两个角动量的耦合

§7-4两个角动量的耦合一、两个角动量的相加（耦合）二、角动量算符之间的对易关系三、耦合表象与无耦合表象的关系§7-4两个角动量的耦合两个角动量（磁矩）发生耦合，体系便出现附加能量，在此情况下，可以证明角动量为守恒量。核壳层结构、原子光谱的精细结构、复杂塞曼效应都必须由角动量耦合才能得到合理解释。一、两个角动量的相加（耦合）考虑由两个不同子体系构成的量子体系。设两个子体系的角动量分别为和，它们满足1ˆJ2ˆJ111ˆˆˆJJiJ222ˆˆˆJJiJ211ˆˆ[,]0JJ222ˆˆ[,]0JJ(,,)xyz由于和属于不同子体系，所以相互对易，即1ˆJ2ˆJ12ˆˆ[,]0JJ0]ˆ,ˆ[21JJ(,,,)xyz或定义：体系的总角动量12ˆˆˆJJJ则1212ˆˆˆˆˆˆ()()JJJJJJ11122122ˆˆˆˆˆˆˆˆJJJJJJJJ1221ˆˆˆˆJJJJ1122ˆˆˆˆJJJJˆiJ12ˆˆiJiJ12ˆˆ()iJJ或1212ˆˆˆˆˆˆ[,][,]xyxxyyJJJJJJ1122ˆˆˆˆ[,][,]xyxyJJJJ12ˆˆzziJiJˆziJ注意：不是角动量。21ˆˆJJ即满足角动量的一般定义。ˆJ1212ˆˆˆˆ()()JJJJ11122122ˆˆˆˆˆˆˆˆJJJJJJJJ1122ˆˆˆˆJJJJ12ˆˆiJiJ12ˆˆ()iJJ12ˆˆ()iJJ二、角动量算符之间的的对易关系2221212ˆˆˆˆˆ2JJJJJ12ˆˆˆzzzJJJ（1）0]ˆ,ˆ[2zJJ2222ˆˆˆˆˆˆ[,][,]zxyzzJJJJJJ22ˆˆˆˆ[,][,]xzyzJJJJˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ[,][,][,][,]xxzxzxyyzyzyJJJJJJJJJJJJˆˆˆˆˆˆˆˆxyyxyxxyiJJiJJiJJiJJ01．、、、彼此对易2ˆJˆzJ21ˆJ22ˆJ（2）222212ˆˆˆˆ[,][,]0JJJJ222222211121121ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ[,][,][,]2[,]JJJJJJJJJ0222ˆˆ[,]0JJ（3）0]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[2221JJJJzz221121ˆˆˆˆˆ[,][,]zzzJJJJJ221121ˆˆˆˆ[,][,]zzJJJJ022ˆˆ[,]0zJJ（4）0]ˆ,ˆ[2221JJ综上，是彼此对易的，它们了组成第一套力学量完全集，其共同本征矢组成了正交归一完备基矢组。22212ˆˆˆˆ(,,,)zJJJJ12jjjm2．、、、彼此对易21ˆJ1ˆzJ22ˆJ2ˆzJ组成了第二套力学量完全集，它们的共同本征矢组成了正交归一完备基矢组。221122ˆˆˆˆ(,,,)zzJJJJ11221122jmjmjmjm3．耦合表象和无耦合表象耦合表象：以的共同本征矢为基矢的表象；22212ˆˆˆˆ(,,,)zJJJJ12jjjm221122ˆˆˆˆ(,,,)zzJJJJ1122jmjm无耦合表象：以的共同本征矢为基矢的表象。2212122211122222ˆ(1)ˆˆ(1)(1)ˆzJjjJmjjjmjjjmjjJjjJ2211111112211222222222ˆ(1)ˆˆ(1)ˆzzJjjJmjmjmjmjmjjJmJ三、耦合表象与无耦合表象的关系1．表象变换耦合表象的基矢可以用无耦合表象的基矢表示出来，即121122121122112212jjmjmjjjjmjmjmjmjmjjjm1211221122121122jjmjmjjmjmjjjmjmjm展开系数称为矢量耦合系数或克来布希-高登系数（Clebsch—Gorden）系数，简称C-G系数。112212jmjmjjjm因为0]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[12111zzzzzzJJJJJJ所以、有共同本征矢，因此zJˆzJ1ˆ1122121122ˆˆˆ()zzzJjmjmJJjmjm121122()mmjmjm即的本征值为，所以12()mmˆzJ21mmm2121222122212,,,,,,mjjjmjmmjmjmmjmjjjm则2．量子数和、的关系j1j2j（1）21maxjjj取值：mjjj,,1,最大值maxmaxmjj取值：1m111,1,,jjj最大值1max1mj取值：2m最大值222,1,,jjj因为21mmm所以max2max1maxmmm于是21maxjjj2max2mj给定、，则1j2j（2）21minjjj给定、，则取值个，取值个，所以无耦合表象基矢个数（即无耦合表象空间的维数）为1j2j1m121j2m221j1122jmjm)12)(12(21jj另一方面，对应于一个值，有个取值，所以耦合表象基矢个数为jm12j12jjjmmaxmin(21)jjjjmaxmin)12)(12()12(21jjjjjj由于幺正变换不改变空间的维数，所以上式左边是公差为2的等差数列之和，其项数为maxminmaxmin1(21)(21)112jjjj于是minmaxmaxmin(21)(21)(1)2jjjj1(21)2jj（首项+末项）项数maxminmaxmin(1)(1)jjjj2222maxmin12min(1)(1)jjjjj所以)12)(12()1(212min221jjjjj21minjjj（3）的取值j212121,...,1,jjjjjjj2121jjjjj每一步的改变为1。给定、后，的取值1j2jj