24.1.4圆周角

1.圆周角的概念；2.感悟圆周角定理的推导过程，及推导过程中所用到的解题思想方法；3.理解并掌握圆周角定理：一条弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半；4.理解并掌握圆周角定理的推论：同弧或等弧所对的圆周角相等。1、复习提问:(2)圆心角，弧，弦关系定理是什么？(1)什么是圆心角？A′B′ABO∠ACB与∠AOB有何异同点？顶点在圆上，两边与圆相交的角,叫圆周角。圆周角的概念：BACO判断下列各图形中的是不是圆周角,并说明理由．【归纳】一个角是圆周角的条件：①顶点在圆上；②两边都和圆相交.问题：圆周角的度数与相应的圆心角度数有什么关系？探究一：OABCOCABOCAB问题：圆周角的度数与相应的圆心角度数有什么关系？(1)当圆心在圆周角的一边上时,探究一：OABC2.当圆心在圆周角内部时问题：圆周角的度数与相应的圆心角度数有什么关系？探究一：OCBA4321DOCBA3.当圆心在圆周角外部时问题：圆周角的度数与相应的圆心角度数有什么关系？探究一：OBCA4321DOBCA圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.【推论】同弧或等弧所对的圆周角相等OCBADOCBAD互动探究探究问题一利用圆周角定理及其推论进行计算例1如图所示，已知圆心角∠BOC＝78°，则圆周角∠A的度数是（）A.156°B.78°C.39°D.12°CCOBA1.如果∠A=44°，则∠BOC=____.如果∠BOC=44°，则∠A=____.如果∠A=35°，则∠D=____.OABCD思考与巩固例2如图，∠A是⊙O的圆周角，∠A=40°，求∠OBC的度数。OCBA思考与巩固2.已知：△ABC的三个顶点在⊙O上，∠BAC=50°,∠ABC=47°，求∠AOB．BACO思考与巩固思考与巩固3.如图OA、OB、OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠1．求证：∠3=∠4．4321COAB4．如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠1＝2∠2。求证：∠4＝2∠3.思考与巩固4321COBA5、在圆中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为(2x+100)°和(5x－30)°，求这条弧所对的圆心角和圆周角的度数。思考与巩固课堂小结圆周角定理：一条弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半圆周角定理的推论：同弧或等弧所对的圆周角相等。证明角相等的新方法1.理解并掌握圆周角定理的推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角。反过来也成立，即90°的圆周角所对的弦是直径；2.理解并掌握“有直径，造直角”的解题方法，并会根据此原理添加辅助线。圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.【推论】同弧或等弧所对的圆周角相等OCBADOCBAD1.半圆或直径所对的圆周角等于多少度？【推论】半圆或直径所对的圆周角是直角。反过来也成立，即90°的圆周角所对的弦是直径。探究二：2.90°的圆周角所对的弦是否是直径？OABCDOABCD“有直径，造直角”是利用直径解题的常用方法.探究问题二利用圆周角定理及其推论进行证明例【教材例4拓展题】求证：以等腰三角形的一腰为直径的圆平分底边.解：已知：如图所示，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D。求证：BD＝CD。【归纳总结】“有直径，造直角”是利用直径解题的常用方法.OCDABOCDABOCDAB1．【兰州中考】如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D在⊙O上，∠ADC＝54°，则∠BAC的度数等于________．36°COABDCOABDCOABDCOABD2.（2012•随州）如图，AB是⊙O的直径，若∠BAC=35°，则∠D=（）A．35°B．55°C．70°D．110°BCOABD1COABD1COABD1COABD1COABD3.如图所示，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠EOD＝40°，则∠DCF＝_______°20GEFOCD21GEFOCD4.如图所示，已知OA是⊙O的半径，以OA为直径的⊙C与⊙O的弦AB相交于点D。求证：D是AB的中点。DCOAB例1.如图⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O与D，求BC、AD、BD的长.DCOABDCOABDCOAB21DCOAB21DCOAB321DCOAB4321DCOAB►知识点四圆的内接四边形圆内接多边形定义：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.ABCDABCDOABD×ABCD（1）如图，已知圆心角∠AOB=100°,求圆周角∠ACB、∠ADB的度数？巩固练习:在⊙O中,圆心角∠AOB=56°,则弦AB所对的圆周角等于多少?即：在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等或互补．在⊙O中,圆心角∠AOB=56°,则所对的圆周角等于多少?OABDOABDEAB3．如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点．若∠BAD＝105°，则∠DCE的大小是()A．115°B．105°C．100°D．95°B【总结】圆内接四边形的外角等于它的内对角。4．如图，在⊙O中，已知∠OAB＝22.5°，则∠C的度数为()A．135°B．122.5°C．115.5°D．112.5°D拓展【武汉中考】如图，AB是⊙O的直径，C，P是上的两点，AB＝13，AC＝5.(1)如图，若P是的中点，求PA的长；ABABOABCP拓展【武汉中考】如图，AB是⊙O的直径，C，P是上的两点，AB＝13，AC＝5.(2)如图，若P是的中点，求PA的长．ABBCOABCP【拓展】如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F.(1)求证：CF＝BF；(2)若CD＝6，AC＝8，求⊙O的半径及CE的长．BD321FECOABD【拓展】如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F.(1)求证：CF＝BF；(2)若CD＝6，AC＝8，求⊙O的半径及CE的长．BD321FECOABD备选探究问题圆心角、圆周角性质定理的综合运用思考：已知：如图所示，BC为半圆O的直径，AB=AF，AC与BF交于点M.（1）若FBC=40°，求ACB；（2）过A作ADBC于D，交BF于E，求证：BE=EM.MEDAFOBC备选探究问题圆心角、圆周角性质定理的综合运用思考：已知：如图所示，BC为半圆O的直径，AB=AF，AC与BF交于点M.（1）若FBC=40°，求ACB；（2）过A作ADBC于D，交BF于E，求证：BE=EM.MEDAFOBC12345A'OMNAPBP'A'OMNAPBP'A'OMNAPB拓展【安顺中考】如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为()A.B．1C．2D．222AAN