专题五平面向量1.(2017北京,7)设m,n为非零向量,则“存在负数,使得m=λn”是“m·n0”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件1.解析本题主要考查充分必要条件与平面向量的有关知识,意在考查考生的逻辑推理能力与分析问题、解决问题的能力.因为m,n是非零向量,所以m·n=|m|·|n|cosm,n0的充要条件是cosm,n0.因为λ0,则由m=λn可知m,n的方向相反,m,n=180°,所以cosm,n0,所以“存在负数λ,使得m=λn”可推得“m·n0”;而由“m·n0”,可推得“cosm,n0”,但不一定推得“m,n的方向相反”,从而不一定推得“存在负数λ,使得m=λn”.综上所述,“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n0”的充分而不必要条件,故选A.答案A2.(2017课标II,4)设非零向量a,b满足+=-bbaa则[来源:学,科,(网Z,X,X,K](0A.a⊥bB.=baC.a∥bD.ba2.解析由||||abab平方得2222()2()()2()aabbaabb,即0ab,则ab,故选A.答案A3.(2017浙江,10)如图,已知平面四边形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O,记1·IOAOB=,2·IOBOC=,3·IOCOD=,则()A.321IIIB.231IIIC.213IIID.312III解析如图所示,四边形ABCE是正方形,F为正方形的对角线的交点,易得AOAF,而∠AFB=90°,∴∠AOB与∠COD为钝角,∠AOD与∠BOC为锐角.根据题意,I1-I2=→·→-→·→·=→.(→-·→)=→·.→=|→|·|→|=cos∠AOB0,∴I1I2,同理得,I2I3,作AG⊥BD于G,又AB=AD,∴OBBG=GDOD,而OAAF=FCOC,∴|→|·|→||→|·|→|,而cos∠AOB=cos∠COD0,∴··→·→→→,即I1I3.∴I3I1I2,故选C.答案C4.(2016·新课标全国Ⅲ,3)已知向量BA→=12,32,BC→=32,12,则∠ABC=()A.30°B.45°C.60°D.120°4.解析|BA→|=1,|BC→|=1,cos∠ABC=BA→·BC→|BA→|·|BC→|=32.答案A5.(2015·广东,9)在平面直角坐标系xOy中,已知四边形ABCD是平行四边形,AB→=(1,-2),AD→=(2,1),则AD→·AC→=()A.5B.4C.3D.25.解析∵四边形ABCD为平行四边形,∴AC→=AB→+AD→=(1,-2)+(2,1)=(3,-1).∴AD→·AC→=2×3+(-1)×1=5.答案A6.(2015·陕西,8)对任意平面向量a,b,下列关系式中不恒成立的是()A.|a·b|≤|a||b|B.|a-b|≤||a|-|b||C.(a+b)2=|a+b|2D.(a+b)·(a-b)=a2-b26.解析对于A,由|a·b|=||a||b|cos〈a,b〉|≤|a||b|恒成立;对于B,当a,b均为非零向量且方向相反时不成立;对于C、D容易判断恒成立.故选B.答案B7.(2015·重庆,7)已知非零向量a,b满足|b|=4|a|,且a⊥(2a+b),则a与b的夹角为()A.π3B.π2C.2π3D.5π67.解析因为a⊥(2a+b),所以a·(2a+b)=2a2+a·b=0,即2|a|2+|a||b|cos〈a,b〉=0,又|b|=4|a|,则上式可化为2|a|2+|a|×4|a|·cos〈a,b〉=0,即2+4cos〈a,b〉=0,所以cos〈a,b〉=-12,即a,b夹角为23π.答案C8.(2015·福建,7)设a=(1,2),b=(1,1),c=a+kb.若b⊥c,则实数k的值等于()A.-32B.-53C.53D.328.解析c=a+kb=(1,2)+k(1,1)=(1+k,2+k),∵b⊥c,∴b·c=(1,1)·(1+k,2+k)=1+k+2+k=3+2k=0,∴k=-32,故选A.答案A9.(2015·湖南,9)已知点A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且AB⊥BC,若点P的坐标为(2,0),则|PA→+PB→+PC→|的最大值为()A.6B.7C.8D.99.解析∵A,B,C在圆x2+y2=1上,且AB⊥BC,∴线段AC为圆的直径,故PA→+PC→=2PO→=(-4,0).设B(x,y),则x2+y2=1且x∈[-1,1],PB→=(x-2,y),∴PA→+PB→+PC→=(x-6,y),|PA→+PB→+PC→|=-12x+37,∴当x=-1时,此式有最大值49=7,故选B.答案B10.(2014·安徽,10)设a,b为非零向量,|b|=2|a|,两组向量x1,x2,x3,x4和y1,y2,y3,y4均由2个a和2个b排列而成.若x1·y1+x2·y2+x3·y3+x4·y4所有可能取值中的最小值为4|a|2,则a与b的夹角为()A.2π3B.π3C.π6D.010.解析设S=x1·y1+x2·y2+x3·y3+x4·y4,若S的表达式中有0个a·b,则S=2a2+2b2,记为S1,若S的表达式中有2个a·b,则S=a2+b2+2a·b,记为S2,若S的表达式中有4个a·b,则S=4a·b,记为S3.又|b|=2|a|,所以S1-S3=2a2+2b2-4a·b=2(a-b)2>0,S1-S2=a2+b2-2a·b=(a-b)2>0,S2-S3=(a-b)2>0,所以S3<S2<S1,故Smin=S3=4a·b.设a,b的夹角为θ,则Smin=4a·b=8|a|2cosθ=4|a|2,即cosθ=12,又θ∈[0,π],所以θ=π3.答案B11.(2014·湖南,10)在平面直角坐标系中,O为原点,A(-1,0),B(0,3),C(3,0),动点D满足|CD→|=1,则|OA→+OB→+OD→|的取值范围是()A.[4,6]B.[19-1,19+1]C.[23,27]D.[7-1,7+1]11.解析设D(x,y),则(x-3)2+y2=1,OA→+OB→+OD→=(x-1,y+3),故|OA→+OB→+OD→|=(x-1)2+(y+3)2,|OA→+OB→+OD→|的最大值为(3-1)2+(0+3)2+1=7+1,最小值为(3-1)2+(0+3)2-1=7-1,故取值范围为[7-1,7+1].答案D12.(2014·山东,7)已知向量a=(1,3),b=(3,m),若向量a,b的夹角为π6,则实数m=()A.23B.3C.0D.-312.解析根据平面向量的夹角公式可得1×3+3m2×9+m2=32,即3+3m=3×9+m2,两边平方并化简得63m=18,解得m=3,经检验符合题意.答案B13.(2014·新课标全国Ⅱ,4)设向量a,b满足|a+b|=10,|a-b|=6,则a·b=()A.1B.2C.3D.513.解析因为|a+b|=10,所以|a+b|2=10,即a2+2a·b+b2=10.①又因为|a-b|=6,所以a2-2a·b+b2=6.②由①-②得4a·b=4,即a·b=1,故选A.答案A14.(2017山东,11)已知向量a=(2,6),b=(1,),若a||b,则.14.解析由a||b可得1623.答案315.(2017北京,12)已知点P在圆22=1xy上,点A的坐标为(-2,0),O为原点,则AOAP的最大值为_________.15.解析由题意知,=(2,0),令P(x,y),-1≤x≤1,则·=(2,0)·(x+2,y)=2x+4≤6,故·的最大值为6.答案616.(2017课标3,13)已知向量(2,3),(3,)abm,且ab,则m=.16解析由题意可得:2330,2mm.答案217.(2017浙江,15)已知向量a,b满足1,2,ab则abab的最小值是________,最大值是_______.17.解析由向量三角不等式得,|a+b|+|a-b|≥|(a+b)-(a-b)|=|2b|=4.又≤,∴|a+b|+|a-b|的最大值为2√.答案4,2518.(2017天津,14)在△ABC中,60A,AB=3,AC=2.若2BDDC,AEACAB(R),且4ADAE,则的值为_______..18.解析01232cos603,33ABACADABAC,则122123()()3493433333311ADAEABACACAB.答案31119.【2017课标II,文16】ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc,若2coscoscosbcBaCcA,则B_______..19解析由正弦定理可得1π2sincossincossincossin()sincos23BBACCAACBBB答案320.(2016·新课标全国Ⅰ,13)设向量a=(x,x+1),b=(1,2),且a⊥b,则x=________.20.解析由题意,得a·b=0⇒x+2(x+1)=0⇒x=-23.答案-2321.(2017课标1,13)已知向量a=(–1,2),b=(m,1).若向量a+b与a垂直,则m=________.21解析因为a+b=(m-1,3),a+b与a垂直,所以(m-1)×(-1)+3×2=0,解得m=7.答案722.(2017江苏,12)如图,在同一个平面内,向量OA,OB,OC的模分别为1,1,2,OA与OC的夹角为,且tan=7,OB与OC的夹角为45°.若OCmOAnOB(,)mnR,则mn.22解析由tan7可得72sin10,2cos10,根据向量的分解,易得cos45cos2sin45sin0nmnm,即2222102720210nmnm,即510570nmnm,即得57,44mn,所以3mn.答案323(2016·山东,13)已知向量a=(1,-1),b=(6,-4).若a⊥(ta+b),则实数t的值为________.23.解析∵a⊥(ta+b),∴ta2+a·b=0,又∵a2=2,a·b=10,∴2t+10=0,∴t=-5.答案-524(2016·北京,9)已知向量a=(1,3),b=(3,1),则a与b夹角的大小为________.24.解析设a与b的夹角为θ,则cosθ=a·b|a||b|=1×3+1×312+(3)2·12+(3)2=234=32,所以θ=π6.答案π625.(2015·湖北,11)已知向量OA→⊥AB→,|OA→|=3,则OA→·OB→=________.25.解析因为OA→⊥AB→,所以OA→·AB→=0.所以OA→·OB→=OA→·(OA→+AB→)=OA→2+OA→·AB→=|OA→|2+0=32=9.答案926.(2015·浙江,13)已知e1,e2是平面单位向量,且e1·e2=12.若平面向量b满足b·e1=b·e2ACBO(第12题)=1,则|b|=________.26.解析因为|e1|=|e2|=1且e1·e2=12,所以e1与e2的夹角为60°.又因为b·e1=b·e2=1,所以b·e1-b·e2=0,即b·(e1-e2)=0,所以b⊥(e1-e2),所以b与e1的夹角为30°,所以b·e1=|b|·|e1|cos30°=1,∴|b|=233.答案23327.(2015·江苏,14)设向量ak=coskπ6,sinkπ6+coskπ6(k=0,1,2,…,12),则)(1110kkkaa)的值为________.27.解析∵ak=coskπ6,sinkπ6+coskπ6,∴1kk