高等数学概率方差

第三章第四节方差、协方差上一讲我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征.但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的.例如，某零件的真实长度为a，现用甲、乙两台仪器各测量10次，将测量结果X用坐标上的点表示如图：若让你就上述结果评价一下两台仪器的优劣，你认为哪台仪器好一些呢？a乙仪器测量结果a甲仪器测量结果较好测量结果的均值都是a因为乙仪器的测量结果集中在均值附近又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点距目标的位置如图：你认为哪门炮射击效果好一些呢?甲炮射击结果乙炮射击结果乙较好因为乙炮的弹着点较集中在中心附近.中心中心为此需要引进另一个数字特征,用它来度量随机变量取值在其中心附近的离散程度.这个数字特征就是我们这一讲要介绍的方差一、方差的定义采用平方是为了保证一切差值都起正面的作用，避免正负相消。注：有的书上也把方差记作或2EE2DEED设是一个随机变量，若存在，则称为的方差，称EVar2为的标准差（或均方差、方差根）。若的取值比较分散，则方差较大.可见，方差的大小刻划了随机变量的取值与其数学期望的离散程度。若的取值比较集中在附近，则方差较小；2DEE0E为离散型，由定义知，方差是随机变量的函数的数学期望.为连续型，2gED21,kkkxEp2,xEfxdx,1,2,kkPxpkfx二、计算方差的一个简化公式二项式展开证：利用期望性质这个公式很重要，它不仅证明了一般情况下22DEE2DEE222EEE222EEEE22EE22EE，而且经常用它来简化方差的计算。例1、设r.v.服从参数为p的0-1分布，求。D解：由题知的分布列为D01kp1－pp22EE2E而前面我们已经计算过22011pppEp从而21Dpppp例2、设r.v.服从[a,b]上的均匀分布，求。D解：已知的概率密度为D22EE2E而前面我们已经计算过2xfxdx21baxdxba2abE从而22223212baaabbabD1,0,fxbaaxb其它223baba解：已知的概率密度为D22EE2E而前面我们已经计算过2xfxdx20xxedx1E从而222211D,0,xefx0x其它22例3、设r.v.服从参数为的指数分布，求。D解:例4、设随机变量的概率密度为如下，求a，b，c。2,0,axbxcfx01x其它Exfxdx120xaxbxcdx10.543bac22EDE0.150.250.42xfxdx1220xaxbxcdx111543abc1fxdx12032abaxbxcdxc0.54320.4543132abcabcabc12,a12,b3c解联立方程组得三、方差的性质与不一定独立时，请思考。1、D(C)=0；设，为任意随机变量，C为任意常数。2、；DCD3、；2DCCD4、若，相互独立，则；DDD?D12,,,n12111nniiDDDDnnn可推广至有限个r.v.的情形：设相互独立，则1212nnDDDD例5、设随机变量的期望和方差为和,且,求:解:ED0DEDE的期望和方差。1EEDD1EEDD0D1EDDD1DD1称为是r.v.的标准化随机变量。ED22cba例6、设随机变量的期望存在，且，c为一常数，则EEa2EbDc（）4例7、设为一随机变量，已知，则1E12D21E（）小结：这一讲,我们介绍了随机变量的方差.它是刻划随机变量取值在其中心附近离散程度的一个数字特征.通过方差,可以判断均值相同的随机变量的取值情况.数学期望和方差是随机变量的两个重要的数字特征，反应了随机变量取值的重要信息。大家一定要好好掌握。思考：按规定，某车站每天8:00-9:00,9:00-10:00都恰有一辆客车到站。客车到站的时刻是随机的，并且两车到站的时间相互独立，其规律如下：到站时间8:10，9:108:30，9:308:50，9:50概率1/63/62/6假设现有一位外地朋友来作客，他只有两个时间可以去候车：8:00或8:20，想让你提个建议，你该如何建议朋友呢？