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2.3匀变速直线运动的位移与时间的关系现实生活中，有很多场合，我们需要判断确定匀变速直线运动的位移的大小。例如，汽车刹车时、追赶目标时等。课堂情景导入知识自主梳理1．位移公式：x＝________。2．由v－t图象求位移：做匀速直线运动的物体，其v－t图象是一条平行于________的直线，其位移在数值上等于v－t图线与对应的时间轴所包围的矩形的________。如图所示。知识点1匀速直线运动的位移vt时间轴面积1．由v－t图象求位移(1)推导。①把物体的运动分成几个小段，如图甲，每段位移≈每段起始时刻速度×每段的时间＝对应矩形面积。所以，整个过程的位移≈各个小矩形面积________。②把运动过程分为更多的小段，如图乙，各小矩形的____________可以更精确地表示物体在整个过程的位移。知识点2匀变速直线运动的位移之和面积之和③把整个过程分得非常非常细，如图丙，小矩形合在一起成了一个梯形，_____________就代表物体在相应时间间隔内的位移。梯形的面积(2)结论：做匀变速直线运动的物体的位移对应着v－t图象中的_______________________所包围的面积。2．位移与时间关系式：________________。图线与对应的时间轴x＝v0t＋12at21．定义：以________为横坐标，以________为纵坐标，描述位移随时间变化情况的图象。2．静止物体的x－t图象：是一条_____________________的直线。3．匀速直线运动的x－t图象：由x＝vt可知，其位移－时间图象是一条________________。如图中①所示。知识点3用图象表示位移(x－t图象)时间t位移x平行于时间轴过原点的直线4．匀变速直线运动的x－t图象：当v0＝0时，x＝12at2，其位移－时间图象是抛物线的一部分。如图中②所示。图象是曲线，反映物体的位移x与时间t不成正比，而是x∝________。t2一、对位移公式x＝v0t＋12at2的理解及应用1．对位移公式的理解：(1)公式的物理意义：反映了位移随时间的变化规律。(2)公式的矢量性：公式中x、v0、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向。若选v0方向为正方向，则：①物体加速，a取正值。②物体减速，a取负值。③若位移为正值，位移的方向与正方向相同。④若位移为负值，位移的方向与正方向相反。重点难点突破2．位移公式的应用(1)适用范围：匀变速直线运动。(2)用途：公式中包含四个物理量，不涉及末速度，已知其中任意三个物理量时，可求出剩余的一个物理量。(3)应用步骤①确定一个方向为正方向(一般以初速度的方向为正方向)。②根据规定的正方向确定已知量的正、负，并用带有正、负的数值表示。③根据位移时间关系式或其变形式列式、求解。④根据计算结果说明所求量的大小、方向。3．两种特殊形式(1)当a＝0时，x＝v0t(匀速直线运动)。(2)当v0＝0时，x＝12at2(由静止开始的匀加速直线运动)。特别提醒：(1)公式x＝v0t＋12at2是匀变速直线运动的位移公式，而不是路程公式，利用该公式计算出的物理量是位移而不是路程。(2)位移与时间的平方不是正比关系，时间越长，位移不一定越大。二、匀变速直线运动的两个重要推论1．平均速度在匀变速直线运动中，对于某一段时间t，其中间时刻的瞬时速度v•t2＝v0＋a×12t＝v0＋12at，该段时间的末速度v＝v0＋at，由平均速度的定义式和匀变速直线运动的位移公式整理加工可得v－＝xt＝v0t＋12at2t＝v0＋12at＝2v0＋at2＝v0＋v0＋at2＝v0＋v2＝2tv即有v－＝v0＋v2＝故在匀变速直线运动中，某一段时间内的平均速度等于该段时间内中间时刻的瞬时速度，又等于这段时间内初速度和末速度的算术平均值。2tv2．逐差相等在任意两个连续相等的时间间隔T内，位移差是一个常量，即Δx＝xⅡ－xⅠ＝aT2推导：时间T内的位移x1＝v0T＋12aT2①在时间2T内的位移x2＝v02T＋12a(2T)2②则xⅠ＝x1，xⅡ＝x2－x1③由①②③得Δx＝xⅡ－xⅠ＝aT2此推论常有两方面的应用：一是用以判断物体是否做匀变速直线运动，二是用以求加速度。特别提醒：(1)以上推论只适用于匀变速直线运动，其他性质的运动不能套用推论式来处理问题。(2)推论式xⅡ－xⅠ＝aT2常在实验中根据打出的纸带求物体的加速度。三、位移在v－t图象中的表示：位移是矢量，有大小也有方向。在v－t图象中，当表示位移的“面积”在t轴上方时，位移取正值，这表示物体的位移与规定的正方向相同；当表示位移的“面积”在t轴下方时，位移取负值，这表示物体的位移与规定的正方向相反。如图所示，在时间0～t1内的位移x1取正值；在t1～t2时间内的位移x2取负值，物体在0～t2时间内的总位移等于x1和x2的代数和。特别提醒：图线和t轴所围成的面积的绝对值的和等于物体的路程。四、位移—时间图象(x－t图象)1．物理意义：x－t图象反映了物体的位移随时间的变化关系，图象上的某一点表示运动物体在某时刻所处的位置或相对于坐标原点的位移。2．根据x－t图象分析物体的运动(1)由x－t图象可以确定物体各个时刻所对应的位置或物体发生一段位移所需要的时间。(2)若物体做匀速直线运动，则x－t图象是一条倾斜的直线，直线的斜率表示物体的速度。斜率的大小表示速度的大小，斜率的正、负表示物体的运动方向，如甲图中的a、b所示。(3)若x－t图象为平行于时间轴的直线，表明物体处于静止状态。如甲图中的c所示。(4)物体做初速度为零的匀加速直线运动的x－t图象，如图乙所示。3．对图象的几点说明(1)纵截距：表示初始时刻的位置。(2)横截距：表示物体从开始计时到开始运动间隔的时间或物体运动到原点时的时刻。(3)两图象的交点：表示两物体在同一位置(即相遇)。(4)图象的斜率等于物体运动的速度，斜率为正值表明速度为正，物体向正方向运动；斜率为负值表明速度为负，物体向负方向运动。(5)乙图表示速度越来越大，曲线弯曲不表示做曲线运动。特别提醒：(1)x－t图象只能用来描述直线运动。(2)x－t图象表示的是位移x随时间t变化的情况，绝不是物体运动的轨迹。题型1位移公式x＝v0t＋12at2的应用例1骑自行车的人以5m/s的初速度匀减速地上一个斜坡(如图所示)，加速度的大小为0.4m/s2，斜坡长30m，骑自行车的人通过斜坡需要多少时间？考点题型设计解析：由位移公式x＝v0t＋12at2，代入数据得：30＝5t－12×0.4t2，解之得：t1＝10s，t2＝15s将t1＝10s和t2＝15s分别代入速度公式v＝v0＋at计算两个对应的末速度，v1＝1m/s和v2＝－1m/s。后一个速度v2＝－1m/s与上坡的速度方向相反，与实际情况不符，所以应该舍去。实际上，15s是自行车按0.4m/s2的加速度匀减速运动速度减到零又反向加速到1m/s所用的时间，而这15s内的位移恰好也是30m。在本题中，由于斜坡不是足够长，用10s的时间就到达坡顶，自行车不可能倒着下坡，从此以后自行车不再遵循前面的运动规律，所以15s是不合题意的。答案：10s点评：由位移公式x＝v0t＋12at2，求时间t，由于解的是一个一元二次方程，因此会有两个解，这两个解不一定都有意义，解出后一定要进行讨论。题型2匀变速直线运动两个推论的应用例2从斜面上某位置每隔0.1s释放一个小球，释放后小球做匀加速直线运动，在连续释放几个后，对在斜面上的小球拍下照片，如图所示，测得xAB＝15cm，xBC＝20cm。试求：(1)小球的加速度；(2)拍摄时B球的速度vB；(3)拍摄时xCD；(4)A球上面滚动的小球还有几个？解析：小球释放后做匀加速直线运动，且每相邻的两个小球的时间间隔相等，均为T＝0.1s，可以等效为A、B、C、D各点是一个小球在不同时刻的位置。(1)由推论Δx＝aT2可知，小球的加速度为：a＝xBC－xABt2＝20－150.12cm/s2＝500cm/s2＝5m/s2(2)由题意知B点是AC段的中间时刻，可知B点的速度等于AC段的平均速度即，vB＝vAC＝xAC2t＝15＋202×0.1cm/s＝1.75m/s(3)由于相邻相等时间的位移差恒定，即xCD－xBC＝xBC－xAB，所以xCD＝2xBC－xAB＝40cm－15cm＝25cm＝0.25m(4)设A点小球的速度为vA，因为vB＝vA＋at，vA＝vB－at＝1.75m/s－5×0.1m/s＝1.25m/s，所以A球的运动时间为：tA＝vAa＝1.255s＝0.25s，因为每隔0.1s释放一个小球，故A球的上方正在滚动的小球还有2个。答案：(1)5m/s2(2)1.75m/s(3)0.25m(4)2个题型3位移—时间图象例3如图所示为在同一直线上运动的A、B两质点的x－t图象，由图可知()A．t＝0时，A在B的前面B．B在t2时刻追上A，并在此后跑在A的前面C．B开始运动的速度比A小，t2时刻后大于A的速度D．A运动的速度始终比B大解析：t＝0时，A在原点正方向x1位置处，B在原点处，A在B的前面，A对。t2时刻两图线相交，表示该时刻B追上A，并在此后跑在A的前面，B对。B开始运动的速度比A小，t1时刻后A静止，B仍然运动，C、D错。答案：AB点评：(1)解析图象问题要特别注意：坐标轴的含义，起点、交点、拐点的物理意义以及斜率和面积的意义。(2)将x－t图象与实际运动结合起来，建立清晰的物理情境，有利于问题的解决。题型4探究·应用例4一辆长途客车正在以v＝20m/s的速度匀速行驶，突然，司机看见车的正前方x＝45m处有一只小狗(图甲)，司机立即采取制动措施。从司机看见小狗到长途客车开始做匀减速直线运动的时间间隔Δt＝0.5s。若从司机看见小狗开始计时(t＝0)，该长途客车的速度—时间图象如图乙所示。求：(1)长途客车在Δt时间内前进的距离；(2)长途客车从司机发现小狗至停止运动的这段时间内前进的距离；(3)根据你的计算结果，判断小狗是否安全。如果安全，请说明你判断的依据；如果不安全，有哪些方式可以使小狗安全。解析：(1)公共汽车在司机的反应时间内前进的距离x1＝vΔt＝10m(2)公共汽车从司机发现小狗至停止的时间内前进的距离x2＝x1＋vt/2＝50m(3)因为x2x，所以小狗不安全。若要小狗不发生危险，可以采用如下的一些方式：①加大刹车力度增大刹车加速度，使汽车刹车距离减小5m以上。②提前鸣笛使小狗沿车的前进方向在4.5s内跑出5m以上的距离，或小狗沿垂直运动的方向在4.5s内跑出的距离超过车的宽度。答案：见解析易错案例分析易错点：对运动过程不清，盲目套用公式造成错误案例：一辆汽车以20m/s的速度行驶，现因紧急事故急刹车并最终停止运动。已知汽车刹车过程的加速度的大小为5m/s2，则从开始刹车经过5s汽车通过的距离是多少？易错分析：受到题目设置的陷阱的影响，误认为汽车的运动时间等于题中给出的时间。将t＝5s直接代入公式：x＝v0t＋12at2＝[20×5＋12×(－5)×52]m＝37.5m。实际上“从开始刹车经过5s”是一个“陷阱”，即刹车时间是否是5s？若汽车在5s内早已停止，则刹车时间t5s。对这样的问题，要结合生活实际具体分析。正确解答：设刹车开始至停止所用的时间为t0，选v0的方向为正方向。由vt＝v0＋at0，得t0＝vt－v0a＝0－20－5s＝4s可见，汽车刹车时间为4s，第5s是静止的。由x＝v0t＋12at2，知刹车5s内通过的距离x＝v0t0＋12at20＝[20×4＋12×(－5)×42]m＝40m正确答案：40m