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第二编讲专题专题五立体几何第2讲空间中的平行与垂直「考情研析」1.从具体内容上：(1)以选择题、填空题的形式考查，主要利用平面的基本性质及线线、线面和面面的判定定理与性质定理对命题的真假进行判断，属于基础题．(2)以解答题的形式考查，主要是对线线、线面与面面平行和垂直关系交汇综合命题，且多以棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体进行考查．2.从高考特点上，难度中等，常以一道选填题或在解答题的第一问考查．分值一般为5分．核心知识回顾1．直线与平面平行的判定和性质(1)判定①判定定理：.②面面平行的性质：.(2)性质：.□01a∥b，b⊂α，a⊄α⇒a∥α□02α∥β，a⊂α⇒a∥β□03l∥α，l⊂β，α∩β＝m⇒l∥m2．直线和平面垂直的判定和性质(1)判定①判定定理：.□01a⊥b，a⊥c，b，c⊂α，b∩c＝O⇒a⊥α②线面垂直的其他判定方法：a..b..c..□02a∥b，a⊥α⇒b⊥α□03l⊥α，α∥β⇒l⊥β□04α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β(2)性质①.②.□05l⊥α，a⊂α⇒l⊥a□06l⊥α，m⊥α⇒l∥m3．两个平面平行的判定和性质(1)判定①判定定理：.②面面平行的其他判定方法：a..b..□01a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥α□02l⊥α，l⊥β⇒α∥β□03α∥γ，α∥β⇒β∥γ(2)性质：.4．两个平面垂直的判定和性质(1)判定：.(2)性质：.□04α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b⇒a∥b□01a⊂α，a⊥β⇒α⊥β□02α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β热点考向探究考向1空间线面位置关系的判定例1(1)(2018·福建漳州质检)设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是()A．若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥bB．若a∥α，b⊥β，且α⊥β，则a∥bC．若a⊥α，a∥b，b∥β，则α⊥βD．若a⊥b，a⊂α，b⊂β，则α⊥β解析若α∥β，a⊂α，b⊂β，则直线a与b可能平行或异面，所以A错误；若a∥α，b⊥β，且α⊥β，则直线a与b可能平行或相交或异面，所以B错误；若a⊥α，a∥b，b∥β，则α⊥β，所以C正确；若a⊥b，a⊂α，b⊂β，则α∩β或α∥β，所以D错误．故选C.(2)正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，M为CC1的中点，N为线段DD1上靠近D1的三等分点，平面BMN交AA1于点Q，则线段AQ的长为()A.23B.12C.16D.13解析如图所示，过点A作AE∥BM交DD1于点E，则E是DD1的中点，过点N作NT∥AE交A1A于点T，此时NT∥BM，所以B，M，N，T四点共面，所以点Q与点T重合，易知AQ＝NE＝13，故选D.方法指导空间线面位置关系判断的常用方法(1)根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题．(2)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系，并结合有关定理来进行判断．1．(2018·江西调研)设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β()A．若l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，则l⊥mC．若l∥β，则α∥βD．若α∥β，则l∥m解析依题意，若l⊥β，l⊂α，则α⊥β，故A正确；若α⊥β，则l与m可能平行、相交或异面，B错误；若l∥β，则α与β平行或相交，C错误；若α∥β，则l与m平行或异面，D错误，故选A.2．如图，在以角C为直角顶点的三角形ABC中，AC＝8，BC＝6，PA⊥平面ABC，F为PB上的点，在线段AB上有一点E，满足BE＝λAE.若PB⊥平面CEF，则实数λ的值为()A.316B.516C.916D.3解析∵PB⊥平面CEF，∴PB⊥CE，又PA⊥平面ABC，CE⊂平面ABC，∴PA⊥CE，而PA∩PB＝P，∴CE⊥平面PAB，∴CE⊥AB，∴λ＝EBAE＝EB·ABAE·AB＝BC2AC2＝916.考向2空间平行、垂直关系的证明例2(2018·武汉模拟)如图，四棱锥P－ABCD的底面为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E，F，H分别为AB，PC，BC的中点．(1)求证：EF∥平面PAD；(2)求证：平面PAH⊥平面DEF.证明(1)取PD的中点M，连接FM，AM.∵在△PCD中，F，M分别为PC，PD的中点，∴FM∥CD且FM＝12CD.∵在正方形ABCD中，AE∥CD且AE＝12CD，∴AE∥FM且AE＝FM，则四边形AEFM为平行四边形，∴AM∥EF，∵EF⊄平面PAD，AM⊂平面PAD，∴EF∥平面PAD.(2)∵侧面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，侧面PAD∩底面ABCD＝AD，∴PA⊥底面ABCD，∵DE⊂底面ABCD，∴DE⊥PA.∵E，H分别为正方形ABCD边AB，BC的中点，∴Rt△ABH≌Rt△DAE，则∠BAH＝∠ADE，∴∠BAH＋∠AED＝90°，∴DE⊥AH，∵PA⊂平面PAH，AH⊂平面PAH，PA∩AH＝A，∴DE⊥平面PAH，∵DE⊂平面EFD，∴平面PAH⊥平面DEF.方法指导空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定定理、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化．如图，多面体ABCDE中，AB＝AC，BE∥CD，BE⊥BC，平面BCDE⊥平面ABC，M为BC的中点．(1)若N是线段AE的中点，求证：MN∥平面ACD；(2)若N是AE上的动点且BE＝1，BC＝2，CD＝3，求证：DE⊥MN.证明(1)如图，取AB的中点P，连接PM，PN，由P，N分别为AB，AE的中点得，PN∥BE∥CD，∵PN⊄平面ACD，CD⊂平面ACD，∴PN∥平面ACD，同理可得，PM∥平面ACD，又PN∩PM＝P，∴平面MNP∥平面ACD，∵MN⊂平面MNP，∴MN∥平面ACD.(2)连接EM，AM，DM.∵AB＝AC且M为BC的中点，∴AM⊥BC.∵平面BCDE⊥平面ABC，∴AM⊥平面BCDE，∴AM⊥DE.在直角梯形BCDE中，BE＝1，BC＝2，CD＝3，∴DE＝22，EM＝2，DM＝10，∴DE2＋EM2＝DM2，即DE⊥EM，又AM∩EM＝M，∴DE⊥平面AEM，∵MN⊂平面AEM，∴DE⊥MN.真题VS押题『真题模拟』1．(2018·唐山模拟)设直线m与平面α相交但不垂直，则下列说法正确的是()A．在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直B．过直线m有且只有一个平面与平面α垂直C．与直线m垂直的直线不可能与平面α平行D．与直线m平行的平面不可能与平面α垂直解析可以通过观察正方体ABCD－A1B1C1D1进行判断，取BC1为直线m，平面ABCD为平面α，由AB，CD均与m垂直知，A错误；由D1C1与m垂直且与平面α平行知，C错误；由平面ADD1A1与m平行且与平面α垂直知，D错误．故选B.2．(2018·贵阳期末)如图，在三棱锥P－ABC中，不能证明AP⊥BC的条件是()A．AP⊥PB，AP⊥PCB．AP⊥PB，BC⊥PBC．平面BPC⊥平面APC，BC⊥PCD．AP⊥平面PBC解析由AP⊥PB，AP⊥PC可推出AP⊥平面PBC，∴AP⊥BC，故排除A；由平面BPC⊥平面APC，BC⊥PC可推出BC⊥平面APC，∴AP⊥BC，故排除C；由AP⊥平面PBC可推出AP⊥BC，故排除D，选B.3．(2018·北京高考)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点．求证：(1)PE⊥BC；(2)平面PAB⊥平面PCD；(3)EF∥平面PCD.证明(1)∵PA＝PD，且E为AD的中点，∴PE⊥AD.∵底面ABCD为矩形，∴BC∥AD，∴PE⊥BC.(2)∵底面ABCD为矩形，∴AB⊥AD.∵平面PAD⊥平面ABCD，∴AB⊥平面PAD.∴AB⊥PD.又PA⊥PD，∴PD⊥平面PAB，∴平面PAB⊥平面PCD.(3)如图，取PC中点G，连接FG，GD.∵F，G分别为PB和PC的中点，∴FG∥BC，且FG＝12BC.∵四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点，∴ED∥BC，DE＝12BC，∴ED∥FG，且ED＝FG，∴四边形EFGD为平行四边形，∴EF∥GD.又EF⊄平面PCD，GD⊂平面PCD，∴EF∥平面PCD.『金版押题』4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为线段BC1上的动点，则下列判断错误的是()A．DB1⊥平面ACD1B．BC1∥平面ACD1C．BC1⊥DB1D．三棱锥P－ACD1的体积与点P的位置有关解析连接BD，则BD⊥AC.∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴BB1⊥AC.∵BD∩BB1＝B，∴AC⊥平面BB1D1D.∵DB1⊂平面BB1D1D，∴DB1⊥AC.连接A1D，则A1D⊥AD1，∵A1B1⊥平面ADD1A1，AD1⊂平面ADD1A1，∴A1B1⊥AD1，∵A1D∩A1B1＝A1，∴AD1⊥平面A1B1CD.∵DB1⊂平面A1B1CD，∴DB1⊥AD1，∵AC∩AD1＝A，∴DB1⊥平面ACD1.故A正确．∵BC1∥AD1，BC1⊄平面ACD1，AD1⊂平面ACD1，∴BC1∥平面ACD1.故B正确．∵DB1⊥平面ACD1，AD1⊂平面ACD1，∴DB1⊥AD1，∵BC1∥AD1，∴BC1⊥DB1.故C正确．∵BC1∥平面ACD1，P为线段BC1上的动点，∴点P到平面ACD1的距离为定值，∴三棱锥P－ACD1的体积为定值，与点P的位置无关．故D错误．故选D.5．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝1，则四面体A－EFB的体积V等于________．212解析连接AC，BD，相交于点O，则OA为四面体A－EFB的高，且OA＝22，又S△EFB＝12×1×1＝12，所以V＝13×12×22＝212.