拉普拉斯变换与S域分析

第四章拉普拉斯变换与S域分析第一节引言一、拉氏变换的优点把线性时不变系统的时域模型简便地进行变换，经求解再还原为时间函数。拉氏变换是求解常系数线性微分方程的工具。应用拉氏变换：（1）求解方程得到简化。且初始条件自动包含在变换式里。（2）拉氏变换将“微分”变换成“乘法”，“积分”变换成“除法”。即将微分方程变成代数方程。拉氏变换将时域中卷积运算变换成“乘法”运算。利用系统函数零点、极点分布分析系统的规律。第二节拉氏变换的定义、收敛域一、单边拉氏变换定义0()()stdefedFsfsjtt正单边变换：　　其中（因拉氏果系统）()()2jstjftFsedsj逆氏变换单边拉：１1()()()()()()ftFsLLftFsFsft　：原函　象函拉氏变换对二、拉氏变换的物理意义拉氏变换是将时间函数f(t)变换为复变函数F(s)，或作相反变换。时域(t)变量t是实数，复频域F(s)变量s是复数。变量s又称“复频率”。拉氏变换建立了时域与复频域(s域）之间的联系。(cossin)stjwtttsjeewtjtewe看出：将频率变换为复频率s,且只能描述振荡的重复频率，而s不仅能给出重复频率，还给出振荡幅度的增长速率或衰减速率。()()()()ftdftdtdfstdtF　(当f(0)=0sF(s)sF(s)-f)　(当f0)(0)(0)三、从算子法的概念说明拉氏变换的定义lim()0()tttftefte００收：当时　　则在拉氏变换的敛域范围内收敛ftS０００其中与有关，过的垂直线为，在平面内称收敛轴收敛坐标四、拉氏变换收敛域收敛轴收敛坐标０jw0收敛区(;(2);0(1)非周期信号收敛域:即凡是有始有终,能量有限的信号)有稳定幅度的信有界全平面周期号收敛域:右半平面.0;atea(3)随时间成的信号(正比增长增长4)按指数的信号。0(0)00()()detfsfFedttsf：若某些信号在且已知则跳变系统点有拉氏变换收敛域举例五、常用信号的拉氏变换()11,0tsu　阶跃函数　　L2(),1t冲激函数　　L13,atsaea　指数函数　　－L124(0),0!1nnnnsstt　增长函数　　　如，LL常用信号的拉氏变换022002002sin()c5os()ststs正弦信号　　　　　　　　　LL002200220()6sin()cos()()atatsasaeteats　衰减正弦　　　　　　LL常用信号的拉氏变换2117()()!nnatatttesaesan衰减斜升　　LL02220220220200sin()cos(()28))(ssttttss斜升正弦　　　　　　　　LL常用信号的拉氏变换作业P2504-1第三节拉氏变换的基本性质一、拉氏变换的基本性质112221122112()(),()()()()()()ftFsftFsftftkkFsFksk１：若　线则性性LLL0002()()()()()()stftutFsfuFstttte：时域平移性若　则LL3()()()()atftFsftsFsea：若　　　平　　　则域移性LL拉氏变换的基本性质11()0(0)4()()()()()()(0)nnnnrrrnddtdftFdtsfssfsftFsftFs时域微：若　则　　分性LLL5()()()()ftFsFssddstfts：若　　　微　　　则域分性LL拉氏变换的基本性质(1)6()()()(0)()tsftFsFsffsd－：时域积分性若　则LL7()()()()sftFdtssftF　：若　　　　积　　　域则分性LL112212128()(),()()()()()()ftFsftFsftftFsFs：若　卷则时域积性LL拉氏变换的基本性质112212129()(),()()()()()1()2ftFsftjFsftftFsFss：若　　域卷　　　　则积性LLL拉氏变换的基本性质0()()1lim()lim(0)li(1())m))((sstsFsdftdftftFfsdtsFdsftt：若，　　　　　则初值　　　　　　　终值　极值性LLL()ssFs虚轴上及其右边仅当在平面的均时（原点除外）才可解析应用终值定理10()()()(0)1saftFsaaaFtf：尺度若　则变换性LL作业P2504-2，4-3，4-5第四节拉氏逆变换一、系统的s域分析方法（1）部分分式展开法（2）长除法用拉氏变换方法分析系统时，最后还要将象函数进行拉氏反（逆）变换。求解拉氏逆变换的方法有：（3）留数法二、部分分式展开法12121122()()()()()()()()(),)(,mmnmnnAsaszszszFsBsbspspszzzpFpspp则　其中称的　，，零称点　其中的极点110110()()()mmmmnnnnasasaAsFsBsbsbsb设（有理式）1((1))npp极点为单实根的情况11()()()iiisnnpkmnkskFsssFpspp分解时，　　　　　其中（留数）mmnn时，先用将分子中的高次项提长除出，余下的满足部法分按上法分解111()nptptnftkeeku(t)L部分分式展开法1,2()(2)pj极点包含共轭复根的情况22()()()()((()()))sAsFsDssjAssDsj()Ds其中为分母除去共轭复根剩余部分部分分式展开法1()(())AFsDss设211()()()()FssjsjFKKsjssj分解则部分分式展开法11,2,1221()2KAjBFjKjKK其中（留数关系：共轭）、呈1得共轭复根有关部分逆变换为L部分分式展开法11cossi()()n()()2tjttctjftKeutABeKeettut1()(3)kp极点包含多重根的情况重根1()()(())ksApsFsDs部分为分母除去多重根剩余其中)(sD部分分式展开法1()(())AFsDss设1111111111()()()(())kkikikFssKpKspKsFpsps分解则部分分式展开法111111()(1)!iiispdKFsids其中11111111()(1((!!)))ptkiiptkcptkKfttekKKteutkie1得多重根部分的逆变换：L部分分式展开法,设一闭合围线的积分路径为无限大圆弧则上式中积分等于围线中被积函数所有极点的留数之和1()(),02jstjftFsedstj三、留数法极点的留数即stesFtf)()(111,()(),1()()(1)!iniiikkstikiispnpkftdspFsrsrekrd若极点处留数为围线中有个极点阶则留数法举例4.1:10(2)(5)(),(1)(3)ssFssss已知求其逆变换312()13kkkFsmnsss解：部分分解法　（）100()10(2)(5)100(1)(3)3ssksFsssss其中333(3)()10(2)(5)10(1)3ssksFsssss211(1)()10(2)(5)20(3)ssksFssss解：举例4.1:1002010()313(3)Fssss解：310010()20()33ttfteeut举例4.1:32597(),(1)(2)sssFsss已知求其逆变换()Fs解：　长除法举例4.2:23277223795232223232ssssssssssssss　　　　４６　　　　　举例4.2:21()212Fssss12()212kkFssss部分分式展开法　11223(1)2(1)(2)311ssskssssks其中　　2()'()2()2()ttfttteeut举例4.2:223(),(25)(2)sFssss已知求其逆变换23()(12)(12)(2)sFssjsjs解：01212122kkksjsjs1,2,(1,2)pj举例4.3:2112312:(12)(2)5sjsjksjs解其中2237(12)(12)5ssksjsj０12,(,)55AjBAB1,2即k举例4.3:2127()2cos(2)sin(2)()555ttftetteut121275555()12125(2)jjFssjsjs解：1,212,55AB举例4.3:32(),(1)sFsss已知求其逆变换131112232()(1)(1)(1)kkkkFsssss解：312()(1)()sFssFss令1p（重根极点处的留数）举例4.4:11111()23spskFsss解：其中112121()(2)12spsdkFsdssss举例4.4:121312411()21422spsdkFsdsss解：2030()22(1)ssksFsss举例4.4:32()(1)(1)()Fsssss３２２２－１23()222()2tttftteteeut作业P2514-4第五节拉氏变换法求解常微分方程一、拉氏变换求解微分方程()(1)10()0()()()(),((0()))nnnnmmnaytYsaytabftbyFfsttt设微分方程（阶系求解方法：统的输入输出），且1()()10()(0()(),0,1,()()),0,1,iippiijpjssyytYsifmstFsj则　　　　　()yt方程两边取拉氏变换整理得的象函数()(())zsziyttyty再取逆变换得解110000()0(0)(()))()(nimipjijipjnniiiipiizzsiasbsYsasyasFsYsYs　　　拉氏变换求解微分方程''()3'()2()2'()6()()(),(0)2,'(0)1(),(),()zizsytytytftftfttyyytytyt已知求2()(0)'(0)3()3(0)2()2()6()sYssyysYsyYssFsFs解：方程取拉氏变换得举例4.5:2222(0)'(0)3(0)26()()3232272(3)13232syyysYsFssssssssssss