概率论与数理统计-(方差)

4.2方差前面曾提到在检验棉花的质量时，既要注意纤维的平均长度，还要注意纤维长度与平均长度的偏离程度．那么，怎样去度量这个偏离程度呢？用E[X–E(X)]来描述是不行的，因为这时正负偏差会抵消；用E[|X–E(X)|]来描述原则上是可以的，但有绝对值不便计算；通常用E{[X–E(X)]2}来描述随机变量与均值的偏离程度．第四章随机变量的数字特征4.2.1方差的概念与计算定义4.3设X是随机变量，若E{[X–E(X)]2}存在，则称其为X的方差，记为D(X)(或Var(X))，即称为X的标准差．特别地，如果X是离散型随机变量，分布律为则如果X是连续型随机变量，其概率密度为f(x)，则)(XD)(XVar})]({[2XEXE)(XD,2,1,}{ipxXPii12)]([)(iiipXExXDdxxfXExXD)()]([)(2将方差定义式右端展开，并利用数学期望性质可得即今后我们会经常利用这个式子来计算随机变量X的方差D(X).})]([)(2{22XEXXEXE22)]([)()(XEXEXD22)]([)()(2)(XEXEXEXE22)]([)(XEXE})]({[)(2XEXEXD4.2.1方差的概念与计算【例4.13】求例4-2中随机变量X的方差D(X).解：由于1161所以5.00102500010110000)(055pXE02525220102500010110000)(pXE)(XD75.16105.01611222)]([)(XEXE4.2.1方差的概念与计算4.2.1方差的概念与计算【例4.14】设随机变量X服从参数为λ（λ0）的泊松分布，求D(X)．解：由于X的分布律为，k=0，1，2，…，在例4-4中已经求出，下面计算E(X2)：故ekkXPk!}{)(XE)()]1([XEXXE0!)1(kkekkk])1([)(2XXXEXEee2222)!2(kkke2)(XD2222)]([)(XEXE4.2.1方差的概念与计算【例4.15】设随机变量X服从参数为（0）的指数分布，求D(X)．解：由于指数分布的概率密度为在例4-7中已求出，故有其它,00,1)(/xexfx)(XE012xxde010122dxxeexxx012xdex0121dxexxdxxfxXE)()(22010122dxeexxx201222xe)(XD222222)]([)(XEXE4.2.1方差的概念与计算【例4.16】设随机变量X服从(a，b)上的均匀分布，求D(X)．解：由于均匀分布的概率密度为所以其它,0,1)(bxaabxf2)(baXEbadxabxXE22)()(333abab322aabb222)2(3)(baaabbXD12)(2ab4.2.1方差的概念与计算【例4.17】设(X，Y)的概率密度为求D(X)及D(Y)．解：记D：|y|x，0x1，如图，则,其它,0||,10,1),(xyxyxf10xxxdydxDdxdyyxxf),(1022dxx32)(XE0),()(10DxxydydxdxdyyxyfYE212),()(10310222dxxdydxxdxdyyxfxXEDxx6132),()(10310222dxxdydxydxdyyxfyYEDxx.61061)(YD22)]([)()(XEXEXD,101322124.2.1方差的概念与计算【例4.18】已知随机变量X的概率密度为又E(X)=0.5，D(X)=0.15，求a，b，c．解：由于从上面三个方程中可以解得a=12,b=–12,c=3．其它,010,)(2xcbxaxxfdxxf)(dxxxfXE)()(345)()()(102222cbadxcbxaxxdxxfxXE1025.0234)(cbadxcbxaxx4.0)5.0(15.0)]([)(22XEXD102123)(cbadxcbxax4.2.2方差的性质(1)设c是常数，则D(c)=0；(2)设c是常数，X是随机变量，则D(cX)=c2D(X)，D(X+c)=D(X)；(3)设X，Y是两个随机变量，则有D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{[X–E(X)][Y–E(Y)]}；特别，当X，Y是相互独立的随机变量时，有D(X+Y)=D(X)+D(Y)；(4)D(X)=0的充要条件是X以概率1取常数c，即P{X=c}=1．4.2.2方差的性质(1)设c是常数，则D(c)=0；证明：(2)设c是常数，X是随机变量，则D(cX)=c2D(X)，D(X+c)=D(X)；证明：22)]([)()(cEcEcD022cc})]({[)(2cXEcXEcXD})]([{[22XEXcE)(})]({[222XDcXEXEc)(cXD})](){[(2cXEcXE).(XD})]({[2XEXE4.2.2方差的性质(3)设X，Y是两个随机变量，则有D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{[X–E(X)][Y–E(Y)]}；特别，当X，Y是相互独立的随机变量时，有D(X+Y)=D(X)+D(Y)；证明：当X，Y是相互独立的随机变量时，})](){[()(2YXEYXEYXD}))](())({[(2YEYXEXE)]}()][({[2})]({[})]({[22YEYXEXEYEYEXEXE)]}()][(({[2)()(YEYXEXEYDXD)]}()][({[2YEYXEXE)]()()()()()()([2YEXEXEYEYEXEXYE)]()()([2YEXEXYE)()()(YDXDYXD4.2.2方差的性质性质(4)证明从略.由性质(2)和(3)容易推广得到，若X1，X2，…，Xn是相互独立的随机变量，为常数，则前面例4-3中已经用定义求出了二项分布的数学期望，现在再用数学期望和方差的性质来求它的期望和方差。nccc,,,21niiiniiiXDcXcD121)()(4.2.2方差的性质【例4.19】设随机变量X服从二项分布B(n，p)，求E(X)和D(X)．解：X可视为n重伯努利试验中某个事件A发生的次数，p为每次试验中A发生的概率．引入随机变量Xi（i=1，2，…，n）：则又不发生次试验中第发生次试验中第AiAiXi,0,1nipXPpXPii,...,2,1,1}0{,}1{nXXXX21),(~pnB4.2.2方差的性质因为X1，X2，…，Xn相互独立，且由数学期望和方差的性质可得)1()1(01)()()(22222pppppXEXEXDiiiniinpXEXE1)()().1()()(1pnpXDXDniipppXEi)1(01)(4.2.2方差的性质【例4.20】一机场班车载有20名乘客自机场开出，途中有10个车站可以下车，如果到达一个车站没人下车则不停车，用X表示班车的停车次数，求X的数学期望E(X)及标准差．（设每位乘客在各个车站下车是等可能的，且各位乘客是否下车相互独立）解：依题意，每位乘客在第i个车站下车的概率均为1/10，不下车的概率均为9/10,则班车在第i个车站不停车的概率为所以.)109(20)10,2,1(i))109(1,10(~20BX4.2.2方差的性质从而，),(784.8))109(1(10)(20次XE2020)109)()109(1(10)(XD次）(0512.1)109)()109(1(10)(2020XD4.2.2方差的性质【例4.21】设随机变量X服从正态分布求D(X)．解：设，由于所以Z～N(0，1)，从而又E(Z)=0，所以故),,(2NXZ)(2ZEdzzz)(2dzezz2222dzezezz22222121110),,(~2NX101)]([)()(22ZEZEZD22)()()(ZDZDXD【实验4-1】用Excel计算例4-2中随机变量Ｘ的数学期望与方差．实验准备：函数SUMPRODUCT的使用格式：SUMPRODUCT(array1,array2,array3,...)功能：返回多个区域array1,array2,array3,...对应数值乘积之和．X1000050001000100100pi1/1052/10510/105100/1051000/105p0实验步骤：(1)整理数据如图4-2左所示．图4-2计算数学期望(2)计算E(X)，在单元格B8中输入公式：=SUMPRODUCT(A2:A7,B2:B7)得到期望E(X)如图4-2右所示．(3)为了计算方差，首先计算[xi–E(X)]2，在单元格C2中输入公式：=(A2-B$8)^2并将公式复制到单元格区域C3:C7中，如图4-3左所示．图4-3计算方差(4)计算方差，在单元格B9中输入公式：=SUMPRODUCT(C2:C7,B2:B7)即得计算结果如图4-3右所示．).,,(?,,)(,.,.,均为已知设应生产多少件产品最大要获得利润的数学期望问若的指数分布服从参数为件预测销售量他们再者元的损失而积压一件产品导致元可获利他们估计出售一件产品定该产品的产量并试图确产品市场某公司计划开发一种新θnmYnm【建模实例】解:的函数是销售量件时获利生产YQx.,,),()(xYmxxYYxnmYYQQ若若(1)建立概率模型yyfyQQEYd)()()(yθmxyθyxnmyθyxθyxde1de1)]([0,e)()(nxθnmθnmθx因为Ｙ的概率密度为,0.0,0,0,e1)(θyyθyfθyYyeyQxd1)(0.,,),()(xYmxxYYxnmYYQQ若若所以).ln(nmnθx得,0e)()(dd22θxθnmQEx又.)(,)ln(,取得最大值时当因此QEnmnθx,0e)()(ddnnmQExθx令(2)模型求解,e)()()(的函数是xnxθnmθnmQEθx.利润件产品时能够得到最大故生产x10pp)1(pp10,1pnnp)1(pnp0ba2)(ba12)(2ab0θθ2θ分布参数数学期望方差两点分布二项分布B(n,p)泊松分布π()均匀分布U(a,b)指数分布Exp()正态分布N(,2)0,σμμ2σ重要分布的期望和方差