2016中考数学压轴题:函数相似三角形问题(一)例1直线113yx分别交x轴、y轴于A、B两点,△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°后得到△COD,抛物线y=ax2+bx+c经过A、C、D三点.(1)写出点A、B、C、D的坐标;(2)求经过A、C、D三点的抛物线表达式,并求抛物线顶点G的坐标;(3)在直线BG上是否存在点Q,使得以点A、B、Q为顶点的三角形与△COD相似?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.图1动感体验请打开几何画板文件名“11闸北25”,拖动点Q在直线BG上运动,可以体验到,△ABQ的两条直角边的比为1∶3共有四种情况,点B上、下各有两种.思路点拨1.图形在旋转过程中,对应线段相等,对应角相等,对应线段的夹角等于旋转角.2.用待定系数法求抛物线的解析式,用配方法求顶点坐标.3.第(3)题判断∠ABQ=90°是解题的前提.4.△ABQ与△COD相似,按照直角边的比分两种情况,每种情况又按照点Q与点B的位置关系分上下两种情形,点Q共有4个.满分解答(1)A(3,0),B(0,1),C(0,3),D(-1,0).(2)因为抛物线y=ax2+bx+c经过A(3,0)、C(0,3)、D(-1,0)三点,所以930,3,0.abccabc解得1,2,3.abc所以抛物线的解析式为y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,顶点G的坐标为(1,4).(3)如图2,直线BG的解析式为y=3x+1,直线CD的解析式为y=3x+3,因此CD//BG.因为图形在旋转过程中,对应线段的夹角等于旋转角,所以AB⊥CD.因此AB⊥BG,即∠ABQ=90°.因为点Q在直线BG上,设点Q的坐标为(x,3x+1),那么22(3)10BQxxx.Rt△COD的两条直角边的比为1∶3,如果Rt△ABQ与Rt△COD相似,存在两种情况:①当3BQBA时,10310x.解得3x.所以1(3,10)Q,2(3,8)Q.②当13BQBA时,101310x.解得13x.所以31(,2)3Q,41(,0)3Q.图2图3考点伸展第(3)题在解答过程中运用了两个高难度动作:一是用旋转的性质说明AB⊥BG;二是22(3)10BQxxx.我们换个思路解答第(3)题:如图3,作GH⊥y轴,QN⊥y轴,垂足分别为H、N.通过证明△AOB≌△BHG,根据全等三角形的对应角相等,可以证明∠ABG=90°.在Rt△BGH中,1sin110,3cos110.①当3BQBA时,310BQ.在Rt△BQN中,sin13QNBQ,cos19BNBQ.当Q在B上方时,1(3,10)Q;当Q在B下方时,2(3,8)Q.②当13BQBA时,1103BQ.同理得到31(,2)3Q,41(,0)3Q.例2Rt△ABC在直角坐标系内的位置如图1所示,反比例函数(0)kykx在第一象限内的图像与BC边交于点D(4,m),与AB边交于点E(2,n),△BDE的面积为2.(1)求m与n的数量关系;(2)当tan∠A=12时,求反比例函数的解析式和直线AB的表达式;(3)设直线AB与y轴交于点F,点P在射线FD上,在(2)的条件下,如果△AEO与△EFP相似,求点P的坐标.图1动感体验请打开几何画板文件名“11杨浦24”,拖动点A在x轴上运动,可以体验到,直线AB保持斜率不变,n始终等于m的2倍,双击按钮“面积BDE=2”,可以看到,点E正好在BD的垂直平分线上,FD//x轴.拖动点P在射线FD上运动,可以体验到,△AEO与△EFP相似存在两种情况.思路点拨1.探求m与n的数量关系,用m表示点B、D、E的坐标,是解题的突破口.2.第(2)题留给第(3)题的隐含条件是FD//x轴.3.如果△AEO与△EFP相似,因为夹角相等,根据对应边成比例,分两种情况.满分解答(1)如图1,因为点D(4,m)、E(2,n)在反比例函数kyx的图像上,所以4,2.mknk整理,得n=2m.(2)如图2,过点E作EH⊥BC,垂足为H.在Rt△BEH中,tan∠BEH=tan∠A=12,EH=2,所以BH=1.因此D(4,m),E(2,2m),B(4,2m+1).已知△BDE的面积为2,所以11(1)2222BDEHm.解得m=1.因此D(4,1),E(2,2),B(4,3).因为点D(4,1)在反比例函数kyx的图像上,所以k=4.因此反比例函数的解析式为4yx.设直线AB的解析式为y=kx+b,代入B(4,3)、E(2,2),得34,22.kbkb解得12k,1b.因此直线AB的函数解析式为112yx.图2图3图4(3)如图3,因为直线112yx与y轴交于点F(0,1),点D的坐标为(4,1),所以FD//x轴,∠EFP=∠EAO.因此△AEO与△EFP相似存在两种情况:①如图3,当EAEFAOFP时,2552FP.解得FP=1.此时点P的坐标为(1,1).②如图4,当EAFPAOEF时,2525FP.解得FP=5.此时点P的坐标为(5,1).考点伸展本题的题设部分有条件“Rt△ABC在直角坐标系内的位置如图1所示”,如果没有这个条件限制,保持其他条件不变,那么还有如图5的情况:第(1)题的结论m与n的数量关系不变.第(2)题反比例函数的解析式为12yx,直线AB为172yx.第(3)题FD不再与x轴平行,△AEO与△EFP也不可能相似.图52016中考数学压轴题函数相似三角形问题(二)例3如图1,已知梯形OABC,抛物线分别过点O(0,0)、A(2,0)、B(6,3).(1)直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标;(2)将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移,分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1,得到如图2的梯形O1A1B1C1.设梯形O1A1B1C1的面积为S,A1、B1的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2).用含S的代数式表示x2-x1,并求出当S=36时点A1的坐标;(3)在图1中,设点D的坐标为(1,3),动点P从点B出发,以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动,动点Q从点D出发,以与点P相同的速度沿着线段DM运动.P、Q两点同时出发,当点Q到达点M时,P、Q两点同时停止运动.设P、Q两点的运动时间为t,是否存在某一时刻t,使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由.图1图2动感体验请打开几何画板文件名“10义乌24”,拖动点I上下运动,观察图形和图像,可以体验到,x2-x1随S的增大而减小.双击按钮“第(3)题”,拖动点Q在DM上运动,可以体验到,如果∠GAF=∠GQE,那么△GAF与△GQE相似.思路点拨1.第(2)题用含S的代数式表示x2-x1,我们反其道而行之,用x1,x2表示S.再注意平移过程中梯形的高保持不变,即y2-y1=3.通过代数变形就可以了.2.第(3)题最大的障碍在于画示意图,在没有计算结果的情况下,无法画出准确的位置关系,因此本题的策略是先假设,再说理计算,后验证.3.第(3)题的示意图,不变的关系是:直线AB与x轴的夹角不变,直线AB与抛物线的对称轴的夹角不变.变化的直线PQ的斜率,因此假设直线PQ与AB的交点G在x轴的下方,或者假设交点G在x轴的上方.满分解答(1)抛物线的对称轴为直线1x,解析式为21184yxx,顶点为M(1,18).(2)梯形O1A1B1C1的面积12122(11)3()62xxSxx,由此得到1223sxx.由于213yy,所以22212211111138484yyxxxx.整理,得212111()()384xxxx.因此得到2172xxS.当S=36时,212114,2.xxxx解得126,8.xx此时点A1的坐标为(6,3).(3)设直线AB与PQ交于点G,直线AB与抛物线的对称轴交于点E,直线PQ与x轴交于点F,那么要探求相似的△GAF与△GQE,有一个公共角∠G.在△GEQ中,∠GEQ是直线AB与抛物线对称轴的夹角,为定值.在△GAF中,∠GAF是直线AB与x轴的夹角,也为定值,而且∠GEQ≠∠GAF.因此只存在∠GQE=∠GAF的可能,△GQE∽△GAF.这时∠GAF=∠GQE=∠PQD.由于3tan4GAF,tan5DQtPQDQPt,所以345tt.解得207t.图3图4考点伸展第(3)题是否存在点G在x轴上方的情况?如图4,假如存在,说理过程相同,求得的t的值也是相同的.事实上,图3和图4都是假设存在的示意图,实际的图形更接近图3.例4如图1,已知点A(-2,4)和点B(1,0)都在抛物线22ymxmxn上.(1)求m、n;(2)向右平移上述抛物线,记平移后点A的对应点为A′,点B的对应点为B′,若四边形AA′B′B为菱形,求平移后抛物线的表达式;(3)记平移后抛物线的对称轴与直线AB′的交点为C,试在x轴上找一个点D,使得以点B′、C、D为顶点的三角形与△ABC相似.图1动感体验请打开几何画板文件名“10宝山24”,拖动点A′向右平移,可以体验到,平移5个单位后,四边形AA′B′B为菱形.再拖动点D在x轴上运动,可以体验到,△B′CD与△ABC相似有两种情况.思路点拨1.点A与点B的坐标在3个题目中处处用到,各具特色.第(1)题用在待定系数法中;第(2)题用来计算平移的距离;第(3)题用来求点B′的坐标、AC和B′C的长.2.抛物线左右平移,变化的是对称轴,开口和形状都不变.3.探求△ABC与△B′CD相似,根据菱形的性质,∠BAC=∠CB′D,因此按照夹角的两边对应成比例,分两种情况讨论.满分解答(1)因为点A(-2,4)和点B(1,0)都在抛物线22ymxmxn上,所以444,20.mmnmmn解得43m,4n.(2)如图2,由点A(-2,4)和点B(1,0),可得AB=5.因为四边形AA′B′B为菱形,所以AA′=B′B=AB=5.因为438342xxy2416133x,所以原抛物线的对称轴x=-1向右平移5个单位后,对应的直线为x=4.因此平移后的抛物线的解析式为3164342,xy.图2(3)由点A(-2,4)和点B′(6,0),可得AB′=45.如图2,由AM//CN,可得''''BNBCBMBA,即2'845BC.解得'5BC.所以35AC.根据菱形的性质,在△ABC与△B′CD中,∠BAC=∠CB′D.①如图3,当''ABBCACBD时,55'35BD,解得'3BD.此时OD=3,点D的坐标为(3,0).②如图4,当''ABBDACBC时,5'355BD,解得5'3BD.此时OD=133,点D的坐标为(133,0).图3图4考点伸展在本题情境下,我们还可以探求△B′CD与△ABB′相似,其实这是有公共底角的两个等腰三角形,容易想象,存在两种情况.我们也可以讨论△B′CD与△CBB′相似,这两个三角形有一组公共角∠B,根据对应边成比例,分两种情况计算.2016中考数学压轴题函数相似三角形问题(三)例5如图1,抛物线经过点A(4,0)、B(1,0)、C(0,-2)三点.(1)求此抛物线的解析式;(2)P是抛物线上的一个动点,过P作PM⊥x轴,垂足为M,是否存在点P,使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似?若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;(3)在直线AC上方的抛物线是有一点D,使得△DCA的面积最大,求出点D的坐标.,图1动感体验请打开几何画板文件名“09临沂26”,拖动点P在抛物线上运动,可以体验到,△PAM的形状在变化,分别双击按钮“