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第1讲数的整除特征（一）知识网络数的整除性质主要有：（1）若甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。（2）若两个数能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。（3）几个数相乘，若其中有一个因数能被某一个数整除，那么它们的积也能被这个数整除。（4）若一个数能被两个互质数中的每一个数整除，那么这个数也能被这两个互质数的积整除。（5）若一个数能被两个互质数的积整除，那么这个数也能分别被这两个互质数整除。（6）若一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。（7）个位上是0、2、4、6、8的数都能被2整除。（8）个位上是0或者5的数都能被5整除。（9）若一个整数各位数字之和能被3整除，则这个整数能被3整除。（10）若一个整数末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。（11）若一个整数末尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。（12）若一个整数各位数字之和能被9整除，则这个整数能被9整除。重点·难点数的整除概念、性质及整除特征为解决一些整除问题带来了很大方便，在实际问题中应用广泛。要学好数的整除问题，就必须找到规律，牢记上面的整除性质，不可似是而非。学法指导能被2和5，4和25，8和125整除的数的特征是分别看这个数的末一位、末两位、末三位。我们可以综合推广成一条：末n位数能被（或）整除的数，本身必能被（或）整除；反过来，末n位数不能被（或）整除的数，本身必不能被（或）整除。例如，判断253200、371601能否被16整除，因为，所以只要看各数的末四位数能否被16整除。学习这一讲知识要学会举一反三。经典例题[例1]在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数尽可能小。思路剖析这个六位数分别被3、4、5整除，故它应满足如下三个条件：（1）各位数字和是3的奇数；（2）末两位数组成的两位数是4的倍数；（3）末位数为0或5。按此条件很容易找到这个六位数。解答不妨设补上三个数字后的位数为，由于这个六位数被4、5整除，因为被4整除，所以c不能是5而只能是0，且b只可能是2、4、6、8、0。又因，所以3|（5+6+8+a+b+0），所以：当b=2时，3|（5+6+8+a+2），a可为0、3、6、9；当b=4时，3|（5+6+8+a+4），a可为1、4、7；当b=6时，3|（5+6+8+a+6），a可为2、5、8；当b=8时，3|（5+6+8+a+8），a可为0、3、6、9；当b=0时，3|（5+6+8+a+0），a可为2、5、8。为了使六位数尽可能地小，则a应取0、b应取2、c应取0。故能被3、4、5整除的最小六位数应为568020。[例2]四位数能同时被2、3、5整除，问这个四位数是多少？思路剖析能同时被2、3、5整除，所以满足以下三个条件：个位数字B在0、2、4、6、8之中，各位数字之和是3的倍数，个位数B在0、5之中。第一个和第三个条件都是针对个位数字的，所以先根据第二个条件确定百位数字A。解答要使能同时被2和5整除，个位数字只能是B=0；又要使能被3整除，所以各位数字之和8+A+1+0=9+A应能被3整除。可以看出，当A取0、3、6、9时，各位数字之和9+A可以被3整除。所求的四位数是8010、8310、8610、8910。[例3]有两堆糖果，第一堆有513块，第二堆有633块，哪一堆可以平均分给9个小朋友而无剩余？思路剖析本题实际上是判断513与633能否被9整除。解答513各位上数字之和是5+1+3=9，能被9整除；633各位上数字的和是6+3+3=12，不能被9整除。所以，第一堆可以平均分给9个小朋友而无剩余，第二堆平均分给9个小朋友还剩余3块。[例4]有一个四位数是9的倍数，求A的值。思路剖析四位数是9的倍数，即能被9整除，根据能被9整除的数的特征，这个四位数的各位数字之和一定是9的倍数。解答（1）当和是9时，3+A+A+1=9，即2A=5，所以A=2．5（舍）；（2）当和是18时，3+A+A+1=18，即2A=14，A=7；（3）当和是27时，3+A+A+1=27，即2A=23，可见A=11．510（舍）。所以，A的值是7。[例5]一位马虎的采购员买了72只桶，洗衣时将购货发票洗烂了，只能依稀看到：72只桶，共□67．9□元（□内的数字洗烂了），请你帮他算一算，他一共用了多少钱？思路剖析用整除性质：一个数能被两个数和的积整除，那么这个数就能同时被这两个数整除。例如，整数a能被15整除，那么这个数一定能同时被3和5整除。这种方法是分析整数问题的基本方法。解答将□67．9□元看做□679□分，这是72只桶的总价，因为单价×72=□679□，所以□679□能被72整除。72=8×9，所以□679□应该能被8和9整除。如果□679□能被8整除，那么它的末三位一定能被8整除，即8|79□，容易算出□内是2。因为□6792能被9整除，所以其各数之和能被9整除。□+6+7+9+2=□+24，显然，□中的数只能是3。所以这笔账是367．92元。答：一共用了367．92元。[例6]在□里填上适当的数字，使得六位数□678□□能被8、9和25整除。解答☆解法一：根据8、9和25整除的数的特征很容易解出此题。这个六位数能被25整除，根据能被25整除的数的特征知，六位数的末两位数可能是00、25、50、75；该数又能被8整除，所以这个六位数的末三位数应能被8整除，而在800、825、850、875中只有800满足条件，所以这个六位数的个位、十位都是0；又因为这个六位数能被9整除，所以这个六位数的各位数字之和（不妨设首位为x）为：x+6+7+8=21+x能被9整除，可推出x只能为6，所以这个六位数为667800。☆解法二：根据数的整除性质（4）：如果一个数能被两个互质数中的每一个数整除，那么这个数也能被这两个互质数的积整除。因为8×25=200，而且8与25互质，根据整除的性质（4），所求的六位数能被200整除，所以个位、十位都应该是0。然后由这六位数能被9整除，和解法一一样的方法可知这个六位数为667800。[例7]有一水果摊一天进货6筐，分别装着香蕉和苹果，重量为8千克、9千克、16千克、19千克、23千克和27千克。头一天卖出一筐苹果，在剩下的5筐中，香蕉的重量是苹果重量的2倍。问卖掉的那筐重多少千克？剩下的5筐，哪几筐是苹果，哪几筐是香蕉？思路剖析根据已知条件：剩下的5筐中香蕉的重量是苹果的2倍。可推出：剩下的5筐中香蕉重量与苹果重量之和是3的倍数，即能被3整除。解答因为6筐水果的总重量：8+9+16+19+23+27=102（千克），根据题意，剩下的5筐中香蕉与苹果总重量之和是3的倍数，那么卖出的一筐苹果也必须是3的倍数。从6筐水果数中可知有两种情况，卖出一筐苹果可能是9千克或是27千克。如果卖出的一筐苹果是9千克，那么102－9=93(千克)。根据剩下的5筐中香蕉的重量与苹果总重量的2倍，则苹果为93÷（1+2）=31（千克）。从剩下的8、16、19、23和27中可知8千克和23千克为苹果（8+23=31）。最后剩下16千克、19千克和27千克这三筐为香蕉。如果卖出的一筐苹果是27千克，同理，102－27=75(千克)，苹果为75÷(1+2)=25(千克)，即16千克与9千克这两筐。香蕉便是最后剩下的8千克、19千克和23千克这三筐。所以本题有两种答案：如果卖出的那筐是9千克苹果，则剩下的5筐中8千克、23千克两筐为苹果，16千克、19千克和27千克三筐为香蕉。如果卖出的那筐是27千克苹果，则剩下的5筐中9千克、16千克两筐为苹果，8千克、19千克、23千克三筐为香蕉。[例8]把1至1997这1997个自然数依次写下来，得一个多位数12345678910111213…1994199519961997，试求这个多位数除以9的余数。思路剖析根据一个数能被9整除的特征可以知道：一个自然数除以9的余数，等于这个自然数各个数位上数字和除以9的余数。所以上面求多位数除以9的余数问题，便转化为求1至1997这1997个自然数中所有数字之和是多少的问题。解答☆解法一：因为1至9这9个数字之和为45，所以10至19，20至29，30至39，…，80至89，90至99这十个数的各位数位上的数字和分别为：45+10，45+20，45+30，45+40，…，45+80，45+90。所以，1至99这99个自然数各位数字之和为：45+55+65+…+125+135=900因为1至99这99个自然数各数位上数字之和为900，所以100至199，200至299，…，800至899，900至999这些100个数各位数位上的数字和分别为：900+100，900+200，…，900+800，900+900。所以，1至999这999个自然数各位上数字之和为：900+1000+…+1700+1800=13500因为1至999这999个自然数各位上数字和为13500，所以1000至1999这1000个自然数各数位上的数字和为13500+1000=14500，这样1至1999这1999个自然数各数位的数字和为：13500+14500=28000。1998、1999这两个数各数位上的数字和为：27、28。28000－27－28=27945，9能整除27945，所以多位数除以9余0☆解法二：将0至1999这2000个自然数一头一尾搭配成如下的100组：（0，1999），（1，1998），（2，1997），（3，1996），（4，1995），（5，1994），（6，1993）（7，1992），（8，1991）（9，1990），（10，1989），…，（994，1005），（995，1004），（996，1003），（997，1002），（998，1001）（999，1000），以上各组两数之和为1999，并且每一组数相加时都不进位，1至1999这1999个自然数的所有数字之和等于：（1+9+9+9）×1000=280001998、1999这两个数各位数上的数字之和为：27、28。28000―27―28=27945，9能整除27945，所以多位数除以9余0。☆解法三：因为依次写出的任意连续9个自然数所组成的多位数，一定能被9整除。而从1至1997一共有1997个数，1997÷9=221……8，1990、1991、1992、1993、1994、1995、1996、1997这8个数所有数位上的数字和为19+20+21+22+23+24+25+26=180，180能被9整除，所以多位数除以9余0。点津为什么依次写出的任意连续9个自然数所组成的多位数一定能被9整除呢？下面解释一下。因为任意连续的9个自然数的各数位上的数字和除以9的余数，必定是0，1，2…，7，8这9个数，而这9个数的和为36，36能被9整除，所以任意依次写出的9个连续自然数组成的多位数一定能被9整除。发散思维训练1．这个四位数，同时能被2、3、4、5、9整除，求此四位数。2．55块糖分给甲、乙、丙三人，甲分到糖的块数是乙的2倍，丙最少，但也多于10块，三个人各分几块？3．已知4205和2813都是29的倍数，1392和7018是不是29的倍数？4．老师买了72本相同的书，当时没有记住每本书的价格，只用铅笔记下了用掉的总钱数□13．7□元，回校后发现有两个数字看不清了。请你补上这两个数字(其中□为看不清的数字)。5．已知45整除，求所有满足条件的六位数。参考答案1．解：因为，所以b=0或5。又因为，故b=0，即原四位数是，只需确定a。因为，所以9|（4+5+a），则a=0或9。又因为，所以a=0。所以，满足条件的四位数是4500。2．解：由题目条件可知，甲、乙=人分到的糖的块数和是3的倍数。设丙分到x块糖，那么x＞10。当x=11或x=12时，55-x不能被3整除，丙不可能有11块或12块糖。当x=13时，55-13=42，42÷3=14。这时甲分到28块糖，乙分到14块糖。当x＞13时，显然不符合题意。答：甲、乙、丙各