平面向量的概念及其线性运算-(共29张PPT)

[小题热身]1．若向量a与b不相等，则a与b一定()A．有不相等的模B．不共线C．不可能都是零向量D．不可能都是单位向量解析：若a与b都是零向量，则a＝b，故选项C正确．答案：C2．若m∥n，n∥k，则向量m与向量k()A．共线B．不共线C．共线且同向D．不一定共线解析：可举特例，当n＝0时，满足m∥n，n∥k，故A，B，C选项都不正确，故D正确．答案：D3．如图所示，向量a－b等于()A．－4e1－2e2B．－2e1－4e2C．e1－3e2D．3e1－e2解析：由题图可得a－b＝BA→＝e1－3e2.答案：C4．(2017·通州模拟)已知在△ABC中，D是BC的中点，那么下列各式中正确的是()A.AB→＋AC→＝BC→B.AB→＝12BC→＋DA→C.AD→－DC→＝AC→D．2CD→＋BA→＝CA→解析：本题考查向量的线性运算．A错，应为AB→＋AC→＝2AD→；B错，应为12BC→＋DA→＝BD→＋DA→＝BA→；C错，应为AC→＝AD→＋DC→；D正确，2CD→＋BA→＝CB→＋BA→＝CA→，故选D.答案：D5．若菱形ABCD的边长为2，则|AB→－CB→＋CD→|＝________.解析：|AB→－CB→＋CD→|＝|AB→＋BC→＋CD→|＝|AD→|＝2.答案：26．已知a，b是非零向量，命题p：a＝b，命题q：|a＋b|＝|a|＋|b|，则p是q的________条件．解析：若a＝b，则|a＋b|＝|2a|＝2|a|，|a|＋|b|＝|a|＋|a|＝2|a|即p⇒q，若|a＋b|＝|a|＋|b|，由加法的运算知a与b同向共线，即a＝λb，且λ0，故q⇒/p.∴p是q的充分不必要条件．答案：充分不必要[知识重温]一、必记3●个知识点1．向量的有关概念名称定义备注向量既有①______又有②______的量；向量的大小叫做向量的③____(或④______)平面向量是自由向量零向量长度为⑤______的向量；其方向是任意的记作⑥__________大小方向模长度零0单位向量长度等于⑦________________的向量非零向量a的单位向量为±a|a|平行向量方向⑧______或⑨______的非零向量共线向量○10________________向量又叫做共线向量0与任一向量⑪______或共线相等向量长度⑫________且方向⑬________的向量相反向量长度⑭________且方向⑮________的向量0的相反向量为01个单位长度相同相反方向相同或相反平行相等相同相等相反2.向量的表示方法(1)字母表示法：如a，AB→等．(2)几何表示法：用一条⑯__________表示向量．有向线段3．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算⑰______法则⑱___________法则(1)交换律：a＋b＝⑲______.(2)结合律：(a＋b)＋c＝⑳____________.三角形平行四边形b＋aa＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差○21________法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝○22____.(2)当λ＞0时，λa与a的方向○23______；当λ＜0时，λa与a的方向○24______；当λ＝0时，λa＝○25______λ(μa)＝○26____；(λ＋μ)a＝○27__________；λ(a＋b)＝○28__________.三角形|λ||a|相同相反0λμaλa＋μaλa＋λb二、必明3●个易误点1．作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量的终点；2．在向量共线的充要条件中易忽视“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个；3．要注意向量共线与三点共线的区别与联系．考向一平面向量的有关概念[自主练透型][例1]下列命题中，正确的是________．(填序号)①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；③向量AB→与向量CD→共线，则A、B、C、D四点共线；④两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．[解析]①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量；②不正确，若a与b中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；③不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行；④正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模均为实数，可以比较大小．[答案]④—[悟·技法]—平面向量中常用的几个结论(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．(3)a|a|是与a同向的单位向量，－a|a|是与a反向的单位向量．—[通·一类]—1．设a0为单位向量，下列命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|·a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.假命题的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.答案：D考向二平面向量的线性运算[自主练透型][例2](2017·武汉市武昌区调研)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内的任意一点，则OA→＋OB→＋OC→＋OD→等于()A.OM→B．2OM→C．3OM→D．4OM→[解析]因为M是平行四边形ABCD对角线AC、BD的交点，所以OA→＋OC→＝2OM→，OB→＋OD→＝2OM→，所以OA→＋OB→＋OC→＋OD→＝4OM→.[答案]D—[悟·技法]—向量线性运算的方法技巧向量线性运算，要转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线、相似三角形等平面几何的性质，把未知向量转化为已知向量(基底向量)来求解．—[通·一类]—2．(2017·唐山市统一考试)在等腰梯形ABCD中，AB→＝－2CD→，M为BC的中点，则AM→＝()A.12AB→＋12AD→B.34AB→＋12AD→C.34AB→＋14AD→D.12AB→＋34AD→解析：因为AB→＝－2CD→，所以AB→＝2DC→.又M是BC的中点，所以AM→＝12(AB→＋AC→)＝12(AB→＋AD→＋DC→)＝12(AB→＋AD→＋12AB→)＝34AB→＋12AD→.答案：B考向三共线向量定理及其应用[互动讲练型][例3]如图，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，AE→＝23AD→，AB→＝a，AC→＝b.(1)用a，b表示向量AD→，AE→，AF→，BE→，BF→；(2)求证：B，E，F三点共线．[解析](1)延长AD到G，使AD→＝12AG→，连接BG，CG，得到▱ABGC，所以AG→＝a＋b，AD→＝12AG→＝12(a＋b)，AE→＝23AD→＝13(a＋b)，AF→＝12AC→＝12b，BE→＝AE→－AB→＝13(a＋b)－a＝13(b－2a)，BF→＝AF→－AB→＝12b－a＝12(b－2a)．(2)证明：由(1)可知BE→＝23BF→，又因为BE→，BF→有公共点B，所以B，E，F三点共线．—[悟·技法]—1.共线向量定理及其应用(1)可以利用共线向量定理证明向量共线，也可以由向量共线求参数的值．(2)若a，b不共线，则λa＋μb＝0的充要条件是λ＝μ＝0，这一结论结合待定系数法应用非常广泛．2．证明三点共线的方法若AB→＝λAC→，则A，B，C三点共线．—[通·一类]—3．设两个非零向量a与b不共线，(1)求AB→＝a＋b，BC→＝2a＋8b，CD→＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb同向．解析：(1)证明：∵AB→＝a＋b，BC→＝2a＋8b，CD→＝3(a－b)，∴BD→＝BC→＋CD→＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5AB→.∴AB→，BD→共线，又∵它们有公共点B，∴A，B，D三点共线．(2)∵ka＋b与a＋kb同向，∴存在实数λ(λ0)，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb.∴(k－λ)a＝(λk－1)b.∵a，b是不共线的两个非零向量，k－λ＝0，λk－1＝0，解得k＝1，λ＝1或k＝－1，λ＝－1，又∵λ0，∴k＝1.