7-第4章-常微分方程模型(一)

第4章常微分方程模型4.1节一级动力学反应模型4.1.1一级动力学反应模型及其性质一级动力学反应是指反应速率与系统中反应物含量的一次方成正比的反应，其数学模型为微分方程ddxtkx(4.1.1)其中t为时间，x=x(t)为t时刻系统中反应物的含量，一阶导数ddxt是反应速率，比例系数k是反应速率常数，k0，负号表示反应物的含量在衰减.一级动力学反应的数学模型(4.1.1)式有很多应用，例如放射性衰变、加热或冷却、人体内药物的吸收与排除、污染物降解等.4.1.1一级动力学反应模型及其性质在初始时刻0t，设反应物的含量为0x.(4.1.1)式满足初始条件00()xtx的特解为00()ekttxtx(4.1.2)(4.1.2)式表明：系统中反应物的含量按指数规律随时间衰减.4.1.1一级动力学反应模型及其性质半衰期是指某种特定物质的含量经过某种反应降低到初始值的一半所消耗的时间，记为τ或12t.在(4.1.2)式中，令0tt且0()2xtx，则002ekxx所以ln2k(4.1.3)所以一级动力学反应的半衰期是一个与初始状态无关的常数.t=0t=tx一级动力学反应的指数衰减过程和半衰期x=x0x=x0/2图4.14.1.2碳-14测年法当人们看见一件很古老的东西，最常见的疑问是“这是多少年前的东西”？考古学家一直在努力发展新技术来考证古物的年代.在诸多考证年代的的方法之中，以“碳-14定年法”最为普遍.它的原理是根据生物体死亡之后，体内碳-14衰减的速率来估计年代.美国化学家威拉得·法兰克·利比（WillardFrankLibby）因在20世纪40年代发明碳-14定年法而于1960年获得诺贝尔化学奖.4.1.2碳-14测年法同位素是具有相同原子序数的同一化学元素的两种或多种原子之一，其原子具有相同数目的电子和质子，但却有不同数目的中子.放射性是指元素从不稳定的原子核自发的放出射线而衰变形成稳定的元素.有放射性的同位素被称为放射性同位素.放射性同位素的衰变属于一级动力学反应，即衰变速率与放射性同位素的含量成正比.所以放射性同位素都具有非常稳定的半衰期.4.1.2碳-14测年法碳是一种很常见的非金属元素，以多种形式广泛存在于大气和地壳之中，常见的碳单质有石墨和金刚石，碳的一系列化合物——有机物是生命的根本.自然界中存在三种碳的同位素：碳-12（98.9%）、碳-13及碳-14（极少）.碳-12和碳-13属稳定型，碳-14具有放射性.碳-14是由宇宙射线撞击空气中的氮原子而产生，衰变方式为β衰变，碳-14原子转变为氮原子.碳-14的半衰期长达5730年，考古学家就是根据碳-14的半衰期计算年代.4.1.2碳-14测年法碳-14与氧结合成二氧化碳，散布在大气之中，生物体经由呼吸或光合作用，随时补充衰变掉的碳-14，且与大气中的碳-14维持恒定.但是一旦生物体死亡，体内的碳-14无法补充，每隔5730年就会减少一半，所以只要能测出死亡的生物体内（例如骨头、木炭、贝壳、谷物）残存的碳-14浓度，就可以推算出生物体于何时停止补充碳-14，也就是生物体已死亡多久的时间.碳-14定年法只适用于测定距今70000年内的古物所属的年代.4.1.2碳-14测年法因为碳-14的半衰期为τ=5730年，所以根据(4.1.3)式可计算得到k=0.000121，由此可知碳-14的衰变服从公式00.0001210()ettxtx(4.1.4)x=x(t)是古物中的碳-14在时刻t的剩余量，00()xxt.例4.1.1辽东半岛的古莲籽在我国辽东半岛普兰店附近的泥炭层中发掘出的古莲籽，至今大部分还能发芽开花.现测得出土的古莲籽中碳-14的剩留量占原始量的87.9%，试推算古莲籽生活的年代.4.1.2碳-14测年法例4.1.1辽东半岛的古莲籽解答记发掘出古莲籽的时间为t年，古莲籽生活的年代为0t年，则根据测量结果，有0()0.879()xtxt(4.1.5)由(4.1.4)式和(4.1.5)式，有00.000121()e0.879tt所以01065.9tt，即古莲籽生活的年代大约在发掘时间之前1066年.4.1.2碳-14测年法例4.1.2巴比伦的木炭1950年在巴比伦发现一根刻有汉穆拉比王朝字样的木炭，当时测定，其碳-14原子的衰减速度为4.09个/(g·min)，而新砍伐烧成的木炭中碳-14原子的衰减速度为6.68个/(g·min).请估算出汉穆拉比王朝所在年代.解答记发现汉穆拉比王朝木炭的时间为t=1950年，汉穆拉比王朝所在年代为0t年，根据(4.1.1)式，有1950dd(1950)txtkx，00dd()ttxtkxt.4.1.2碳-14测年法例4.1.2巴比伦的木炭解答（续）而根据测量结果，有01950dd4.09dd6.68tttxtxt所以0(1950)()4.096.68xxt，再根据(4.1.4)式，有00.000121(1950)e4.096.68t解得02104.3t(年)，即汉穆拉比王朝大约在公元前21世纪.4.1.3牛顿冷却定律物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：物体温度对时间的变化率与物体温度和它周围介质温度之差成正比.记物体在时刻t的温度为x=x(t)，它周围介质的温度为A，设A保持不变，则根据牛顿冷却定律建立微分方程模型（k0）dd()xtkxA(4.1.6)(4.1.6)式满足初始条件00()xtx的特解为00()ekttxtAxA(4.1.7)（提示：可做变量替换()()ytxtA）4.1.3牛顿冷却定律根据(4.1.7)式，当0xA，有()xtA，即微分方程(4.1.6)式的常数解；当0xA，有()xtA且lim()txtA；当0xA，有()xtA且lim()txtA.在(4.1.6)式，令dd()0xtkxA，解得x=A，这是微分方程(4.1.6)式唯一的临界点（即平衡点）.以上分析说明，临界点x=A是渐进稳定的.x=A牛顿冷却定律dx/dt=-k(A-x)的典型解曲线时间t温度x图4.24.1.3牛顿冷却定律例4.1.3热茶水的冷却现有一杯95C的热茶，放置在15C的房间中，如果2分钟后，茶水温度降到80C，问从开始冷却算起，多长时间之后茶水温度降到37C？茶水会不会冷却到12C？解答由题意，有095Cx，15CA，设00t，由(4.1.7)式，茶水在时刻t（分钟）的温度（C）为()1580ektxt4.1.3牛顿冷却定律例4.1.3热茶水的冷却解答（续）从开始冷却算起，2分钟后，茶水温度降到80C，即21580e80k(4.1.8)如果茶水在时刻t的温度是37C，则1580e37kt(4.1.9)联立(4.1.8)式和(4.1.9)式，可以解得k=0.10382，t=12.435.即从开始冷却算起，12分26秒后茶水温度降到37C.根据前面对(4.1.7)式的讨论知，如果室温保持在15C不变，茶水不可能冷却到12C.4.1.6排污量的估计1.问题提出（由全国大学生数学建模竞赛2005年A题改编）长江是我国第一、世界第三大河流，近年来，由于长江及其支流沿途的工农业和生活污水的大量排放，长江干流的水污染程度日趋严重,令人担忧.长江干流的主要污染物为高锰酸盐（CODMn）和氨氮（NH3-N）.表4.1给出了长江干流上其中两个观测站在2004年7月的水流量、水流速、高锰酸盐浓度和氨氮浓度，这两个站点之间的长江干流的长度为395公里.4.1.6排污量的估计1.问题提出通常认为一个观测站（地区）的水质污染主要来自于本地区的排污和上游的污水.一般说来，江河自身对污染物都有一定的自然净化能力，即污染物在水环境中通过物理降解、化学降解和生物降解等使水中污染物的浓度降低.反映江河自然净化能力的指标称为降解系数.事实上，长江干流的自然净化能力可以认为是近似均匀的，根据检测可知，主要污染物高锰酸盐和氨氮的降解系数通常介于0.1~0.5之间，比如可以考虑取0.2（单位：1/天）.4.1.6排污量的估计1.问题提出试根据表4.1的数据估计长江干流这一江段在2004年7月的主要污染物高锰酸盐和氨氮的排放量.表4.12004年7月的数据观测站点水流量(3m/s)水流速(m/s)高锰酸盐(mg/L)氨氮(mg/L)湖北宜昌南津关227001.43.20.16湖南岳阳城陵矶241001.54.20.364.1.6排污量的估计2.问题分析水中的污染物的降解过程可以简化成一级动力学反应，即假设每天污染物浓度的下降量与该污染物的浓度成正比，比例系数即降解系数.由于水流速度为1.4~1.5m/s，取平均值，即1.45m/s，也就是每天约125公里，而江段长度为395公里，所以江水平均只需大约3天时间就可以从宜昌流到岳阳，因此仅需要考虑两个站点在同一个月份测得的污染物指数.4.1.6排污量的估计2.问题分析由于不知道该江段内的众多支流及排污口的位置和排污量，无法精确计算江段的总排污量.但是，如果假设污染物集中在江段的开头，伴随着该江段新增加的水量，匀速的排放入长江干流，忽略污水和江水混合的时间，以污水和江水混合之后的污染物浓度作为初始条件，根据已知的该江段末尾的污染物浓度，反解出污染物的排放量.污染物集中在江段的开头排放入江，对该江段的污染影响最大，所以这样解得的是污染物排放量的可能的最大值.4.1.6排污量的估计2.问题分析类似的，如果假设污染物集中在江段的末尾排放入江，则可以解得污染物排放量的可能的最小值.最小值和最大值合起来就组成排放量的可能的区间.如果假设污染物集中在江段的中间排放入江，则可以解得污染物排放量的可能的中间值，中间值应该接近上述排放量区间的中点.4.1.6排污量的估计3.符号说明L=395km～长江干流从湖北宜昌南津关到湖南岳阳城陵矶的江段的长度；u=1.45m/s～以上江段的水流平均速度；k=0.2/天～高锰酸盐的降解系数；x=x(t)～江水在时刻t（天）的高锰酸盐浓度（mg/L）；0x=3.2mg/L～2004年7月湖北宜昌南津关的长江水的高锰酸盐浓度；4.1.6排污量的估计3.符号说明1x=4.2mg/L～2004年7月湖南岳阳城陵矶的长江水的高锰酸盐浓度；3022700m/sf～2004年7月湖北宜昌南津关的长江水流量；3124100m/sf～2004年7月湖南岳阳城陵矶的长江水流量；maxmidmin,,XXX～在集中排放于江段的开头、中间或末尾的假设下，高锰酸盐的排放量（g/s）.4.1.6排污量的估计4.模型假设（1）假设长江干流在两个站点的水流量和污染物浓度、两个站点之间的江段的江水流速在一个月内均分别为常数；（2）假设该江段的水量是守恒的，即末尾处的水流量与开始处的水流量之差等于单位时间内新增加的水量；（3）忽略污水和江水混合的时间；4.1.6排污量的估计4.模型假设（4）仅考虑污染物排放和降解对浓度的影响，假设每天污染物浓度的下降量与该污染物的浓度成正比，比例系数即降解系数k=0.2/天；（5）假设污染物分别集中在江段的开头、中间或末尾，伴随着该江段新增加的水量，匀速的排放入长江干流，并在三种情况下分别估计该江段污染物排放量的可能的最大值、中间值和最小值.4.1.6排污量的估计5.模型建立和求解根据模型假设（4），在没有新的污染物排放入江段的情况下，江段内的高锰酸盐浓度x=x(t)满足微分方程：ddxtkx(4.1.1)如果假设高锰酸盐污染物集中在江段的末尾，伴随着该江段新增加的水量，匀速的排放入长江干流，则微分方程(4.1.1)式满足初始条件0(0)xx，特解为0()ektxtx；进而，有min1100ekLuXxfxf(4.1.17)4.1.6排污量的估计5.模型建立和求解minX是该江段高锰酸盐排放量的可能的最小值.将具体数据代入(4.1.17)式，计算得：43min6.2610g/s5