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1989年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(每小题3分,满分21分.把答案填在题中横线上.)(1)0limcot2xxx→=＿＿＿＿＿＿.(2)0sinttdtπ=∫＿＿＿＿＿＿.(3)曲线0(1)(2)xyttdt=−−∫在点(0,0)处的切线方程是＿＿＿＿＿＿.(4)设()(1)(2)()fxxxxxn=++⋅⋅+,则(0)f′=＿＿＿＿＿＿.(5)设()fx是连续函数,且10()2()fxxftdt=+∫,则()fx=＿＿＿＿＿＿.(6)设2,0()sin,0abxxfxbxxx+≤=在0x=处连续,则常数a与b应满足的关系是＿＿＿＿＿.(7)设tanyxy=+,则dy=＿＿＿＿＿＿.二、计算题(每小题4分,满分20分.)(1)已知arcsinxye−=,求y′.(2)求2lndxxx∫.(3)求10lim(2sincos)xxxx→+.(4)已知2ln(1),arctan,xtyt=+=求dydx及22dydx.(5)已知1(2),(2)02ff′==及20()1fxdx=∫,求120(2)xfxdx′′∫.三、选择题(每小题3分,满分18分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)设0x时,曲线1sinyxx=()(A)有且仅有水平渐近线(B)有且仅有铅直渐近线(C)既有水平渐近线,也有铅直渐近线(D)既无水平渐近线,也无铅直渐近线(2)若2350ab−,则方程532340xaxbxc+++=()❤(A)无实根(B)有唯一实根(C)有三个不同实根(D)有五个不同实根(3)曲线cos()22yxxππ=−≤≤与x轴所围成的图形,绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积为()(A)2π(B)π(C)22π(D)2π(4)设两函数()fx及()gx都在xa=处取得极大值,则函数()()()Fxfxgx=在xa=处()(A)必取极大值(B)必取极小值(C)不可能取极值(D)是否取极值不能确定(5)微分方程1xyye′′−=+的一个特解应具有形式(式中,ab为常数)()(A)xaeb+(B)xaxeb+(C)xaebx+(D)xaxebx+(6)设()fx在xa=的某个领域内有定义,则()fx在xa=处可导的一个充分条件是()(A)1lim[()()]hhfafah→+∞+−存在(B)0(2)()limhfahfahh→+−+存在(C)0()()lim2hfahfahh→+−−存在(D)0()()limhfafahh→−−存在四、(本题满分6分)求微分方程2(1)xxyxye′+−=(0)x+∞满足(1)0y=的解.五、(本题满分7分)设0()sin()()xfxxxtftdt=−−∫,其中f为连续函数,求()fx.六、(本题满分7分)证明方程0ln1cos2xxxdxeπ=−−∫在区间(0,)+∞内有且仅有两个不同实根.七、(本大题满分11分)对函数21xyx+=,填写下表：❤单调减少区间单调增加区间极值点极值凹()区间凸()区间拐点渐近线八、(本题满分10分)设抛物线2yaxbxc=++过原点,当01x≤≤时,0y≥,又已知该抛物线与x轴及直线1x=所围图形的面积为13,试确定,,abc使此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积V最小.❤1989年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(每小题3分,满分21分.)(1)【答案】12【解析】这是个0⋅∞型未定式,可将其等价变换成00型,从而利用洛必达法则进行求解.方法一：000cos2limcot2limlimcos2sin2sin2xxxxxxxxxxx→→→==⋅0011limlimsin22cos22xxxxx→→==洛.方法二：00cos2limcot2limsin2xxxxxxx→→=0012121limcos2lim.2sin22sin22xxxxxxx→→=⋅==【相关知识点】0sinlimxxx→是两个重要极限中的一个,0sinlim1xxx→=.(2)【答案】π【解析】利用分部积分法和牛顿-莱布尼茨公式来求解,0sinttdtπ=∫[]000(cos)cos(cos)tdttttdtπππ−=−−−∫∫分部法[]00sin(00)tππππ=++=+−=.(3)【答案】2yx=【解析】要求平面曲线的切线,首先应求出该切线的斜率,即0()fx′.这是一个积分上限函数,满足积分上限函数的求导法则,即(1)(2)yxx′=−−.由y′在其定义域内的连续性,可知0(01)(02)2xy=′=−−=.所以,所求切线方程为02(0)yx−=−,即2yx=.(4)【答案】!n【解析】方法一：利用函数导数的概念求解,即00()(0)(1)(2)()0(0)limlimxxfxfxxxxnfxx→→−++⋅⋅+−′==0lim(1)(2)()12!xxxxnnn→=++⋅⋅+=⋅⋅⋅=.方法二：利用其导数的连续性,由复合函数求导法则可知,()(1)(2)()1(2)()fxxxxnxxxn′=++⋅⋅++⋅⋅+⋅⋅+++(1)(2)(1)1xxxxn++⋅⋅+−⋅,❤所以(0)(01)(02)(0)00fn′=++⋅⋅++++12!nn=⋅⋅⋅=.(5)【答案】1x−【解析】由定积分的性质可知,10()ftdt∫和变量没有关系,且()fx是连续函数,故10()ftdt∫为一常数,为简化计算和防止混淆,令10()ftdta=∫,则有恒等式()2fxxa=+,两边0到1积分得1100()(2)fxdxxadx=+∫∫,即[]111112000001(2)222axadxxdxadxxax=+=+=+∫∫∫122a=+,解之得12a=−,因此()21fxxax=+=−.(6)【答案】ab=【解析】如果函数在0x处连续,则函数在该点处的左右极限与该点处函数值必然相等,由函数连续性可知(0)(0)0ffaba−==+⋅=.而000sinsinsin(0)limlimlimxxxbxbxbxfbbbxbxbx++++→→→==⋅=⋅=,如果()fx在0x=处连续,必有(0)(0)ff−+=,即ab=.(7)【答案】2()dxxy+【解析】这是个隐函数,按照隐函数求导法,两边微分得2secydydxdy⋅=+,所以222sec1tan()dxdxdxdyyyxy===++,(0xy+≠).二、计算题(每小题4分,满分20分.)(1)【解析】令xue−=,vx=−,则arcsinarcsinxyeu−==,由复合函数求导法则,2221111(arcsin)2111vvyuuevexuuu−′′′′==⋅=⋅⋅=⋅⋅−−−,即21121xxyexe−−−′=⋅⋅−.❤【相关知识点】复合函数求导法则：(())yfxϕ=的导数(())()yfxfxϕ′′′=.(2)【解析】利用不定积分的换元积分法,22ln1lnlnlndxdxCxxxx==−+∫∫.(3)【解析】可将函数转化称为熟悉的形式来求其极限,1100lim(2sincos)lim[1(2sincos1)]xxxxxxxx→→+=++−12sincos12sincos10lim[1(2sincos1)]xxxxxxxx+−⋅+−→=++−,令2sincos1xxt+−=,则当0x→时,0t→,则112sincos100lim[1(2sincos1)]lim[1]xxtxtxxt+−→→++−=+,这是个比较熟悉的极限,即10lim(1)ttte→+=.所以012sincos1lim0lim(2sincos)xxxxxxxxe→+−→+=,而002sincos12cossinlimlim21xxxxxxx→→+−−=洛,所以012sincos1lim20lim(2sincos)xxxxxxxxee→+−→+==.(4)【解析】这是个函数的参数方程,22111221dydydttdxtdxtdtt+===+,2222321111211()()()2222(2)41dydddtdtdxtdxdxtdttdxdttttdtt−+==⋅=⋅=⋅=−+.【相关知识点】参数方程所确定函数的微分法：如果()()xtytφϕ==,则()()dytdxtϕφ′=′.(5)【解析】利用定积分的分部积分法求解定积分,111122220000111(2)(2)(2)(2)222xfxdxxdfxxfxfxdx′′′′′==⋅−∫∫∫分部法[]1011(2)0(2)2fxfxdx′′=⋅−−∫1011(2)(2)22fxdfx′=−∫()1100111(2)(2)(2)222fxfxfxdx′=−−∫10111(2)(2)(2)222fffxdx′=−+∫,❤令2tx=,则11,22xtdxdt==,所以12001(2)()2fxdxftdt=∫∫.把1(2),(2)02ff′==及20()1fxdx=∫代入上式,得11200111(2)(2)(2)(2)222xfxdxfffxdx′′′=−+∫∫201111(2)(2)()2222ffftdt′=−+⋅∫1111101022222=⋅−⋅+⋅⋅=.三、选择题(每小题3分,满分18分.)(1)【答案】(A)【解析】函数1sinyxx=只有间断点0x=.001limlimsinxxyxx++→→=,其中1sinx是有界函数.当0x+→时,x为无穷小,无穷小量和一个有界函数的乘积仍然是无穷小,所以001limlimsin0xxyxx++→→==,故函数没有铅直渐近线.01sin1sinlimlimlim11xxxtxytxtx+→+∞→+∞→===,所以1y=为函数的水平渐近线,所以答案为(A).【相关知识点】铅直渐近线：如函数()yfx=在其间断点0xx=处有0lim()xxfx→=∞,则0xx=是函数的一条铅直渐近线；水平渐近线：当lim(),(xfxaa→∞=为常数）,则ya=为函数的水平渐近线.(2)【答案】(B)【解析】判定方程()0fx=实根的个数,其实就是判定函数()yfx=与x有几个交点,即对函数图形的描绘的简单应用,令53()234fxxaxbxc=+++,则42()563fxxaxb′=++.❤令2tx=,则422()563563()fxxaxbtatbft′′=++=++=,其判别式22(6)45312(35)0abab∆=−⋅⋅=−,所以2()563fttatb′=++无实根,即()0ft′.所以53()234fxxaxbxc=+++在(,)x∈−∞+∞是严格的单调递增函数.又53lim()lim(234)xxfxxaxbxc→−∞→−∞=+++=−∞53lim()lim(234)xxfxxaxbxc→+∞→+∞=+++=+∞所以利用连续函数的介值定理可知,在(,)−∞+∞内至少存在一点0(,)x∈−∞+∞使得0()0fx=,又因为()yfx=是严格的单调函数,故0x是唯一的.故()0fx=有唯一实根,应选(B).(3)【答案】(C)【解析】如图cos()22yxxππ=−≤≤的图像,则当cosyx=绕x轴旋转一周,在x处取微增dx,则微柱体的体积2cosdVxdxπ=,所以体积V有222cosVxdxπππ−=∫222222cos21cos22242xdxxdxdxπππππππππ−−−+==+∫∫∫[][]22222sin20()422222xxππππππππππ−−=−+=++=.因此选(C).(4)【答案】(D)【解析】题中给出的条件中,除了一处极值点外均未指明函数其它性质,为了判定的方便,可以举出反例而排除.若取2()()()fxgxxa==−−,两者都在xa=处取得极大值0,而4()()()()Fxfxgxxa==−在xa=处取得极小值,所以(A)、(C)都不正确.若取2()()1()fxgxxa==−−,两者都在xa=处取得极大值1,而22()()()1()Fxfxgxxa==−−在xa=处取得极