第1章-随机过程的基本概念习题答案

1第一章随机过程的基本概念1．设随机过程ttXtX,cos)(0，其中0是正常数，而X是标准正态变量。试求X（t）的一维概率分布解：∵当0cos0t即)21(0kt即)21(10kt时10)(txp若0cos0t即)21(10kt时xtXPxxXPtxF0cos)(),(当0cos0t时detxXPtxFtx02cos02021cos),(此时textxFtxftx0cos2cos121,),(022若0cos0t时txxPtxXPtxF00cos1cos),(detx02cos02211同理有tetxftx0cos2cos121),(022综上当：0cos0t即)21(10kt时txetxf022cos20|tcos|121),(2．利用投掷一枚硬币的试验，定义随机过程为2,2,cos)(出现反面出现正面tttX假定“出现正面”和“出现反面”的概率各为21。试确定)(tX的一维分布函数)21,(xF和)1,(xF，以及二维分布函数)1,21;,(21xxF解：（1）先求)21,(xF显然出现反面出现正面出现反面出现正面10,212,2cos21X随机变量21X的可能取值只有0，1两种可能，于是21021XP21121XP所以1110210021,xxxxF再求F（x,1）显然出现反面出现正面出现反面出现正面212cos(1)X212)1(-1(1)XpXp所以2121-21-10,1)(xxxxF(2)计算)1,21;,(21xxF出现反面出现正面出现反面出现正面21)1(,10)21(XX于是32,1121,12,10211,000)1(;211,21;,21212121212121xxxxxxxxxxxXxXpxxFx或或3．设随机过程ttX,共有三条样本曲线tXtXXcos)t,(,sin)t,(,1)t,(321且,31)p()p()p(321试求随机过程tX数学期望EX(t)和相关函数Rx(t1,t2)。解：数学期望)cos(sin313131cos31sin311)()(tttttEXtmX)cossin1(31tt相关函数21212121coscos3131sinsin311)]()([),(tttttXtXFttRX)]cos(1[3121tt4．设随机过程)0()(tetXXt其中X是具有分布密度f(x)的随机变量。试求X(t)的一维分布密度。解：对于任意t0因为))((),(xtxPtxFX∴当x0时txXPxXtPxePtxFXtXlnln),(txdftxXpln)(1ln1∴xttxftxFxtxfXX1ln),(),(4当0x时0),(xeptxFXtX∴随机过程)(tX的一维分布密度为txfxttxfXln1),(5．在题4中，假定随机变量X具有在区间（0，T）中的均匀分布，试求随机过程的数字期望)(tEX和自相关函数),(21ttRx解：∵随机变量X的概率密度函数为其它0),0(1)(TxTxfX因此：TTTxtxtTxtXxtetTdxeTdxTedxxfetEX0000)1(111)()(0t11tTeTt)(21212121)()(),(ttXXtXtXeEeeEtXtXEttRTttTXttxettTdxxfe0)(21)(21211)(1)(6．设随机过程ttX),(在每一时刻t的状态只能取0或1的数值，而在不同时刻的状态是相互独立的，且对于作意固定的t有ptXP1)(ptXP10)(其中0p1。试求X(t)的一维和二维分布，并求x(t)的数学期望和自相关函数解：一维分布ptxP1)(ptxP10)(二维分布：2211)(,1)(ptXtXP)1(0)(,1)(21pptXtXppptXtXp)1(1)(,0)(21221)1(0)(,0)(ptXtXpX(t)的数字期望5ptXptXptEXtmX0)(01)(1)()(随机过程X(t)的自相关函数为1)(,1)(1)()(),(212121tXtXptXtXEttRX101tXP且0)(2tX；0)(1tX且1)(2tX；0)(1tX且0)(2tX2211)(1)(ptXPtXP7．设1,nXn是独立同分布的随机序列，其中jX的分布列为Xj11J=1，2，…P2121定义njjnXY1。试对随机序列1,nYn求（1）Y1的概率分布列；（2）Y2的概率分布列；（3）Yn的数字期望；（4）Yn的相关函数RY（n,m）。解：（1）∵Y1=X1故概率分布则为21121111YPYP（2）∵212XXY2Y可能的取值为0或2，-21,11,1002121212XXPXXPXXPYP=21414111112121XPXPXPXP411,12221212XXPXXPYP411,12221212XXPXXPYP（3）njjnXY1的数字期望为njnjjnjjnEXXEEY111021)1(211（4）自样关函数mkkmjjYXXEnYmYEnmR11)()(),(当m≥n时nkkmnjjnjjnkkmnjjnjjYXXXEXXXEnmR1121111),(6nkkmnjjnjjXEXEXE1121nnnnnmnjjnDYEYDYEYYEXEEY2212)(∵njjnjjnDXXDDY11（jX相互独立）njjjEXXE122)(∵021)1(211jEX1)(2jXE∴njnnDY101∴当m≥n时nDYnmRnY),(8．设随机过程ttX),(的数字期望为)(tmX协方差为),(21ttCX，而)(t是一个函数。试求随机过程)()()(ttXtY的数字期望和协方差函数。解：随机过程)(tY的数字期望为)()()()()()()()()(tYttmtEtEXttXEtEYtmXY的协方差函数为)()()()(),(212121tYEtYEtYtYEttCY而)()()()()()(221121ttXttXEtYtYE)()()()()()()()(21211221tttXttXttXtXE)()()()()()()()(21211221tttEXttEXttXtXE)()()()()()(221121ttEXttEXtYEtYE)()()()()()()()(21211221tttEXttEXttXEtXE∴),()()()()(),(21212121ttCtEXtEXtXtXEttCovXY7思考：有没有更为简单的方法呢？9．给定随机过程ttX),(，对于任意一个数x，定义另一个随机过程xtXxtXtY)(0)(,1)(试证：)(tY的数字期望和相关函数分别为随机过程)(tX的一维和二维分布函数。证明：设)(tX的一维和二维概率密度分加别为),(1txf和),;,(21212ttxxf则xxYdttxftydxtxftydxtxftytYEtE),()(),()(),()()()(111),(),(11txFdttxfx2121222212121),;,())()((),(dxdxttxxfyytYtYEttRY12),,,(),;,(21212121212xxttxxFdxdxttxxf若考虑到对任意的)(,tYTt是离散型随机变量，则有：0)(01)(1)()(tYPtYPtYEtEY),()(1txFxtXP1)(,1)(11)()(),(212121tYtYPtYtYEttRY0)(,1)(0121tYtYP1)(,0)(0121tYtYP0)(,0)(0021tYtYP),;,()(,)(212122211ttxxFxtXxtXP10．给定一个随机过程)(tX和常数a，试用)(tX的相关函数表示随机过程)()()(tXatXtY的相关函数。解：根据定义)()()()()()(),(22112121tXatXtXatXEtYtYEttRY)()()()()()()()(21212121tXtXatXtXtXatXatXatXE8),(),(),(),(21212121ttRattRtatRatatRXXXX11．设随机过程ttAtX),cos()(0，其中0是正常数，A和Ф是相互独立的随机变量，且A服从在区间[0，1]上的均匀分布，而服从在区间[0，2π]上的均匀分布，试求)(tX的数字期望和相关函数。解：dadtatEXtmX10200211)cos()()(0)sin(2121)cos(2120102000tdtada)cos()cos()()(),(201022121ttAEtXtXEttRX102020102211)cos()cos(dadtta10202010221)cos()cos(dttdaa2021021021)(cos2)(cos61dtttt)(cos6121)(cos06121020210ttdtt12．设随机过程tttX,cos)(，其中在区间21,2100中均匀分布的随机变量。试求)(tX的数字期望和协方差函数。解：∵是区间21,2100上均匀分布的随机变量，于是的概率密度为021,211)(00其它xxf因此)(tX的数字期望为：212100cos1][cos)()(