行列式测试题(有答案)

1第九讲行列式单元测试题点评一、填空题（每小题2分，满分20分）1．全体3阶排列一共有6个，它们是123,132,213,231,312,321；2.奇排列经过奇数次对换变为偶排列，奇排列经过偶数次对换变为奇排列；3.行列式D和它的转置行列式D有关系式DD；4.交换一个行列式的两行（或两列），行列式的值改变符号；5.如果一个行列式有两行（或两列）的对应元素成比例，则这个行列式等于零；6.一个行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符号的外边；7.把行列式的某一行（列）的元素乘以同一数后加到另一行（列）的对应元素上，行列式的值不变；8.行列式的某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式的乘积之和等于零；9.1112122211220;00nnnnnnaaaaaaaaa10.当k=2142时，542kkk。2二、判断题（每小题3分，满分24分）1.1)(,)(31221kiiiikiiinn则若（∨）的符号的一般项则设nnjijijinnnnnnaaaaaaaaaaaaD2211D,.2212222111211.)1()(21njjj是（×）3.若n(n2)阶行列式D=0,则D有两行（列）元素相同.(×)4．若n阶行列式D恰有n个元素非0，则D≠0.(×)5.对于线性方程组，只要方程个数等于未知数个数，就可以直接使用克莱姆法则求解。（×）6．若行列式D的相同元素多于2nn个，则D=0.(×)7.111213132333212223122223313233112131aaaaaaaaaaaaaaaaaa(×)8.n阶行列式主对角线上元素乘积项带正号，副对角线上元素乘积项带负号。（×）三、单项选择题（每小题4分，满分20分）1．位于n级排列12111kkniiiii中的数1与其余数形成的反序个数为（A）（A）k-1(B)n-k-1(C)knC(D)2nCk2.设12niii是奇排列，则121nniiii是（C）（A）奇排列；（B）偶排列；3（C）奇偶性不能仅由n的奇偶性确定的排列；（D）奇偶性仅由n的奇偶性确定的排列。3．一个不等于0的n阶行列式中非零元素个数至少为（D）；22()(1)()()(1)()AnnBnCnDn4．以下数集作成数环的是(C)(1)S=5bbZ;(2)S=0aaQ;(3)S=3,ababZ;（4）S=3,abiabQ.（A）（1）、（3）（B）（2）、（4）（C）（3）、（4）（D）（1）、（4）5．行列式00000000aebfgchd中元素f的代数余子式是（C）()()()()dedeaeaeABCgDgfgfhdhd四、计算下列各题（每小题5分，满分20分）1．计算()(2k)1(2k-1)2(k+1)k；11121314352111052.,13132413设求的值.DAAAA2[(2)1(21)2(1)](12)(1)(1)(12(1).22kkkkkkkkkkk解111111051313241311121314AAAA解4.43．计算行列式D=2222233333444445555523456234562345623456的值。22222222223333333333444444444411111555552345623456523456234562345623456234562345632)42)52)62)43)53)63)54)64)6555解（（（（（（（（（（）=2884．计算行列式1231110000220000011nnnnnD的值。2111231110000220000011123101000(1)0020020001(1)(1)!1(1)!1.22nnnnnnDnnnnnnnnnnn将第至列都加到第一列解（）（）5五、证明下列各题（满分16分）1212,FFFF1.设均为数域，证明也是数域。（5分）2．已知a,b,c均不为0，证明aybxccxazbbzcya有唯一解。（5分）证明因为方程组的系数行列式0020(,,00baDcaabcabccb均不为）所以有克莱姆法则知，方程组有唯一解。3．设a,b,c是一个三角形的三边，证明000.00abcacbbcacba（6分）证明011000010101010101abcabcacbcbacbbcbcacacabaccbababaabc（a+b+c)（a+b+c)证明因为121212121212120,1,0,1,,,,,,,(0),,,(0),,(0)FFFFabFFabFaaabFababbFababbbbaFababbFFFFb是数域。6.-ac-bb-c-ac-bb-c（a+b+c)c-a-ba-c（a+b+c)c-ca-bb-aa-b-cba-c-b-111=（a+b+c)(a-(b+c))c-ca-bba-c-b-100（a+b+c)(a-(b+c))c0a+c-bba+b-c0（a+b+c)(a-(b+c))(a+b-c)(a+c-b)0（因为a,b,c是三角形的三边）本讲作业：（一）解答下列各题1.计算行列式1231131211231nxnDxnx110,(1)|.2),,[(1)]()2)[(1)]|1=2)[(1)]nnnnnnnxDxDxxnDxixjijxxnDDxDxxn解当时，所以同理（均为的因式。又与各不相同，所以（x-1)（但的展开式中最高次项的系数为，所以（x-1)（72.计算n阶行列式5100065100065000005100065D12111156560,5A231,223194,93-2.nnnnnnnnnDDDxABDBnABABD2解由于按第一列展开有，作特征方程x解此方程得二根2,3，令，令可得解得01211012121031230103.(1)()(),22(),cossin.nnnnnnnniiiaaaaaaaaDaaaafffaaaafxaxinn证明其中0121211012242(1)210312(1)(1)(1)12301111111nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaa证明作矩阵乘积82122112422(1)112(1)2(1)(1)121242(1)12(1)(1)((1)()()()(1)()()()(1)()()()(1)()()()1111111nnnnnnnnnnnnnnnnffffffffffffffff11)(1)()()nfff两边取行列式即得所征。222222222222222212312(1)(1)1(2)2341nnnnnn说明:此行列式称为循环行列式，以后见到以下类型的行列式计算，可直接利用这一结果。例如计算行列式D=（二）阅读教材P49-60，并回答什么是矩阵、矩阵的相等？矩阵有哪些运算和性质？有哪些特殊矩阵和特殊性质？