南昌大学复变函数课件第四章

第四章级数§1复数项级数与幂级数1.复数列的收敛与发散定义,),,2,1}({nnnniban＝其中设复数列：，iba又设复常数：时的极限，当称为复数列那么，恒有若nNnNnn}{,,0,0定理1.lim,limlimbbaannnnnn证明nnnNnN恒有即，”已知“,,0,0lim.}{,,lim收敛于此时，也称复数列时，或当记作nnnnn.lim,lim)()()()(22bbaabbaabbaabbiaannnnnnnnnnnnn　　故又.lim)()(22,,0,0lim,limnnnnnnnnnnnnnbbaabbiaabbaaNnNbbaa故　　　　又，恒有即，　　”已知“2.复数项级数nnn211niinns121级数的前面n项的和---级数的部分和称为级数的和ssnnlim称为收敛－级数1nn不收敛称为发散－级数1nn---无穷级数定义),,,2,1}({}{nibannn设复数列：收敛若部分和数列}{ns例1解的敛散性。判别123nniisiisnnnnjjn3lim),211(3231又.3,i且和为级数收敛定理2都收敛。和收敛级数111nnnnnnba都收敛。和由定理１，111111lim,limlim)(nnnnnnnnnnnnnkknkkknkknkknbabaibasibiaibas证明由定理2，复数项级数的收敛问题可归之为两个实数项级数的收敛问题。.0lim:nn收敛的必要条件级数1nn性质定理3.1111nnnnnnnn收敛，且收敛若证明222222,nnnnnnnnnnnbabbaabaiba收敛。得由定理均绝对收敛，和由比较判定法1112nnnnnnba1111,nnnnnkknkk收敛.收敛若11nnnn?))1(:(1nnni例如定义.11111条件收敛为收敛，则称发散，而若为绝对收敛；收敛，则称若nnnnnnnnnn由定理3的证明过程，及不等式:22有nnnnbaba定理4都收敛。和收敛级数111nnnnnnba解.)1(111)1(1121发散收敛，发散，nnnninnn绝对收敛。收敛，000!)8(!8!8)2(nnnnnnninni.)2)1((21)1()3(111收敛收敛，收敛，nnnnnnninn例2否绝对收敛？下列级数是否收敛？是011)2)1(()3(!)8()2()1(1)1(nnnnnninninin.)1(1原级数非绝对收敛收敛，条件又nnn例3的敛散性。讨论0!nnnz解敛。在复平面上处处绝对收令000!!!,nnrnnnnnzenrnzrz练习：的敛散性。讨论011nnien的敛散性。讨论02cosnnin2cosnneein3.幂级数定义设复变函数列：)1()()()()(211zfzfzfzfnnn,2,1,)}({nDzzfn---称为复变函数项级数级数的最前面n项的和nkknnzfzfzfzfzs121)()()()()(---级数的部分和,)1()(lim),(,)1(),()(lim000000发散不存在，称级数　其和为收敛在称级数若zszszzszsDznnnn若级数(1)在D内处处收敛，其和为z的函数＋)()()()(21zfzfzfzsn---级数(1)的和函数特殊情况，在级数(1)中得nnnzzczf)()(0)2()(00nnnzzc)3(000nnnzcz当称为幂级数并不失一般性。研究级数中令在)3()2()2(00kknczz同实变函数一样，复变幂级数也有所谓的收敛定理：定理1(阿贝尔(Able)定理）.,,)0(000级数必绝对收敛的　　则对满足收敛在⑴若级数zzzzzzcnnn.,,00　级数必发散　的则对满足发散⑵若级数在zzzzz,2,1,0,,,,,,max00202010nMzczczczccMnnNN故取证明，即则收敛0lim,)1(000nnnnnnzczcnnzcNnN000，恒有，，1,00qzzzz则若,00nnnnnnMqzzzczc,0收敛由于nnMq,0收敛由比较判别法得nnnzc绝对收敛。0nnnzc(2)用反证法，收敛，，有设01011,nnnzczzz由Able定理，幂级数的收敛范围不外乎下述三种情况：(i)若对所有正实数都收敛，级数(3)在复平面上处处收敛。！收敛与假设矛盾，得证知由00)1(nnnzc(ii)除z=0外，对所有的正实数都是发散的，这时，级数(3)在复平面上除z=0外处处发散。.)3(:)3(:发散数外，级在圆周收敛；内，级数定理，在圆周由zczcAble.,0,,0)(00发散使得　收敛使得nnnnnncciii显然，否则，级数(3)将在处发散。将收敛部分染成红色，发散部分染成蓝色，逐渐变大，在c内部都是红色,逐渐变小，在c外部都是蓝色，红、蓝色不会交错。故蓝两色的分界线。为红、一定,RzcR：播放RRc(i)幂级数在收敛圆内部收敛，在收敛圆外部发散，在圆周上可能收敛可能发散，具体问题要具体分析。定义这个红蓝两色的分界圆周cR叫做幂级数的收敛圆；这个圆的半径R叫做幂级数的收敛半径。(ii)幂级数(3)的收敛范围是以0为中心，半径为R的圆域；幂级数(2)的收敛范围是以z0为中心,半径为R的圆域.的收敛半径求法，有关于幂级数)3(0nnnzc定理2（x为实数）的收敛半径.00nnnnnnczcx幂级数的收敛半径等同于幂级数推论3(根值法)000/1limRcnnn，则若推论1(比值法)000/1lim1Rccnnn，则若例1的收敛范围及和函数。求幂级数nnnzzzz201121nnzzzs又zzn11解11lim1Rccnnn.11lim,0lim1zszznnnn时，当.,0lim1级数发散时，当nnzz综上.1;111,0时当发散　　　　　　　　时当且和函数为收敛zzzznn例2求下列幂级数的收敛半径并讨论收敛圆周上的情形:解(1);)0()1(1npnpnz;)1)((ch)2(1nnzni.)ln()3(1nninznnncc1lim1)1(limpnnn1R,1时当z,1时当z,)1(1nnn级数为,11nn级数为该级数收敛该级数发散p=1p=2,1上在圆周z1122,1nnnnnz是收敛的该级数在收敛圆上是处处收敛的。nninnineenicninin1cos1sin1cos1sin1cos21)(21ch)2(nnncc1lim11cos11coslimnnn1R,11上在圆周z11)1(cos)1)(ch(nninnenzni1)1)(ch(,0)1(coslimnninnznien发散。综上该级数发散。该级数收敛，时，当11z时，当11z;)1)((ch)2(1nnzni222)2(ln1ln1nnnnincR222lnln2ln)arg(ln)ln()3(ninininiinin　其中：nnnnnnnc222)2(ln1limlim故0)2(ln1lim2122nn.)ln()3(1nninz故该级数在复平面上是处处收敛的.5.幂级数的运算和性质代数运算2010)()(rRzgzbrRzfzannnnnn设Rzzgzfzbazbzannnnnnnnnn)()()(000),min(21rrR其中：Rzzgzfzbabababazbzannnnnnnnnnnn),()()()()(002211000---幂级数的加、减运算---幂级数的乘法运算rzgRzzgrzzazfnnn)()(,)(0内解析，且在设Rzzgazgfnnn0)]([)]([---幂级数的代换(复合)运算幂级数的代换运算在函数展成幂级数中很有用.例3.)(10abazcbznnn这里，复常数的幂级数，表成形如把解)()(11abazbz代换abzgabazab1)(11111Rabazabazabazabazzgzgzgzgzgnn,11)(,)]([)]([)(1)(1122解abzgabazababazbz1)(11111)()(11Razazabazabazababzgabbznn)()(1)()(1)()(11)(11111232代换展开还原分析运算定理4Rzzfzcnnn)(0设.)()(内解析在RzzfiRzznczczczfiinnnnnnnnn1100)'()'()(')(zdzcdzzcdzzfiiincnncnnnc00)()(---幂级数的逐项求导运算---幂级数的逐项积分运算0101)(nnnznzcdf或RazCRz,1.泰勒(Taylor)展开定理现在研究与此相反的问题：一个解析函数能否用幂级数表达?(或者说,一个解析函数能否展开成幂级数?解析函数在解析点能否用幂级数表示？）由幂级数的性质知:一个幂级数的和函数在它的收敛圆内部是一个解析函数。以下定理给出了肯定回答：任何解析函数都一定能用幂级数表示。§2泰勒级数定理（泰勒展开定理）,2,1,0)(!1:)1()()(,,,)(0)(00000nzfnczzczfRzzDzRDzDzfnnnnn其中时当上各点的最短距离的边界到为内解析在区域设级数的处在Taylorzzf0)(设函数f(z)在区域D内解析,而|zz0|=r为D内以z0为中心的任何一个圆周,把它记作K,它与它的内部全含于D,又设z为K内任一点.z0Kzz按柯西积分公式,有1()()d,2πKffzizzzz且000