生物统计附试验设计第三章数据资料的度量2017

第三章数据资料的度量次数分布表和次数分布图，可以形象、直观地表示出资料的两个特征--集中性和离散性。为了更简单、精确地描述资料的特征，本章介绍三个统计量--平均数、标准差和变异系数。平均数反应资料的集中性，标准差和变异系数反应资料的离散性。平均数是统计学中最常用的统计量，用来表明资料中各观测值相对集中较多的中心位置。平均数的作用-平均数是资料的代表数-常用于同类性质资料间的相互比较第一节集中趋势的度量3平均数的种类-算术平均数(Arithmeticmean)（应用最为普遍）-几何平均数(Geometricmean)-中数（median）-众数（Mode）-调和平均数(HarmonicMean)一、算术平均数算术平均数是指资料中各观测值的总和除以观测值个数所得的商，简称平均数或均数，记为。算术平均数可根据样本大小及分组情况而采用直接法或加权法计算。(一)直接法主要用于样本含量n≤30以下、未经分组资料平均数的计算。设某一资料包含n个观测值：x1、x2、…、xn，则样本平均数可通过下式计算：（3-1）其中，Σ为总和符号；表示从第一个观测值x1累加到第n个观测值xn。当在意义上已明确时，可简写为Σx，（3-1）式可改写为：nxnxxxxniin121niix1nxxniix1【例3.1】某种公牛站测得10头成年公牛的体重分别为500、520、535、560、585、600、480、510、505、490（kg），求其平均数。由于Σx=500+520+535+560+58+600+480+510+505+49=5285n=10得：即10头种公牛平均体重为528.5kg。.5(kg)528105285∑nxx（二）加权法对于样本含量n≥30以上且已分组的资料，可以在次数分布表的基础上采用加权法计算平均数，计算公式为：（3-2）ffxfxffffxfxfxfxkiikiiikkk11212211式中：-第i组的组中值；-第i组的次数；-分组数ixifk第i组的次数fi是权衡第i组组中值xi在资料中所占比重大小的数量，因此将fi称为是xi的“权”，加权法也由此而得名。【例3.2】将100头长白母猪的仔猪一月窝重（单位：kg）资料整理成次数分布表如下，求其加权数平均数。表3-1100头长白母猪仔猪一月窝重次数分布表利用（3-2）式得：即这100头长白母猪仔猪一月龄平均窝重为45.2kg。计算若干个来自同一总体的样本平均数的平均数时，如果样本含量不等，也应采用加权法计算。)(2.451004520kgffxx【例3.3】某牛群有黑白花奶牛1500头，其平均体重为750kg，而另一牛群有黑白花奶牛1200头，平均体重为725kg，如果将这两个牛群混合在一起，其混合后平均体重为多少？此例两个牛群所包含的牛的头数不等，要计算两个牛群混合后的平均体重，应以两个牛群牛的头数为权，求两个牛群平均体重的加权平均数，即即两个牛群混合后平均体重为738.89kg。（三）平均数的基本性质1、样本各观测值与平均数之差的和为零，即离均差之和等于零。或简写成)(89.738270012007251500750kgffxx0)(1xxnii0)(xxNxNii1N表示总体所包含的个体数。当一个统计量的数学期望等于所估计的总体参数时，则称此统计量为该总体参数的无偏估计量。统计学中常用样本平均数（）作为总体平均数（μ）的估计量，并已证明样本平均数是总体平均数μ的无偏估计量。x14二、几何平均数（一）定义n个观察值乘积的n次方根。即（二）适用条件主要应用于数据呈倍数关系或等比关系的资料（如动植物的增长率，抗体的滴度，药物的效价，畜禽疾病的潜伏期等），算术平均数对这类资料的代表性差。（三）计算nnnnxxxxxxG1)....(....2121（3-6）151、应用公式计算（实际应用时常取对数）nnxxxG21nxxxnGlglglg1lg21niixn1lg1niixnG11lg1lg（3-7）【例3.4】某波尔山羊群1997-2000年各年度的存栏数见表3-2，试求其年平均增长率。表3-2某波尔山羊群各年度存栏数与增长率利用（3-7）式求年平均增长率G==lg-1[（-0.368-0.398–0.602）/3]=lg-1（-0.456）=0.3501即年平均增长率为0.3501或35.01%。)]lglg(lg1[lg211nxxxn182、当资料编成次数分布表时)lg(lg1fxfGi-各组组中值；-各组次数；ixif三、中位数定义将资料内所有观测值从小到大依次排列，位于中间的那个观测值，称为中位数，记为Md。适用条件资料呈偏态分布或次数分布类型不明，以及一端或两端无确定数值，这种资料用中位数作为代表值比用算术平均数为好。计算方法因资料是否分组而有所不同。（一）未分组资料中位数的计算方法对于未分组资料，先将各观测值由小到大依次排列。1、当观测值个数n为奇数时，(n+1)/2位置的观测值，即x(n+1)/2为中位数：Md=2、当观测值个数为偶数时，n/2和（n/2+1）位置的两个观测值之和的1/2为中位数，即：（3-4）2/)1(nx2)12/(2/nndxxM【例3.5】观察得9只西农莎能奶山羊的妊娠天数为144、145、147、149、150、151、153、156、157，求其中位数。此例n=9，为奇数，则：Md==150（天）即西农莎能奶山羊妊娠天数的中位数为150天。52/)19(2/)1(xxxn【例3.6】某犬场发生犬瘟热，观察得10只仔犬发现症状到死亡分别为7、8、8、9、11、12、12、13、14、14天，求其中位数。此例n=10，为偶数，则：(天)即10只仔犬从发现症状到死亡天数的中位数为11.5天。5.11212112265)12/(2/xxxxMnnd（二）已分组资料中位数的计算方法若资料已分组，编制成次数分布表，则可利用次数分布表来计算中位数，其计算公式为：（3-5）式中：L-中位数所在组的下限；i-组距；f-中位数所在组的次数；n-总次数；c-小于中数所在组的累加次数。)2(cnfiLMd【例3.7】某奶牛场68头健康母牛从分娩到第一次发情间隔时间整理成次数分布表如表3-3所示，求中位数。表3-368头母牛从分娩到第一次发情间隔时间次数分布表由表3-3可见：i=15，n=68，因而中位数只能在累加头数为36所对应的“57-71”这一组，于是可确定L=57，f=20，c=16，代入公式（3-5）得：(天)即奶牛头胎分娩到第一次发情间隔时间的中位数为70.5天。5.70)16268(201557)2(cnfiLMd四、众数定义资料中出现次数最多的那个观测值或次数最多一组的组中值，记为M0。如表2-3所列的50枚受精种蛋出雏天数次数分布中，以22出现的次数最多，则该资料的众数为22天。又如【例3.7】所列出的次数分布表中，57-71这一组次数最多，其组中值为64天，则该资料的众数为64天。五、调和平均数定义资料中各观测值倒数的算术平均数的倒数，称为调和平均数，记为H，即（3-8）调和平均数主要用于求生长/增长/扩散速率的平均速率。xnxxxnnH1111111)(121【例3.8】某保种牛群不同世代牛群保种的规模分别为：0世代200头，1世代220头，2世代210头；3世代190头，4世代210头，试求其平均规模。利用（3-9）式求平均规模：(头)即保种群平均规模为208.33头。33.2080048.01)024.0(1)(1512101190121012201200151H【例3.9】土壤水分在毛细管中的上升速率，从土壤表面下30cm量起，第一个10cm、第二个10cm、第三个10cm土壤毛管水的上升速率分别为：8cm/min、6cm/min、4cm/min，求毛管水的平均上升速率。验证：中位数和众数属于位置平均数。算术平均数对特异值的反应不灵敏，而中位数对特异值得反应十分灵敏，常把中位数作为探索发现特异值得标准。*把数据每一个值和中位数相减，很容易发现特异值，而和算术平均值相减，很难发现特异值。对于同一资料，其代表性：算术平均数几何平均数调和平均数上述五种平均数，最常用的是算术平均数。第二节离散趋势的度量用平均数作为样本的代表，其代表性的强弱受样本资料中各观测值变异程度的影响。仅用平均数对一个资料的特征作统计描述是不全面的，还需引入一个表示资料中观测值变异程度大小的统计量——标准差。A组8.99.49.69.79.910.410.911.011.2B组2.93.13.85.19.910.017.018.021.2这两个样本具有相同的算术平均数：10.11；相同的中数：9.9，都没有众数。一、标准差的意义1、全距（极差）是表示资料中各观测值变异程度大小最简便的统计量。但是全距只利用了资料中的最大值和最小值，并不能准确表达资料中各观测值的变异程度，比较粗略。当资料很多而又要迅速对资料的变异程度作出判断时，可以利用全距这个统计量。2、方差与标准差的定义35)(xx0)(xxxx它不能表示整个资料中所有观察值的总偏离程度使用不方便，在统计学中未被采用)(xx2)(xx2)(xx)1/()(2nxx)1/()(2nxxs消除离均差的负号离均差的平方之和（简称平方和，记为SS）称为均方（缩写为MS），又称为样本方差，记为S2标准差36)1/()(22nxxS样本方差（S2）/样本均方（MS）)1/()(2nxxS样本标准差（S）对样本而言对有限总体而言Nx/)(22总体方差（σ2）Nx/)(2总体标准差（σ）（3-11）（3-9）（3-10）由于所以（3-11）式可改写为：样本标准差（3-12）)2()(222xxxxxx222xnxxx222)()(2nxnnxxnxx22)(12)(2nxSnx38样本方差的分母（n-1）为样本方差的自由度，记为df自由度（df）：是指样本内独立而能自由变动的观测值个数，即样本含量（n）减去独立约束条件的个数（k）df=n-k例如一个有5个观察值的样本，因为受统计数的约束，在5个离均差中，只有4个数值可以在一定范围之内自由变动取值，而第五个离均差必须满足离均差和为0。如一样本为（3，4，5，6，7），平均数为5，前４个离差为﹣2,﹣1，0和1，则第5个离均差为前4个离均差之和的变号数，即﹣（﹣2）=2。相应的总体参数叫总体标准差，记为σ。对于有限总体而言，σ的计算公式为：（3-13）在统计学中，常用样本标准差S估计总体标准差σ。Nx/)(2二、标准差的计算方法（一）直接法对于未分组或小样本资料，可直接利用（3-11）或（3-12）式来计算标准差。【例3.10】计算10只辽宁绒山羊产绒量：450，450，500，500，500，550，550，550，600，600，650（g）的标准差。此例n=10，经计算得：Σx=5400，Σx2=2955000，代入（3-12）式得：(g)即10只辽宁绒山羊产绒量的标准差为65.828g。828.6511010/540029550001/)(222nnxxS（二）加权法对于已制成次数分布表的大样本资料，可利用次数分布表，采用加权法计算标准差。计算公式为：（3-14）式中，f为各组次数；x为各组的组中值；Σf=n为总次数。1/)(1)(222fffxfxfxxfS【例3.11】利用某纯系蛋鸡200枚蛋重资料的次数分布表（见表3-4）计算标准差。表3-4某纯系蛋鸡200枚蛋重资