(复变)习题3

1.计算积分2idCxyxx,其中C为从原点到1i的直线段.解设直线段的方程为yx,则izxx.01x故1220123100idid(i)1ii1i(1i)di(1i)(1i)333Cxyxzxyxxxxxx2.计算积分1dCzz,其中积分路径C为(1)从点0到1i的直线段；(2)沿抛物线2yx,从点0到1i的弧段。解(1)设izxx.01x101d1id(i)iCzzxxxx(2)设2izxx.01x12202i1d1id(i)3Czzxxxx3.计算积分dCzz,其中积分路径C为(1)从点i到i的直线段(2)沿单位圆1z的左半圆周,从从点i到i(3)沿单位圆1z的右半圆周,从从点i到i解(1)设izy.11y1111ddiidiCzzyyyy(2)设iez.从32到2ii223322d1deide2iCzz(3)设iez.从32到223212iCzdzdei4.计算积分23zdzzC，其中积分路径C为：(1)从z=-2到z=2沿圆周｜z｜=2的上半圆周；(2)从z=-2到z=2沿圆周｜z｜=2的下半圆周；(3)沿圆周｜z｜=2的正向.解：（1）C的参数方程为z=2eiθ,θ从π到0，000234322(43)4383.iiiiizedziedzeiedieiiC所以（2）C的参数方程为z=2eiθ,θ从-π到0，002343224383.iiiizedziedzeeiiC所以（3）C的参数方程为z=2eiθ,θ=从0到2π，2023(43)6.izdzeiizC所以5.计算积分1(31)Cdzzz，其中C为｜z｜=16.解：f(z)=131z在｜z｜=16内解析，由柯西积分公式，1()(0)22.(31)0CCfzdzfiizzz6.计算积分sinzCzezdz,其中C为0za.解sinsinzzCCCzezdzzdzezdz∵sinzez在za所围的区域内解析∴sin0zCezdz从而20220sin0ziCCizezdzzdzadaeaied故sin0zCzezdz7.计算积分21(1)Cdzzz,其中积分路径C为（1）11:2Cz（2）23:2Cz（3）:312Czi（4）43:2Czi解：（1）在12z所围的区域内，21(1)zz只有一个奇点0z.12111111()2002(1)22CCdzdziizzzzizi（2）在2C所围的区域内包含三个奇点0,zzi.故22111111()20(1)22CCdzdziiizzzzizi（3）在2C所围的区域内包含一个奇点zi,故32111111()00(1)22CCdzdziizzzzizi（4）在4C所围的区域内包含两个奇点0,zzi,故42111111()2(1)22CCdzdziiizzzzizi8.计算积分1()(1)2Cdzizz，其中C为｜z｜=2.解：在C内作互不包含，互不相交的正向圆周C1和C2,C1内部只含奇点z=2i,C2内部只含奇点z=-1，由定理3.5、定理3.2有1212111()(1)()(1)()(1)22221111211222(2002)0.2CCCCCdzdzdziiizzzzzzdzdziiizzzziii9.利用牛顿-莱布尼兹公式计算下列积分.(1)20cos2izdz(2)0ziedz(3)21(2)iizdz(4)1ln(1)1izdzz(5)10sinzzdz(6)211tancosizdzz解(1)2200cos2sin2122iizzdzch(2)002zziiedze(3)22311111111(2)(2)(2)(2)333iiiiizdzizdizizii(4)222111ln(1)11ln(1)ln(1)ln(1)(3ln2)ln212848iiizdzzdzziz(5)11110000sincoscoscossin1cos1zzdzzdzzzzdz(6)222112111221tan1secsectantancos2111tan1tan1t122iiiiizdzzdzzzdztanzzzithh10.计算积分21zCedzz,其中C为(1)1zi(2)1zi(3)2z解(1)221()()zzziziCCeeedzdziezzizizi(2)221()()zzziziCCeeedzdziezzizizi(3)122222sin1111zzziiCCCeeedzdzdzeeizzz2212122141zCzzdzizziz44111(1)CCdzdzzz11.计算积分2211Czzdzz，其中C为｜z｜=2.解：类似第5题，由柯西积分式2221(211)24.1Czzdzzzziiz12.计算积分411Cdzz，其中C为x2＋y2=2x.解：由4411(1)CCdzdzzz，则z4=-1的根为2222i，2222i，2222i，2222i.C的方程为｜z-1｜=1.则2222i，2222i为奇点，作C内两个相互不相交、互不包含的正圆C1，C2,且C1内只有2222i，C2内只有2222i，则12444222222(1)(1)(1)22222222222222222222222222CCCzizdzdzdzzzziziziziizizizi2222222.882iiiiiii13.求积分2sin9Czdzz，其中C为｜z-2i｜=2.解：由2sinsin9(3)(3)CCzzdzdzzzizi，｜z-2i｜=2.只有奇点z=3i,由柯西积分公式，3sin2sinsin3.(3)(3)33ziCzizdzizizizi14.求积分21(1)(1)zrdzzzz，其中r≠1.解：当r1时，在｜z｜=r内有2阶奇点0，所以有20212(1)0.(1)(1)zzrdzizzzz当r1时，在｜z｜=r内有3个奇点，类似第12题方法，作3个正圆C1，C2，C3，分别只含-1，0，1，则221111(1)(1)21111200.22zrzrdzdzzzzzzzi15.求下列积分的值,其中积分路径C为1z(1)5zCedzz(2)3cosCzdzz(3)020tan12,()2Czdzzzz解(1)(4)052()4!12zzzCeiidzez(2)(2)03cos2(cos)2!zCzidzziz0'2020tan22(tan)sec()2zzCzzdzizizz（3）2200sintan/22()cos()2zzdzdzzzzzz，在｜z｜=1内只有奇点z0,由高阶导数公式得，02020tan/22tansec.()22zzzzzdziizz16.设函数f(z)=ax3＋bx2y＋cxy2＋dy3是调和函数，其中a，b，c,d为常数.问a，b，c,d之间应满足什么关系？解：由调和函数定义.22220ffxy，即6αx+2by+2cx+6dy=0∴6α+2c=0,2b+6d=0;则C=-3α,b=-3d.17.验证下列函数是否为题调和函数(1)3223632xxyxyy(2)ecos1i(esin1)xxyy解(1)设iwuv,3223632uxxyxyy0v∴223123uxxyyx22666uxxyyy22612uxyx22612uxyy从而有22220uuxy,w满足拉普拉斯方程,从而是调和函数.(2)设iuv,cos1xueyesin1xvy∴cosxueyxsinxueyy22cosxueyx22cosxueyy从而有22220uuxy,u满足拉普拉斯方程,从而是调和函数.sinxeyxcosxeyy22sinxeyx22sinxyey22220xy,满足拉普拉斯方程,从而是调和函数.18.证明:函数22uxy,22xvxy都是调和函数,但()ifzuv不是解析函数证明:2uxx2uyy222ux222uy∴22220uuxy,从而u是调和函数.22222()vyxxxy2222()vxyyxy223222362()vxyxxxy223222362()vxyxyxy∴22220vvxy,从而是调和函数.但∵uvxyuvyx∴不满足C-R方程,从而()ifzuv不是解析函数.19.由下列各已知调和函数,求解析函数()ifzuv(1)22uxyxy(2)22,(1)0yufxy（3）(cossin),(0)2;xveyyxyxyf（4）arctan,0.yvxx解(1)因为2uvxyxy2uvyxyx所以(,)(,)(0,0)(0,0)0022dd(2)d(2)dd(2)d222xyxyxyuuvxyCyxxxyyCxxxyyCyxxyxyC2222()i(2)22xyfzxyxyxyC令y=0,上式变为22()i()2xfxxC从而22()ii2zfzzC(2)2222()uxyxxy22222()uxyyxy用线积分法取为,有2(,)422(1,0)10222202dddd()111|xyxyyuuxyvxyCxxyCyxxxyxxCxxyxy22()i(1)22yxfzCyxy由f(1)=0，C=011fizz(3)du=uxdx+uydy=vydy-vxdy=［ex(cosy-ysiny+xcosy)+1］dx-［ex(ycosy+xsiny+siny)+1］dy(,)xx(0,0)xx00xx0000u=e(cosy-ysiny+xcosy)+1dx-e(ycosy+xsiny+siny)+1dy=e(1+