4.弹性力学基本方程

弹性力学基本方程成都大学张永强基本内容1.弹性力学基本假定2.平衡方程3.几何方程4.本构方程5.边界条件为突出所处理问题的实质，使问题得以简单化和抽象化，在弹性力学中，提出以下五个基本假定（理想化）(1)物体内的物质连续性(continuity)假定，即认为物质中无空隙，因此可采用连续函数来描述对象。(2)物体内的物质均匀性(homogeneity)假定，即认为物体内各个位置的物质具有相同特性，因此，各个位置材料的描述是相同的。（偏析）(3)物体内的物质(力学)特性各向同性(isotropy)假定，即认为物体内同一位置的物质在各个方向上具有相同特性，因此，同一位置材料在各个方向上的描述是相同的。(4)线弹性(1inearelasticity)假定，即物体变形与外力作用的关系是线性的，外力去除后，物体可恢复原状，因此，描述材料性质的方程是线性方程。(5)小变形(smalldeformation)假定，即物体变形远小于物体的几何尺寸，因此在建立方程时，可以忽略高阶小量(二阶以上)。以上基本假定和真实情况虽然有一定的差别，但从宏观尺度上来看，特别是对于工程问题，大多数情况下还是比较接近实际的。以上几个假定的最大作用就是可以对复杂的对象进行简化处理，以抓住问题的实质。适合二维或者三维问题体积积p应力σ微分算子L0pLσ应力平衡时：弹性体中任意一点达到1平衡方程⑵适用的条件--连续性，小变形；对平衡微分方程的说明⑴代表A中所有点的平衡条件，因位（，）∈A；⑶应力不能直接求出；⑷对两类平面问题的方程相同。理论力学考虑整体的平衡（只决定整体的运动状态）。⑸比较:材料力学考虑有限体的平衡（近似）。弹性力学考虑微分体的平衡（精确）。从何而来？对于三维问题，弹性力学基本方程为如下形式。1.平衡方程由x，y，z三方向的力平衡可推出微分形式的平衡方程。在推导平衡方程时不同位置截面上的应力将由于几何位置的差别dx，dy，dz而有所不同，以Taylor级数展开后，可写为单位面积，x方向力合成，正应力，切应力2几何方程二维或者三维质点位移矢量应变间的关系表征质点位移与应变之--u--uL从图0.1.3可以看出，平面物体在受力后，其几何形状的改变主要在两个方面：沿各个方向上的长度变化以及夹角的变化，下面给出具体的描述。(3)定义夹角的变化P'A’线与PA线的夹角为在微小位移和微小变形的情况下，略去位移导数的高次幂，则应变向量和位移向量间的几何关系有3本构方程弹性矩阵应变材料应力应变的关系DD本构方程(constitutiveequation)，反映物质宏观性质的数学模型4边界条件(求解的前提)位移边界面力和集中力边界--uFuF弹性体V的全部边界为S，一部分边界上已知外力pxpypz称为力的边界条件，这部分边界用Sσ表示；另一部分边界上弹性体的位移w,v,u已知，称为几何边界条件或位移边界条件，这部分边界用Su表示。这两部分边界构成弹性体的全部边界，即求解的前提