复合材料结构分析

§4.0弹性力学基本内容§4.1复合材料结构分析的基本问题§4.2复合材料梁§4.3夹层结构分析§4.4复合材料板的弯曲分析§4.5复合材料壳体分析§4.0弹性力学基础4.0.1弹性力学的基本内容4.0.2弹性力学的基本假设4.0.3弹性力学的几个重要概念4.0.4弹性力学的三大基本规律4.0.5弹性力学的边界条件2019/11/[e-mail]22019/11/123弹性力学是固体力学的重要分支，它研究弹性物体在外力和其它外界因素作用下产生的变形和内力，也称为弹性理论。它是结构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航天等工程领域。弹性体是变形体的一种，它的特征为：在外力作用下物体变形，当外力不超过某一限度时，除去外力后物体即恢复原状。绝对弹性体是不存在的。物体在外力除去后的残余变形很小时，一般就把它当作弹性体处理。4.0.1弹性力学的基本内容弹性力学的发展初期：胡克，马略特，牛顿第二个时期：纳维，柯西第三个时期：圣维南，赫兹，基尔施4.0.1弹性力学的基本内容2019/11/124在17世纪末第二个时期开始时，人们主要研究粱的理论。到19世纪20年代法国的纳维和柯西才基本上建立了弹性力学的数学理论。柯西在1822～1828年间发表的一系列论文中，明确地提出了应变、应变分量、应力和应力分量的概念，建立了弹性力学的几何方程、运动(平衡)方程、各向同性以及各向异性材料的广义胡克定律，从而奠定了弹性力学的理论基础，打开了弹性力学向纵深发展的突破口。4.0.1弹性力学的基本内容2019/11/125第三个时期是线性各向同性弹性力学大发展的时期。这一时期的主要标志是弹性力学广泛应用于解决工程问题。同时在理论方面建立了许多重要的定理或原理，并提出了许多有效的计算方法。2019/11/126弹性力学所依据的基本规律有三个：变形连续规律、应力-应变关系和运动(或平衡)规律，它们有时被称为弹性力学三大基本规律。弹性力学中许多定理、公式和结论等，都可以从三大基本规律推导出来。连续变形规律是指弹性力学在考虑物体的变形时，只考虑经过连续变形后仍为连续的物体，如果物体中本来就有裂纹，则只考虑裂纹不扩展的情况。这里主要使用数学中的几何方程和位移边界条件等方面的知识。求解一个弹性力学问题，就是设法确定弹性体中各点的位移、应变和应力共15个函数。从理论上讲，只有15个函数全部确定后，问题才算解决。但在各种实际问题中，起主要作用的常常只是其中的几个函数，有时甚至只是物体的某些部位的某几个函数。所以常常用实验和数学相结合的方法，就可求解。弹性力学与材料力学材料力学基本上是研究具有特殊形状的构件（如杆、梁、板等）在拉压、剪切、弯曲和扭转作用下的应力，应变和位移；弹性力学则对形状更加复杂的实体结构和构件进行应力，应变和位移的分析。弹性力学的基本假设比材料力学少。通常利用弹性力学的三大基本规律和边界条件对构件进行更精确的分析。4.0.1弹性力学的基本内容2019/11/127可以认为弹性力学是高等材料力学弹性力学的内容数学弹性力学：研究基本概念、基本方程、边界条件、基本方法。几乎是力学概念和纯数学推导；应用弹性力学：研究工程方面的重要应用，如薄板、薄壳、地基梁板等。2019/11/128弹性力学问题，能够精确求得解析解的只是极少数，大量的问题只能近似求解，包括差分法、变分法、有限元法等。1.连续性：物体各点都由介质填满，没有空隙；这样，弹性力学中的各个量都可以用位置坐标的连续函数来表示，方便求各阶导数。2.完全弹性：外力除去后物体能恢复原来的形状，无残余应变。3.均匀性：物体各质点的材料相同。4.各向同性：假设物体内任意一点在不同的方向有相同的弹性，这样可以在物体内任意一点建立坐标系解决问题。5.小变形：假定物体的位移和变形都是微小的，远远小于物体本身的尺寸。这样，在计算时可以忽略应变的二次幂及更高次幂，使方程都简化为线性方程。4.0.2弹性力学的基本假设2019/11/129凡满足前四点的，都可以称为理想弹性体体力(体积力)分布在弹性体各质点上的外力，称为体积力，简称体力。例如重力，惯性力等。4.0.3弹性力学的几个重要概念2019/11/1210定义体力集度ΔV为弹性体内的微小体积元ΔQ为ΔV体积元所受到的合外力那么，体力2019/11/1211面力(面积力)分布在弹性体各外表面上的外力，称为面积力，简称面力。例如风力，大气压力等。同体力，面力可表示为：应力单位面积上的内力应变单位长度的形变量位移弹性体内各点在变形过程中都会发生位置的移动，称为位移。位移是矢量，位移在坐标轴各方向的投影为u,v,w，为标量，称为位移分量。2019/11/12122019/11/1213uvuAvAuBvBαβPP’ABA’B’Oxydxdy因此，各点的位移表达式为：2019/11/1214uvuAvAuBvBαβPP’ABA’B’Oxydxdy由变形连续规律得到的上述6个方程称为弹性力学的几何方程，也叫柯西(Gauchy)方程2019/11/1215(4-1)B平衡方程2019/11/12162019/11/1217所以有：2019/11/1218(4-4)如果在讨论的问题中可忽略体积力，则以上三式变为：这组方程称为平衡方程，也叫纳维方程！若物体在无应力状态下应变为零或当应变为零时应力也为零，则在直角坐标系下，表示应变与应力的一般关系式为：2019/11/1219(4-5)式中称为柔量分量。如果将上式求逆，则：C应力-应变关系（广义胡克定律）2019/11/1220称为模量分量对于正交各向异性材料，若材料主方向改为1,2,3坐标，则应力-应变关系为：(4-7)(4-6)2019/11/1221应变：应力：位移：根据弹性力学的三大规律，可得到15个方程。15个未知数：理论上，15个方程完全可以求得15个未知数的解析解，但在实际情况中，很难列出任何一个构件在外力作用下的15个弹性力学方程，因此，为了得到应力、应变和位移的情况，还需加上边界条件。应力边界条件：构件形状规则，外力已知位移边界条件：构件有固定点混合边界条件：包含以上两种4.0.5弹性力学的边界条件2019/11/1222§4.1复合材料结构分析的基本问题4.1.1各向异性体弹性力学基本方程4.1.2弹性力学问题的一般解法4.1.3复合材料受拉直杆分析4.1.4纯剪和纯弯载荷作用下的复合材料构件分析应力在连续体内的分布是连续的，按照台劳级数展开，在临近面上的应力分量为：CBFG面4.1.1各向异性体弹性力学基本方程2019/11/1224前几章分析了单层及层合板的强度与刚度，它反映了复合材料和传统材料基本力学性能的差异，给出了表征复合材料力学行为的基本关系，这一部分一般称为复合材料力学。4.1复合材料结构分析的基本问题2019/11/1225复合材料结构分析是对由复合材料构成的具体构件，以基本力学性能为基础，考虑构件所处的边界条件，计算其应力与应变的分布规律。这些内容称为复合材料结构力学。复合材料结构分析就是分析组成复合材料结构的基本元件在载荷作用下的力学响应，为结构设计提供可靠的依据。2019/11/12264.1.1各向异性体弹性力学基本方程2019/11/12272019/11/1228(4-1)(4-2)(4-3)以及式(4-2)和(4-3)中的6个方程是直接由位移-应变关系导出的，这种方程称为连续性方程，也叫变形协调条件。B平衡方程2019/11/1229应力在连续体内的分布是连续的，按照台劳级数展开，在临近面上的应力分量为：CBFG面4.1.1各向异性体弹性力学基本方程2019/11/12302019/11/1231所以有：2019/11/1232(4-4)如果在讨论的问题中可忽略体积力，则以上三式变为：这组方程称为平衡方程，也叫纳维方程！C应力-应变关系（广义胡克定律）若物体在无应力状态下应变为零或当应变为零时应力也为零，则在直角坐标系下，表示应变与应力的一般关系式为：2019/11/1233(4-5)式中称为柔量分量。如果将上式求逆，则：2019/11/1234称为模量分量对于正交各向异性材料，若材料主方向改为1,2,3坐标，则应力-应变关系为：(4-7)(4-6)联立15个方程，求解15个未知数，有以下三种方法：位移法：消去其它未知数，仅保留位移分量混合法：保留位移和应力两类函数应力法：消去其它未知数，仅保留应力分量在解弹性力学问题时，根据求解方法和边界条件不同，可归纳为三类基本问题：第一类基本问题，是在弹性体的全部表面上都给定了外力，要求确定弹性体内部及表面任意点上的应力和位移。边界条件为：4.1.2弹性力学问题的一般解法2019/11/1235第二类基本问题：是在弹性体的全部表面上都给定了位移，要求确定弹性体的内部及表面任意点上的应力和位移。这类问题的边界条件为：4.1.2弹性力学问题的一般解法2019/11/1236(4-8)(4-9)(*表示已知量)。4.1.2弹性力学问题的一般解法2019/11/1237(4-10)且下面将介绍几种复合材料构件在简单受力状态下的分析方法。所谓简单受力状态，是指在选定的坐标系下，构件内部只有一种应力分量，这种构件也称为一维受力构件。典型的一维受力构件如：①一端固定另一端仅作用轴向拉伸载荷的复合材料杆；②受面内纯剪载荷的复合材料矩形板；③受纯弯载荷作用的复合材料梁等。本节介绍的复合材料受拉直杆是一维受力构件的一种。4.1.3复合材料受拉直杆分析2019/11/1238如右图所示的复合材料杆，一段固定，另一端作用轴向载荷P，分析此载荷作用下杆的变形。取固定端的剖面形心为坐标原点，若杆横截面积为A，则杆上的应力分量为：2019/11/1239lσ0Δlzyxo(4-11)当构件的主轴与坐标轴不重合时，由广义胡克定律可得：(4-12)为求解单向杆受拉的变形问题，根据几何关系式(4-1)并将式(4-12)代入有：2019/11/1240(4-13)(4-14)将式(4-14)代入(4-13)的后三式，得：2019/11/1241(a)(b)(c)于是有：4.1.3复合材料受拉直杆分析2019/11/1242(4-15)将上式积分得：(d)(e)同理，由(c)式也可得：(f)(g)将(d)(f)两式代入(a)中得：2019/11/1243即和(h)(i)即对(h)式积分可得：(j)(k)同理由(i)式可得：(l)(m)式(e)和式(g)是一组恒等式，先将式(j)(k)代入，根据恒等式的同类项相等，则，于是：2019/11/1244(n)(o)将由式(j)~(o)表达的各函数代入式(d)(e)(f)中，则有：(4-16)2019/11/1245(4-17)代入式(4-17)中可得公式中的各常数：(4-18)最后得到各位移分量的公式：2019/11/1246(4-19)由此可见，复合材料受拉杆，当材料的主轴与载荷作用方向(z轴)不重合时，构件的变形是比较复杂的，它不仅轴向伸长而且还伴随有剪切变形。如果材料主轴和坐标轴重合，即，则复合材料杆在拉伸载荷作用下其位移为：相应的应变，剪应变为零。4.1.4纯剪和纯弯载荷作用下的复合材料构件分析2019/11/12472a2bozxy(4-20)A受纯剪载荷的复合材料板积分前三式得：2019/11/1248(a)(b)(c)代入后三式得：(d)(e)(f)按上节处理方法，由式(d)(e)(f)求得待定的函数：(g)(h)(i)将式(g)(h)(i)代入式(a)(b)(c)中，得位移分量为：2019/11/1249(4-21)若板在x=y=z=0处固定，此处u=v=w=0和由此可得和，最后得到纯剪载荷下复合材料板的位移：(4-22)2019/11/1250(4-23)板在剪切变形后，形状和体积都发生的了变化，体积应变为：(4-24)2019/11/1251B受纯弯载荷作用的复合材料梁lzxyMMo2019/11/