ARCH自回归条件异方差模型解析

自回归条件异方差模型资产收益率的波动性是金融经济学家们长期关注的一个焦点问题。资产选择理论试图通过用方差或协方差关系描述收益率的波动性来寻找最优资产组合，CAPM模型和其他资产定价理论说明投资者怎样从承担与自己的资产组合存在某种协方差联系的系统性风险中获得补偿。然而，传统的金融计量学模型对风险或收益波动性特征的理解却是简单而粗糙的，一般把方差视为是随时间的变化而独立、同分布的常量。20世纪60年代以来，大量关于金融市场价格行为的经验研究结果证实：方差是随时间的变化而变化的。Mandelbrot(1963)首先发现了金融资产收益率的波动存在时间序列上的“簇聚(clustering)现象”，即幅度较大的波动会相对集中在某些时段，而幅度较小的波动会集中在另一些时段。这种金融变量随市场波动的特点是金融市场中常见的、规律性的现象。罗伯特·恩格尔于1942年出生于美国纽约州的中部城市锡拉丘兹，目前是纽约大学财经系的教授。瑞典皇家科学院表示，他之所以得奖是因为他发明了一种计量方法，能够预测并分析随时间变化的股票价格、外汇汇率以及利率的波动。由于传统的计量经济学模式无法解释金融市场价格的波动规律，恩格尔在1982年提出一种“自回归条件异方差模型”（简记ARCH模型）。这个模型被认为是一项重大突破，经过近二十年的发展，已经被广泛应用于经济与金融领域的时间序列分析。恩格尔的发明使得市场分析师以及投资人能够预测股票波动并评估风险。瑞典皇家科学院称，他“不仅是研究人员学习的光辉典范，而且也是金融分析家的楷模，他的ARCH模型不仅为研究者，而且为市场分析师们在资产定价和投资组合风险评估方面提供了不可或缺的工具。”第一节自回归条件异方差模型在各种条件异方差模型中,Engle于1982年提出的自回归条件异方差（ARCH:Auto-regressiveConditionalHeteroskedastic）模型是最基础的。一、ARCH模型对于通常的回归模型如果随机扰动项的平方服从AR（q）过程，即）（1'tttxy）（2221102tqtqtt其中独立同分布，并满足则称模型（2）为自回归条件异方差模型，简记为ARCH模型。称序列服从q阶的ARCH过程，记作。（1）和（2）构成的模型称为回归—ARCH模型。ARCH模型通常用于对主体模型的随机扰动项进行建模，以更充分地提取残差中的信息，使最终的模型残差项成为白噪声。所以，对于AR（p），模型如果，则序列可以用模型描述。其他情况类推。t),0(,0)(22IIDDEtt）（，t)(~qARCHtttptpttyyy11)(~qARCHtty)()(qARCHpAR为方便研究并与其他拓展形式相联系，ARCH（q）模型又可表示为：这里为到t-1时刻过去信息的集合。利用过去的方差对条件方差作自回归模型：)|var(1tttFh1tFqiit2,1,2th22110qtqtth210itqii)3(其中且：(保证ARCH过程平稳）。在ARCH模型中，的条件方差是滞后误差项的增函数。因此，较大（小）的误差项一般后面紧跟着较大（小）的误差，回归阶数q决定了冲击的影响存留于后续误差项方差中的时间长度，q越大，波动持续的时间也就越长。),2,1(,0,00qiit11qii二、ARCH效应检验序列是否存在ARCH效应，最常用的检验方法是拉格朗日乘数法，即LM检验。若模型随机扰动项，则可以建立辅助回归方程：检验序列是否存在ARCH效应，即检验上式中所有回归系数是否同时为0。若所有回归系数同时为0的概率较大，则序列不存在ARCH效应；若若所有回归系数同时为0的概率很小，或至少有一个系数显著不为0，则序列存在ARCH效应。)(~qARCHt22110qtqtth)4(检验的原假设和备择假设为：检验统计量其中，n是计算辅助回归（4）时的样本数据个数，是辅助回归（4）的可决系数（采用最小二乘估计）。0:210qH)1(,0:1qiHi)(~22qnRLM2R给定显著性水平和自由度，如果，则拒绝，认为序列存在ARCH效应；如果，则不能拒绝，说明序列不存在ARCH效应。在Eviews上的操作：首先用LS估计模型，然后对残差序列进行ARCH检验。在方程结果的输出窗口选择View/ResidualTests/ARCHLMTest,屏幕提示用户指定检验阶数即q值。输出结果第一行F统计量不是精确分布，仅供参考。第二行是LM统计量的值以及检验的相伴概率。q)(2qLM0H)(2qLM0H2三、ARCH模型的参数估计ARCH模型的参数估计一般采用极大似然方法估计。设样本量是n，回归—ARCH（q）模型参数估计的对数似然函数为：使函数达到最大值的参数和值，就是参数的极大似然估计。nttttnttnttyhhnxyL1121ln)/(21)ln(21)2ln(21),|,(lnARCH模型在EVIEWS中的操作例：对自回归模型的残差序列建立ARCH模型。选择Quick/EstimateEquation，在方程的定义对话框中打开Method下拉菜单，点击ARCH项进入条件异方差模型定义对话框。在窗口上方的MeanEquationSpecification框中输入主体模型，如yy(-1)y(-2)，在ARCHSpecification下定义对残差序列建立ARCH模型的阶数，并将GARCH后的1改为0，对话框中其他选项采用默认值。在模型的输出结果中，由于模型包含因变量的滞后项，所以DW检验失效。第二节广义自回归条件异方差模型当用ARCH模型描述某些时间序列，阶数q需取一个很大的值时，可以采用Bollerslev（1986）提出的广义（Generalized)自回归条件异方差模型即GARCH模型。一、GARCH模型的基本形式与ARCH模型一样，GARCH模型通常也用于对回归或自回归模型的随机扰动项进行建模。若（3）式为下面形式：则称序列服从GARCH（p,q）过程。实际应用中，GARCH模型中的阶数q值远比ARCH模型中的q值要小。一般地，GARCH（1，1）模型就能够描述大量的金融时间序列数据。tptptqtqtthhh1122110pjtjtjqiitih1120二、模型的建立与估计对某个模型的随机扰动项是否存在GARCH效应的判断，可以采用检验ARCH效应的LM检验。如果LM检验的辅助回归方程的q值很大时，检验依然显著，即残差序列存在高阶ARCH（q）效应，这时应该考虑采用GARCH模型。GARCH模型的参数估计仍然采用极大似然法。在EVIEWS中建立GARCH模型：选择Quick/EstimateEquation，进入条件异方差模型定义对话框，在MeanEquationSpecification框中输入主体方程，在OrderARCH和GARCH后面分别输入q和p的相应数值。第三节其它类型的条件异方差模型一、ARCH-M模型ARCH-M（ARCH-in-mean）模型是在（1）式右边增加一项，表达式为：其中的结构与（3）相同，即：则称模型为ARCH-M（q）模型。thtttthxy'th210itqiith假如模型旨在解释一项金融资产（如股票或债券）的回报率，那么增加的原因是每个投资者都期望资产回报率是与风险度紧密联系的，而条件方差代表了期望风险的大小。Eviews中建立(G)ARCH-M模型的方法与一般GARCH(p,q)的建模过程相同。只需要将条件方差或标准差纳入回归或其他形式的方程。操作时，在对话框右上角的ARCH-Mterm框中进行相应的选择。thth二、非对称的ARCH模型对于股票市场的研究发现，股价下跌和上涨的幅度相同时，股票价格下跌过程往往会伴随着更剧烈的波动性。为解释这种现象，可以引入非对称的ARCH模型。1、TARCH模型TARCH（ThresholdARCH）模型是由Zakoian等(1993)提出，它具有如下形式的条件方差其中是一个虚拟变量jtqipjjttitithdh1112120td由于引入，股价上涨信息（）和下跌信息（）对条件方差的作用效果不同。当时，说明信息作用是非对称的，而当0时，负的随机冲击较正的随机冲击对波动将会有更大的影响。在Eviews中估计TARCH模型时，在ARCHSpecification框中点选TARCH项即可。输出结果中的项代表杠杆效应系数的估计值。10td0t0ttd0t0t0）（1)0(*ARCHRESID2、EGARCH模型EGARCH模型，即指数（Exponential)GARCH模型，由Nelson在1991年提出。模型的条件方差表达式为：模型中条件方差采用了自然对数的形式，意味着非负且随机冲击对波动的影响是指数型的。若，说明信息作用非对称。当时,负的随机冲击对波动将会有更大的影响。qiititiititijtpjjthhhh110)log()log(th00使用EVIEWS建立EGARCH模型时，同TARCH模型类似，只需在ARCHSpecification框中点选EGARCH即可。输出结果中，RES/SQR[GARCH]（i）表示杠杆系数的估计值|RES|/SQR[GARCH]（i）表示αi的估计值，EGARCH（j）代表的估计值，i和j一般取值都是1。iij