概率论3.4方差

前面我们学习了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征.但是在有些情况下，仅仅知道平均值是不够的.例如，某零件的真实长度为a，现用甲、乙两台仪器各测量10次，将测量结果X用坐标上的点表示如图：若让你就上述结果评价一下两台仪器的优劣，你认为哪台仪器好一些呢？乙仪器测量结果a甲仪器测量结果较好测量结果的均值都是a因为乙仪器的测量结果相对集中在均值附近又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点距目标的位置如图：你认为哪门炮射击效果好一些呢?甲炮射击结果乙炮射击结果乙炮因为乙炮的弹着点相对集中在中心附近.中心中心为此需要引进另一个数字特征,用它来度量随机变量取值在其中心附近的离散程度.这个数字特征就是我们这一节要学习的方差一、方差的定义采用平方是为了保证一切差值X-E(X)都起正的作用由于它与X具有相同的度量单位，在实际问题中经常使用.方差的算术平方根称为标准差.)(XD设X是一个随机变量，若E[X－E(X)]2∞，则称D(X)=E[X－E(X)]2(1)为X的方差.若X的取值比较分散，则方差较大.若方差D(X)=0,则随机变量X以概率1取常数值.方差刻划了随机变量X的取值对于其数学期望E[X]的偏离程度.若X的取值比较集中，则方差较小；D(X)=E[X-E(X)]2注：X的方差也可以记为Var(X).◆离散型随机变量X的方差2()[()]DXEXEX=-◆连续型随机变量X的方差2()[()]DXEXEX=-21[()]kkkxEXp+?==-å2211222k[()][()][()]kxEXpxEXpxEXp=-+-++-+LL2[()]()dxEXfxx+?-?=-ò二、计算方差的一个简化公式D(X)=E(X2)－[E(X)]2展开证：D(X)=E[X－E(X)]2=E{X2－2X·E(X)+[E(X)]2}=E(X2)－2[E(X)]2+[E(X)]2=E(X2)－[E(X)]2利用数学期望性质即方差是“平方的期望减去期望的平方”。解:pppXE2221)1(0)([]222()()()(1)DXEXEXpppp=-=-=-()0(1)1EXppp=?+?▲0-1分布:X01P1－pp◆常见分布的期望与方差▲二项分布:X~B(n,p),则();()(1).EXnpDXnppnpq==-=▲泊松分布:，则)(~PX(),().EXDXll==1,()0,axbbafxìïïï-ï=íïïïïî其它2)(baXEbadxabxXE22)()(333abab322aabb222)2(3)(baaabbXD12)(2ab▲均匀分布:X~U[a,b]由于均匀分布的概率密度函数为解:所以D(X)=E(X2)-[E(X)]2,0(),0,xexfxll-ìïï=íïïî其它02xxdell+?-=-ò2002xxxexedxll+?+?--=-+ò20xxdel+?-=-òdxxfxXE)()(2222022xelll+?-=-=)(XD222211lll=-=22)]([)(XEXE0022xxxeedxllll+?+?--=-+ò20xxedxll+?-=ò▲指数分布:X~E(λ)解:由于指数分布的概率密度函数为1()EXl=所以▲标准正态分布:X~N(0,1),▲正态分布:),(~2NX2(),().EXDXms==()0,()1.EXDX==◆P53表3-2六大分布及其数学期望与方差10pp)1(pp10,1pnnp)1(pnp0ba2)(ba12)(2ab0l1l21l分布参数数学期望方差两点分布二项分布泊松分布均匀分布指数分布正态分布0,σμμ2σ例题有甲、乙两电灯泡厂生产同一种规格的电灯泡,其使用寿命X(h)的分布列如下,80009000100001100012000甲0.10.20.40.20.1乙0.20.20.20.20.2XP厂家试问哪个厂生产的电灯泡质量好?在期望值相同的条件下,哪个厂的方差值小,哪个厂生产的电灯泡的质量就要好.甲:E(X)=10000(h)乙:E(X)=10000(h)甲:D(X)=(8000－10000)2×0.1+(9000－10000)2×0.2+(10000－10000)2×0.4+(11000－10000)2×0.2+(12000－10000)2×0.1=1.2×106略解:问题甲:D(X)=1.2×106D(X甲)D(X乙),甲厂生产的电灯泡的质量要好.乙:D(X)=(8000－10000)2×0.2+(9000－10000)2×0.2+(10000－10000)2×0.2+(11000－10000)2×0.2+(12000－10000)2×0.2=2×106,1(),(),().0,1P5514XxxfxEXDXx设随机变量的密度函数练为求习：11()()=EXxfxdxxxdx解022)]([)()(XEXEXD1212221()()=EXxfxdxxxdx112300=2=2xxdxxdx12方差的性质1性质0)(cD2性质)()(XDcXD3性质2()()DcXcDX思考：比较期望与方差的性质有何不同？方差与期望性质比较()0Dc)()(XDcXD()()EXccEX()Ecc()()EcXcEX2()()cDcXDX(),XEX设随机变量具有期望例2*()0.,XDXX方差记则)(*XE)(1XE])([1XE;02*2**)]([)()(XEXEXD])[(122XE.122。方差为的期望为即1,0*XX的标准化变量。为称XX*练习设有离散型随机变量X，且求E(X)，D(X)，D(2X–3).解:(1)41)1(81)2(813)(XEX321012pk1/81/81/41/41/81/821812811410)()()(22XEXEXD81)2(81)3(2241041)1(2249)21(8128112229494)(2)32(2XDXD9()4DX因为，再由方差性质可得：例试比较下列两项目的投资风险.经济情况概率A项目预期报酬率B项目预期报酬率繁荣0.390%20%正常0.415%15%衰退0.3–60%10%期望与方差的经济应用这类问题属于期望最大或最小原则的决策问题.所谓最大或最小期望原则,即对于利润﹑收益﹑预期报酬率等“有利指标”总希望期望越大越好;成本﹑消耗等“无利指标”总希望期望越小越好的原则.解题思路:对于这种在不同的经济情况下进行投资决策的问题,称为风险型决策问题.■风险型决策的依据(1)期望E(X)较高;由于受到种种不确定因素的影响,投资收益往往不是确定的常数而是一个随机变量.把这个随机变量的数学期望E(X)看成投资的平均收益,这个随机变量的方差D(X)看成投资风险,这样一来,在做投资决策时依据:(2)方差D(X)较小.经济情况概率A项目预期报酬率B项目预期报酬率繁荣0.390%20%正常0.415%15%衰退0.3–60%10%)(:AEA项目的期望报酬率为略解3.0)6.0(4.015.03.09.015.0()BEB项目的期望报酬率为3.01.04.015.03.02.015.0)(ADA项目期望报酬率的方差3.0)15.06.0(4.0)15.015.0(3.0)15.09.0(222%75.333375.0)(BDB项目期望报酬率的方差3.0)15.01.0(4.0)15.015.0(3.0)15.02.0(222%15.00015.0在两个项目报酬率期望相同的情况下,A项目报酬率的方差大,即投资报酬率不稳定,故投资A项目的风险比投资B项目的风险大.作业：P55：12，13，15，16