垂直于弦的直径-(共23张PPT)

24.1.2垂直于弦的直径学习目标1.通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性；2.掌握垂径定理及其推论，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题3.经历探索垂径定理及其推论的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法；你知道赵州桥吗？它是1400多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶，它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37米，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23米，你能求出主桥拱的半径吗？在纸上画一个⊙O,以⊙O的一条直径为轴，把⊙O对折，你发现了什么？圆是轴对称图形，对称轴是任意一条过圆心的直线已知：如图，CD为⊙O的直径，A是⊙O上异于C、D的任意一点．证明：⊙O关于直线CD对称·OAA’CDE证明:过点A作AA’⊥CD，交⊙O于点A’，垂足为E，连接OA,OA’.在△OAA’中，∵OA=OA’∴△OAA’是等腰三角形。又AA’⊥CD∴AE=A’E即CD是AA’的垂直平分线，对于圆上任意一点A，在圆上都有关于直线CD的对称点A’，因此⊙O关于直线CD对称。如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？·OABCDE（1）是轴对称图形．直径CD所在的直线是它的对称轴（2）线段：AE=BE弧把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合点A与点B重合，AE与BE重合，ＡＣ和ＢＣ重合，ＡＤ和ＢＤ重合．⌒⌒⌒⌒,ACBCADBD直径CD垂直于弦AB.猜想AP=BPABCOPD,ACBCADBD·ABCDOPAP=BP，求证：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为P。已知：连接OA,OB,则OA=OB.∵OA=OB，OP⊥ＡＢ，∴AP=BP.∴点A和点B关于CD对称.∵⊙O关于直径CD对称,∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,和重合,和重合.证:,ACBCADBDACBCBDAD,ACBCADBD自己动手，探索新知教学程序垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.①过圆心②垂直于弦③平分弦⑤平分弦所对的劣弧④平分弦所对的优弧题设结论AP=BP,由CD是直径CD⊥AB可推得垂径定理：·ACDOPBADBDACBCRDBOACAB在图中37.4AB，CD=7.21137.418.722ADAB7.2ODOCDCR在中，由勾股定理，得RtOAD222OAADOD解得：即∴赵州桥的主桥拱半径约为.22218.7R（R-7.2）27.9()Rm27.9m教学程序ABBA如图，用ＡＢ表示主桥拱，设ＡＢ所在圆的圆心为O，半径为R．经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与AB相交于点D，根据前面的结论，D是AB的中点，C是ＡＢ的中点，CD就是拱高．⌒⌒⌒解：373.75如图，AB是⊙O的弦(不是直径)，作一条平分AB直径CD，交AB于点E．（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？·OABCDE（1）是轴对称图形．直径CD所在的直线是它的对称轴（2）CD⊥AB弧：把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合点A与点B重合，和重合，和重合．⌒,ACBCADBD·ABCDOECD⊥AB，求证：在⊙O中，CD是直径，AB是弦,CD平分AB，交AB于点E。已知：连接OA,OB,则OA=OB.∵AE=BE，OE=OE,∴∠AEO=∠BEO,证:∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,∠BEO+∠AEO=180∴CD⊥AB∴和重合.ADBD∴和重合,BCAC,ACBCADBD垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．·OABCDECD⊥AB,由CD是直径AE=BE可推得ACBCADBD①过圆心③平分弦⑤平分弦所对的劣弧④平分弦所对的优弧②垂直于弦这五个条件中的任何两个，就可以推出另外三个判断下列说法的正误①平分弧的直径必平分弧所对的弦()②平分弦的直线必垂直弦()③垂直于弦的直径平分这条弦()④平分弦的直径垂直于这条弦()⑤弦的垂直平分线是圆的直径()⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦()⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，必平分此弦所对的弧()例1如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离（弦心距）为3厘米，求⊙O的半径。.AEBO变式一:在⊙O中,直径为10cm,弦AB的长为8cm,求圆心O到AB的距离.变式二:在⊙O中,直径为10cm,圆心O到AB的距离为3cm,求弦AB的长.538CD变式三：CD是⊙O的直径，AB为弦，AB⊥CD于E，若AB=6，CE=1，则⊙O的直径为多少？10若圆心到弦的距离用d表示,半径用r表示,弦长用a表示,这三者之间有怎样的关系?222()2ard求圆中有关线段的长度时,常借助垂径定理转化为直角三角形,从而利用勾股定理来解决问题.思考:2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．D·OABCE证明：OEACODABABAC909090OEAEADODA∴四边形ADOE为矩形，又∵AC=AB1122AEACADAB，∴AE=AD∴四边形ADOE为正方形.耐心填一填:1.如图1,在圆O中,若MN⊥AB,MN为直径,则_________,____________,___________.·MOABNC2.如图2,已知圆O的半径OA长为5,直径MN垂直于AB,AB长为8,则OC的长为()A.3B.6C.9D.103.如图2:MN为圆O的直径,AB为弦,MN垂直于AB于点C,则下列结论错误的是()A.∠AOC=∠BOCB.AC=BCC.MC=NCD.AN=BN4、圆的半径为3,则弦长x的取值范围是__________.AC=BCAC⌒⌒AN=BN⌒⌒AM=BM⌒⌒0＜x≤6·MNOAB图2图1C①本节课的过程、方法、内容是什么？②在圆中解决与弦有关问题时，经常做的辅助线是什么？③教材第83课后练习