高中数学-公式-柯西不等式

第一课时3.1二维形式的柯西不等式（一）2.练习：已知a、b、c、d为实数，求证22222()()()abcdacbd①提出定理1：若a、b、c、d为实数，则22222()()()abcdacbd.证法一：（比较法）22222()()()abcdacbd=….=2()0adbc证法二：（综合法）222222222222()()abcdacadbcbd222()()()acbdadbcacbd.（要点：展开→配方）证法三：（向量法）设向量(,)mab，(,)ncd，则22||mab，22||ncd.∵mnacbd，且||||cos,mnmnmn，则||||||mnmn.∴…..证法四：（函数法）设22222()()2()fxabxacbdxcd，则22()()()fxaxcbxd≥0恒成立.∴22222[2()]4()()acbdabcd≤0，即…..③二维形式的柯西不等式的一些变式：2222||abcdacbd或2222||||abcdacbd或2222abcdacbd.④提出定理2：设,是两个向量，则||||||.即柯西不等式的向量形式（由向量法提出）→讨论：上面时候等号成立？（是零向量，或者,共线）⑤练习：已知a、b、c、d为实数，求证222222()()abcdacbd.证法：（分析法）平方→应用柯西不等式→讨论：其几何意义？（构造三角形）2.教学三角不等式：①出示定理3：设1122,,,xyxyR，则22222211221212()()xyxyxxyy.分析其几何意义→如何利用柯西不等式证明→变式：若112233,,,,,xyxyxyR，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？3.小结：二维柯西不等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式（两点、三点）第二课时3.1二维形式的柯西不等式（二）教学过程：22222()()()abcdacbd；22222211221212()()xyxyxxyy3.如何利用二维柯西不等式求函数12yxx的最大值?要点：利用变式2222||acbdabcd.二、讲授新课：1.教学最大（小）值：①出示例1：求函数31102yxx的最大值？分析：如何变形？→构造柯西不等式的形式→板演→变式：31102yxx→推广：,(,,,,,)yabxcdefxabcdefR②练习：已知321xy，求22xy的最小值.解答要点：（凑配法）2222222111()(32)(32)131313xyxyxy.2.教学不等式的证明：①出示例2：若,xyR，2xy，求证：112xy.分析：如何变形后利用柯西不等式？（注意对比→构造）要点：222211111111()()[()()][()()]22xyxyxyxyxy…讨论：其它证法（利用基本不等式）②练习：已知a、bR，求证：11()()4abab.3.练习：①已知,,,xyabR，且1abxy，则xy的最小值.要点：()()abxyxyxy….→其它证法②若,,xyzR，且1xyz，求222xyz的最小值.（要点：利用三维柯西不等式）变式：若,,xyzR，且1xyz，求xyz的最大值.第三课时3.2一般形式的柯西不等式2.提问：二维形式的柯西不等式？如何将二维形式的柯西不等式拓广到三维？答案：22222()()()abcdacbd；2222222()()()abcdefadbecf二、讲授新课：1.教学一般形式的柯西不等式：①提问：由平面向量的柯西不等式||||||，如果得到空间向量的柯西不等式及代数形式？②猜想：n维向量的坐标？n维向量的柯西不等式及代数形式？结论：设1212,,,,,,,nnaaabbbR，则222222212121122()()()nnnnaaabbbababab讨论：什么时候取等号？（当且仅当1212nnaaabbb时取等号，假设0ib）联想：设1122nnBababab，22212nAaaa，22212nCbbb，则有20BAC，可联想到一些什么？③讨论：如何构造二次函数证明n维形式的柯西不等式？（注意分类）要点：令2222121122)2()nnnfxaaaxabababx（）（22212()nbbb，则2221122()()())0nnfxaxbaxbaxb+（.又222120naaa，从而结合二次函数的图像可知，22221122122()4()nnnabababaaa22212()nbbb≤0即有要证明的结论成立.（注意：分析什么时候等号成立.）④变式：222212121()nnaaaaaan.（讨论如何证明）2.教学柯西不等式的应用：①出示例1：已知321xyz，求222xyz的最小值.分析：如何变形后构造柯西不等式？→板演→变式：②练习：若,,xyzR，且1111xyz，求23yzx的最小值.③出示例2：若abc，求证：cacbba411.要点：21111()()[()()]()(11)4acabbcabbcabbc②提出排序不等式（即排序原理）：设有两个有序实数组:12aa···na;12bb···nb.12,,cc···nc是12,bb，···,nb的任一排列,则有1122abab···+nnab(同序和)1122acac+···+nnac(乱序和)121nnabab+···+1nab(反序和)当且仅当12aa···=na或12bb···=nb时，反序和等于同序和.（要点：理解其思想，记住其形式）2.教学排序不等式的应用：①出示例1：设12,,,naaa是n个互不相同的正整数，求证：32122211112323naaaann.分析：如何构造有序排列？如何运用套用排序不等式？证明过程：设12,,,nbbb是12,,,naaa的一个排列，且12nbbb，则121,2,,nbbbn.又222111123n，由排序不等式，得3322112222222323nnaabbababnn…小结：分析目标，构造有序排列.②练习：已知,,abc为正数，求证：3332222()()()()abcabcbaccab.解答要点：由对称性，假设abc，则222abc，于是222222aabbccacbacb，222222aabbccabbcca，两式相加即得.