概率论与数理统计课件(PPT)

概率论与数理统计教师:崔冉冉河南工业大学理学院教材：《概率论与数理统计》第三版王松桂等编科学出版社参考书：1.《概率论与数理统计》浙江大学盛骤等编高等教育出版社2.《概率论与数理统计》魏振军编中国统计出版社序言概率论是研究什么的？人们所观察到的现象大体上分成两类：1.确定性现象或必然现象事前可以预知结果的：即在某些确定的条件满足时，某一确定的现象必然会发生，或根据它过去的状态，完全可以预知其将来的发展状态。2.偶然性现象或随机现象事前不能预知结果：即在相同的条件下重复进行试验时，每次所得到的结果未必相同，或即使知道它过去的状态，也不能肯定它将来的状态。随机现象特点：不确定性与统计规律性概率论——研究和揭示随机现象的统计规律性的科学研究方式：从数量的侧面研究随机现象统计规律（通过数据去研究）“八月十五云遮月，正月十五雪打灯”概率论起源概率统计是一门古老的学科，它起源于十七世纪资本主义上升的初期。物质生活的丰富，人们开始重视精神娱乐。在桥牌活动中，经常要判断某种花色在对方手中的分配；在掷色子中，要判断哪点出现的次数最多。概率论与数理统计正是从研究这类问题开始的。尽管发展较早，但形成一门严谨的学科是在本世纪三十年代，前苏联数学家柯尔莫奇洛夫给出了概率的公理化定义后，才得以迅速发展。随着计算机的问世，六十年代后，形成了许多新的统计分支：时间序列分析，统计推断等等。目前它几乎遍及所有的学科技术领域。第一章随机事件1.1基本概念1.1.1随机试验与事件1.1.2随机事件及其运算1.1.1随机试验与事件随机试验（试验）的特点：1.可在相同条件下重复进行；2.每次试验之前无法确定具体是哪种结果出现，但能确定所有的可能结果。试验常用“E”表示E1:掷一颗骰子，观察所掷的点数是几;E2：工商管理部门抽查产品是否合格；E3:观察某城市某个月内交通事故发生的次数;E4：已知物体长度在a和b之间，测量其长度；E5:对某只灯泡做试验,观察其使用寿命;E6:对某只灯泡做试验,观察其使用寿命是否小于200小时。（随机）试验的例子样本空间：试验的所有可能结果所组成的集合称为样本空间。记为：样本点:试验的单个结果或样本空间的单元素称为样本点。E1:掷一颗骰子，观察所掷的点数是几;E2：工商管理部门抽查产品是否合格；{合格品，不合格品}E3:观察某市某月内交通事故发生的次数;E4：物体长度在a和b之间，测量其长度；E5:对某只灯泡做试验,观察其使用寿命;E6:对某只灯泡做试验,观察其使用寿命是否小于200小时。{小于200小时，不小于200小时}（随机）试验的例子1{1,2,...,6}23{0,1,2,...}4{;}lalb5{;0}tt6随机事件：样本空间的任意一个子集称为随机事件,简称“事件”.记作A、B、C。任何事件均可表示为样本空间的某个子集.基本事件：一个随机事件只含有一个试验结果。事件A发生当且仅当试验的结果是子集A中的元素。两个特殊事件:1.必然事件：样本空间包含了所有的样本点，且是自身的一个子集，在每次试验中总是发生。2.不可能事件：不包含任何的样本点，也是样本空间的一个子集，在每次试验中总不发生。注意：样本点和基本事件的区别。解：为基本事件例1.1.1掷一颗色子，用表示所掷点数。B表示“偶数点”，C表示“奇数点”，D表示“四点或四点以上”。写出样本空间，指出哪些是基本事件，表示B，C，D。{},1,...,6iAii{1,2,...,6}{},1,...,6iAii{2,4,6}B{1,3,5}C{4,5,6}D1.1.2、事件的关系与运算既然事件是一个集合，因此有关事件间的关系、运算及运算规则也就按集合间的关系、运算及运算规则来处理。是试验E的样本空间，A，B，C是事件1.包含关系：“事件A发生必有事件B发生”记为AB，称A包含于B。A＝BAB且BA.2.和事件：“事件A与事件B至少有一个发生”，记作AB推广：n个事件A1,A2,…,An至少有一个发生，记作iniA13.积事件:事件A与事件B同时发生，记作AB＝ABA和B的公共部分推广：n个事件A1,A2,…,An同时发生，记作A1A2…An互斥的事件（也称互不相容事件）：即事件A与事件B不可能同时发生。AB＝4.差事件：A－B称为A与B的差事件,表示事件A发生而事件B不发生A去除A和B的公共部分互逆的事件：AB＝,且AB＝BABAAAB易见的对立事件，称为记作;注意：对立一定互斥，互斥不一定对立事件的运算1、交换律：AB＝BA，AB＝BA2、结合律：(AB)C＝A(BC)，(AB)C＝A(BC)3、分配律：(AB)C＝(AC)(BC)，(AB)C＝(AC)(BC)4、对偶(DeMorgan)律：.,,kkkkkkkkAAAABAABBABA可推广例：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C的运算关系表示下列事件：::::::::::::654321“三人均未命中目标”“三人均命中目标””“最多有一人命中目标“恰有两人命中目标”“恰有一人命中目标””“至少有一人命中目标AAAAAACBACBACBACBACBABCACABBACACBABCCBA某人向目标射击，以A表示事件“命中目标”，P（A）=？考虑事件在一次试验中发生可能性的大小的数字度量—概率。1.2事件的概率定义1.2.1在相同条件下，事件A在n次重复试验中发生m次，则称比值m/n称为事件A在n次试验中发生的频率，记为fn(A).1.2.1事件的频率频率的性质：(1)非负性；0fn(A)1；(2)规范性：fn()＝1；fn()=0(3)可加性：若AB＝，则fn(AB)＝fn(A)＋fn(B).注意：称为“n次试验发生的频率”，是因为随着n的取值不同，fn(A)的值有可能不同。历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时，出现正反面的机会均等。实验者nnHfn(H)DeMorgan204810610.5181Buffon404020480.5069K.Pearson1200059810.4984K.Pearson24000120120.5005从表中不难发现：事件A在n次试验中发生的频率具有随机波动性。当n较小时，波动的幅度较大；当n较大时，波动的幅度较大；最后随着n的逐渐增大，频率fn(A)逐渐稳定于固定值0.5.实践证明：当试验次数n增大时，fn(A)逐渐趋向一个稳定值。可将此稳定值记作P(A)，作为事件A的概率。但是在一定条件下做重复试验，其结果可能不同；并且没有必要，不可能对每个事件都做大量的试验，从中得到频率的稳定值。我们从频率的性质出发，给出度量事件发生的可能性大小的量—概率的定义及性质。1.2.2.概率的公理化定义定义1.2.2若对随机试验E所对应的样本空间中的每一事件A，定义一个实数P(A)与之对应，集合函数P(A)满足条件：(1)非负性：P(A)≥0；(2)规范性：P()＝1；(3)可列可加性：若事件A1，A2，…,两两互斥，即AiAj＝，(ij),i,j＝1,2,…,有P(A1A2…)＝P(A1)＋P(A2)+….则称P(A)为事件A的概率。概率的性质：(1)P(Φ)=0；(2)有限可加性：设事件A1，A2，…An两两斥，即AiAj＝，(ij),i,j＝1,2,…,n,则有P(A1A2…An)＝P(A1)＋P(A2)+…P(An);(3)互补性：P(A)＝1－P(A);(4)单调不减性：若事件，则P(B-A)=P(B)-P(A)，P(B)≥P(A)注意：一般情况下，P(B-A)=P(B)-P(AB)AB(5)加法公式：对任意两事件A、B，有P(AB)＝P(A)＋P(B)－P(AB)该公式可推广到任意n个事件A1，A2，…，An的情形；(6)可分性：对任意两事件A、B，有P(A)＝P()＋P(AB).AB某市有甲,乙,丙三种报纸,订每种报纸的人数分别占全体市民人数的30%,其中有10%的人同时定甲,乙两种报纸.没有人同时订甲乙或乙丙报纸.求从该市任选一人,他至少订有一种报纸的概率.%80000%103%30)()()()()()()()(ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAP解:设A,B,C分别表示选到的人订了甲,乙,丙报例在110这10个自然数中任取一数，求（1）取到的数能被2或3整除的概率，（2）取到的数即不能被2也不能被3整除的概率，（3）取到的数能被2整除而不能被3整除的概率。解:设A={取到的数能被2整除};B={取到的数能被3整除}21)(AP103)(BP故)()()()()1(ABPBPAPBAP101)(ABP107)(1)()2(BAPBAP103)()()()3(ABPAPBAP52若某试验E满足：1.有限性：样本空间2.等可能性：则称E为古典概型也叫等可能概型。1.3古典概型},...,,{21n})({...})({})({21nPPP古典概型中的概率的求法:试验E的结果有有限种：样本点是有限个:1，…,nΩ={1}∪{2}∪…∪{n}{i}是基本事件，且各自发生的概率相等。于是，有1=P(Ω)=P({1}∪{2}∪…∪{n})=P({1})+P({2})+…+P({n})=nP({i}),i=1,2,…,n。从而，P({i})=1/n，i=1,2,…,n.因此，若事件A包含k个基本事件，即},{}{}{21kiiiA则.)()(1基本事件总数中包含基本事件数AnkPAPkrir例1:掷色子两次，求两次之和为7的概率。解：={(1,1),(1,2),……,(1,6)(2,1),…,……,(6,6)}A={(1,6),(6,1),(2,5)(5,2),(3,4),(4,3)}61()366kPAn古典概型的两类基本问题乘法公式：设完成一件事需分两步，第一步有n1种方法,第二步有n2种方法，则完成这件事共有n1n2种方法。（也可推广到分若干步）加法公式：设完成一件事可有两种途径，第一种途径有n1种方法，第二种途径有n2种方法，则完成这件事共有n1+n2种方法。（也可推广到若干途径）这两公式的思想贯穿着整个概率问题的求解。复习：排列与组合的基本概念1、抽取问题例2：有外观相同的三极管6只，按电流放大系数分类，4只属甲类，2只属乙类。求A={抽到两只甲类三极管}的概率，按下列三种方案抽取三极管两只：(1).随机抽两只；(2).无放回抽两只；(3).有放回抽两只。解：222464262(1),,()5CknCkCPAnC432(2)65,43,()655knkPAn444(3)66,44,()669knkPAn例3：有外观相同的三极管6只，按电流放大系数分类，4只属甲类，2只属乙类。不放回抽两只。求下列事件的概率：B={抽到两只同类},C={至少抽到一只甲类},D={抽到两只不同类}。解：B={甲甲}∪{乙乙}（两种情况互斥）C={乙乙}的补事件，D是B的补事件，21114()11651515PC例4有外观相同的三极管6只，按电流放大系数分类，4只属甲类，2只属乙类。有放回抽5次，求E={恰有2次抽到甲}的概率。解：,65n2224425Ck3225)62()64()(CnkEP延伸到一般：设N件产品中有K件甲类（次品），N-K件乙类（正品）,KN。有放回抽检产品n次（n和N无关）。求事件A={所取产品中恰有k件甲类（次品）}的概率。例1.3.7),,2,1,0()(nkNKNNKCAPknkkn在实际中，产品的检验、疾病的抽查、农作物的选种等问题均可化为随机抽球问题。我们选