三角形五心及其性质延伸

1三角形五心及其性质延伸1.内心：三角形三条内角平分线的交点,也是三角形内切圆的圆心。角平分线性质:到角两边距离相等.内心性质：到三角形三边距离相等。延伸：①内角平分线定理如图，AD为△ABC中BAC的平分线，则有(=)ABBDACDC上左下左上右下右证明过程如下：作BE//AC交其延长线于E,则EDAC.∵BADDAC,∴EBAD,ABBE=c.又∵BE//AC,易证△ADC∽△EDB,∴BD=DCABEBACAC,得证。②外角平分线定理如图，AD为△ABC的外角平分线，交BC延长线于D，则有()ABBDACDC同上证明过程如下：作CE//AB交AD于E,则AECEAF.∵EAFEAC,∴AECEAC,ACAE.又∵CE//AB,易证△ADB∽△EDC,∴BD=DCABABACCE,得证。③三角形内角平分线长公式ABDCEcbcABCDEF2如图，AD为△ABC中BAC的平分线，则有2bccos2cos2211b+c+bcAAAD（或）证明过程如下：作BE//AC交其延长线于E,BFAE交其于F。由前文的内角平分线定理可知，△ADC∽△EDB,∴bcADACDEBE.又+DE=AEAD,即bb+cADAE.而△ABE为等腰三角形,BFAE,∴22sin=2csin2AAEAFABBAF,∴2bccos2cos2211b+c+bcAAAD（或）.④内心到三边距离r(三角形内切圆半径)设三角形面积为S，则有2r=a+b+cS（即面积的2倍除以周长）证明过程如下：连接OA,OB,OC.∵相切，∴OFAB，即S△AOB=11cr22ABOF，同理S△AOC=1br2，S△BOC=1ar2.又∵S=S△AOB+S△AOC+S△BOC,即S=1(a+b+c)r2,∴2r=a+b+cS.cbcAFBDCE.OAFBDCE32.重心:三角形三条中线交点中线性质:将三角形面积等分成两部分.重心性质:分三角形的中线两段长比例为2:1(长:短)如图:AD,BE,CF为△ABC三条中线，G为其重心，则有:::2:1AGGCBGGECGGF证明过程如下：作BH//FC交AD延长线于H,易证△GDC≌△HDB，∴,2GDDHGHGD又∵BH//FG，F为AB中点，∴G也为AH中点，即2AGGHGD，∴:2:1AGGC，其他同证.延伸:三角形中线长公式如图,AD为△ABC的中线,则有221b+c+2bccos2ADA证明过程如下:作BE//AC交AD延长线于E,易证△ADC≌△EDB，∴1,=2ADDEADAE即，∵BE//AC，∴ABFA。作AFEB交其延长线于F。又AB=c，∴BF=ABcosABF=coscA，AF=sincA，故EF=coscAb。∴12ADAE=222211(cos)(sin)b+c+2bccos22cAbcAA3.外心：三角形三边垂直平分线的交点,三角形外接圆圆心。AGFECBDHAFBEDC4垂直平分线性质:到线段两端点距离相等。外心性质：到三角形三个顶点距离相等。内心到三顶点距离R(三角形外接圆半径)R=2sincC(某边除以它对角正弦的2倍)证明过程于下:连接AO并延长交圆O于D,则AD为圆直径,AD=2R.又90ABD(直径所对的圆周角是90),AB=c,ADBC(同弧AB所对的圆周角相等),∴AD=sinABADB,即2RsincC,R=2sincC.延伸①:正弦定理由于R=2sincC,同理易证2sin2sin2sincbaRCBA,变形得到正弦定理:2sinsinsinabcRABC(每边除以它所对角的正弦为2R)延伸②:余弦定理2222cosabcbcA（222cos2bcaAbc）证明过程如下：作CDAB交其于D，∴coscosADACAbA，BD=coscbA，sinCDbA，又222BCBDCD，即222(cos)(sin)acbAbA=22222222coscossin2coscbcAbAbAbcbcA，其他边角也同求4.旁心：三角形一个内角平分线与另外两个外角的平分线的交点。.OABDCABCD5旁心性质：三角形的四心（内心、重心、垂心、外心）只有一个，但旁心有三个，旁心到三角形三边所在直线距离相等。证明过程如下：如图，P1、P2、P3为△ABC三个旁心。以P1为例，P1在2BAM平分线上，∴P1到AB、AM2距离相等，即P1到AB、AC所在直线M1N1、M2N2距离相等，同理，P1在3ABM平分线上，∴P1到AB、BM3距离相等，即P1到AB、BC所在直线M1N1、M3N3距离相等,故得到旁心到三边所在直线距离相等。补充：三角形面积公式①12Sah（12底高）②111sinsinsin222SabCacBbcA（12某角的正弦值乘以它两边长度的积）证明过程如下：作ADBC，则1·=2SBCAD1·sin2aACC1·sin2abC，得证，其他边角同理可求。P2ACP3P1BM2M3N1N3N21MABDC