拉普拉斯变换

1CH7拉普拉斯变换1、拉普拉斯变换的概念2、拉普拉斯变换的性质3、卷积4、拉普拉斯逆变换5、拉普拉斯变换的应用2©2009,HenanPolytechnicUniversity2第七章拉普拉斯积分变换13November2019复变函数与积分变换§7.1拉普拉斯变换的概念1.定义2.Laplace变换存在定理和象函数的微分性质3©2009,HenanPolytechnicUniversity3第七章拉普拉斯积分变换13November2019复变函数与积分变换1.Laplace变换的概念变换存在定理条件，满足设函数)0()()(Fourieretutft.)(21)(,)(21)(0)(dwewFtfdwewFetfttiwiwtt即时，且当,iws若令,)()(0dtetfsFst则).0,(,)(21)(tdsesFitfstii积分沿垂直于实轴的直线的)(wF则tetutf)()(ℱdteetutfiwtt)()(dtetftiw0)()(4©2009,HenanPolytechnicUniversity4第七章拉普拉斯积分变换13November2019复变函数与积分变换定义1：)(sF;)()()(0变换的拉普拉斯为Laplacetfdtetfst).0()()()(21)(tLaplacesFdsesFitfstii逆变换的拉普拉斯为ℒ)(tf)(sF)(tfℒ)(sF记作：)(1sFℒ)(tf记作：5©2009,HenanPolytechnicUniversity5第七章拉普拉斯积分变换13November2019复变函数与积分变换例1.求下列函数的拉普拉斯变换.;).0(0),0(1)()1tttu；为任意复数)()()2tetf；为任意复数)()()3aattf.为实数)(sin)()4aattf)(tuℒ);0)(Re(,1ssteℒ));Re()(Re(,-1ssatℒ).0)(Re(,2ssa6©2009,HenanPolytechnicUniversity6第七章拉普拉斯积分变换13November2019复变函数与积分变换dteatsaeatsastst0222)sin(0)cos(atsindteatst0)sin(ℒdteatsaeatsstst0)cos(0)sin(1).0)(Re(,22sasaatsinℒ)(tuℒ).0)(Re(,1ssℒte)).Re()(Re(,1ssatℒ).0)(Re(,2ssaatsinℒ).0)(Re(,22sasa的拉普拉斯变换和由此也可算出atatcossin7©2009,HenanPolytechnicUniversity7第七章拉普拉斯积分变换13November2019复变函数与积分变换.)()()1()()()(-0-0)(dttfttdttfttnnn定义：)(t.1)(00sstedtetℒℒ)(t1ℒ)()(tnns函数的拉普拉斯变换)(t.)()()(00sdtestdtetststℒ8©2009,HenanPolytechnicUniversity8第七章拉普拉斯积分变换13November2019复变函数与积分变换2.Laplace变换存在定理和象函数的微分性质定理1：满足如下两个条件：若函数)(tf限个极值点；类间断点，且至多有有上连续或有有限个第一在即条件雷有限区间上满足狄利克在],[)(,)(0)()batfDirichletttfi.)(0,00,)(0)MetftcMctftiict时，有使得当和即存在增长指数为的增长是指数级的，其时，当：则有下列三个结论成立)(tfℒ)()1(sF：内存在，在右半平面cs)Re()(sF其反常积分;)(0在该平面内绝对收敛dtetfst9©2009,HenanPolytechnicUniversity9第七章拉普拉斯积分变换13November2019复变函数与积分变换反演积分和常数：对任意实数,)Re()2(cst.00)()()(时，其积分值为平均值，当处的左右极限的在各点且处处收敛到函数tttutftf收敛，)()()(021tdsesFitfstii))(Re(csℒ)()()(tftutf)(sF内解析，在右半平面：cssF)Re()()3()(sF成立，即：求导，使下面微分性质可在积分号下对参数sdtetfst0)())(Re(cs)(tftnℒ)()1()(sFnn10©2009,HenanPolytechnicUniversity10第七章拉普拉斯积分变换13November2019复变函数与积分变换例2.计算下列各式.2tℒ)1(）（3tteℒttsinℒ）（2解：ntℒ).0)(Re(,!1ssnn2tℒ)1();0)Re((2)1(32sssttsinℒ）（2);0)(Re()1(2)11(222ssss).1)(Re()1(1)11(2sss）（3tteℒ11©2009,HenanPolytechnicUniversity11第七章拉普拉斯积分变换13November2019复变函数与积分变换§7.2逆变换的计算和位移性质1.线性性质4.位移性质2.微分性质3.积分性质5.延迟性质12©2009,HenanPolytechnicUniversity12第七章拉普拉斯积分变换13November2019复变函数与积分变换1.线性性质),,2,1(nkCk为常数设)(tfk若ℒ),,2,1()(nksFk)(n1kkktfC则有ℒ.)(1nkkksFC例1.利用性质计算下列各式.)1(11ssℒ)2(tt4sin2sinℒ)1(13©2009,HenanPolytechnicUniversity13第七章拉普拉斯积分变换13November2019复变函数与积分变换2.微分性质象函数的微分性质)i象原函数的微分性质)ii))(Re(csℒ)()()(tftutf)(sF设：))(Re(cs)(tftnℒ)()1()(sFnn则：))(Re(csℒ)()()(tftutf)(sF设：：限个第一类间断点，则有限区间上连续或有有在若0)(ttf一定存在，且)(tfℒ)(tfℒ).00()0(,)Re(),0()(ffcsfssF)(lim0tft14©2009,HenanPolytechnicUniversity14第七章拉普拉斯积分变换13November2019复变函数与积分变换,)(0)()(00dtetfsetfdtetfststst)(tfℒ证明：,0)()()(tctstMeetfetft时，当)(tfℒ).)(Re()0()(csfssF推论：)()(tfnℒ).)(Re((0)(0))0()()1()2(1csfsffssFsnnnn)00()0(ff15©2009,HenanPolytechnicUniversity15第七章拉普拉斯积分变换13November2019复变函数与积分变换例2.利用微分性质计算下列各式.teℒ)1(ktsinℒ)2(3.积分性质象原函数的积分性质)i))(Re(csℒ)()()(tftutf)(sF设：))(Re(cs)(tgnℒ)(nssF且：,)()(000tttndttfdtdttg且次积分n),,2,1()(ntgn存在ℒ则16©2009,HenanPolytechnicUniversity16第七章拉普拉斯积分变换13November2019复变函数与积分变换证明：由微分性质)(1tgℒs)0()(11gtgℒs)(1tgℒ同理可证：ℒ).)(Re()(csssFn)(tgn0010)(dttgℒ).)(Re()(csssF)(1tg17©2009,HenanPolytechnicUniversity17第七章拉普拉斯积分变换13November2019复变函数与积分变换例3.计算下列各式.;)1(121ssℒ)1(;)1(121ssℒ)2(计算得；或由11)1(-)1()1(1),0(,cos1sin)1(222220sssssssssttdttt解：计算得；或由sssssssssteedteettttt1)1111(21)1()1()1(1),0(,122)2(2222018©2009,HenanPolytechnicUniversity18第七章拉普拉斯积分变换13November2019复变函数与积分变换象函数的积分性质)ii)(nttf))(Re(cs)(sGnℒ则：次积分n))(Re(csℒ)()()(tftutf)(sF设：,)()(sssndssFdsdssG且0)(,sGsn时19©2009,HenanPolytechnicUniversity19第七章拉普拉斯积分变换13November2019复变函数与积分变换例4.计算下列各式.;cos1ttℒ)1(;1ln221ssℒ)2();0)(Re(),11ln(21)11()1(22sssdssss;)21111()1ln(,21111])1ln([)2(2222sdsssssssssss1ln221ssℒ);1)(Re(),2(1seettt解：20©2009,HenanPolytechnicUniversity20第七章拉普拉斯积分变换13November2019复变函数与积分变换4.象函数的位移性质))(Re(csℒ)()()(tftutf)(sF若则有ℒtsetf0)())(Re(),(00cssssF.0为任意复数其中s))(Re(),()(0cssFdtetfst)(tfℒ证明：).)(Re(),()()(00)(0000cssssFdtetfdteetftsssttstsetf0)(ℒ21©2009,HenanPolytechnicUniversity21第七章拉普拉斯积分变换13November2019复变函数与积分变换例5.计算下列各式.)1(tuetℒ)2(itnetℒ)1(ℒ)3(9)2(5221sssess9)2(522若改为);0)(Re(,)(!)1(1sisnn.3sin313cos2)()3(2t-ttetu);0)1(Re(,11)2()1(sess22©2009,HenanPolytechnicUniversity22第七章拉普拉斯积分变换13November2019复变函数与积分变换5.Laplace变换的延迟性质))(Re(csℒ)()()(tftutf)(sF设：时对任意00t))(Re(csℒ)()(00ttfttustesF0)(证明：,)(21)()(dsesFitftustii