§5-3定积分的换元法

§5-3定积分的换元法和分部积分法一、定积分的换元法二、定积分的分部积分法定理假设（1）)(xf在],[ba上连续；（2）函数)(tx在],[上是单值的且有连续导数；（3）当t在区间],[上变化时，)(tx的值在],[ba上变化，且a)(、b)(，则有dtttfdxxfba)()]([)(.一、定积分的换元法应用换元公式时应注意:求出)()]([ttf的一个原函数)(t后，不必象计算不定积分那样再要把)(t变换成原变量x的函数，而只要把新变量t的上、下限分别代入)(t然后相减就行了.（2）（1）用)(tx把变量x换成新变量t时，积分限也相应的改变.在使用定积分的换元公式时，要注意“换元同时要换限”．上一页下一页返回结束dxxx301uduuu2121238)31(2213uuududxux2,12则解：令;2,3;1,0uxux时当时当于是例1计算dxxx301上一页下一页返回结束202.2dxxex计算例202dxxex解：202221dxex2021ue)(2102ee)1(212e.，令ux200ux时，于是当22ux时，当dueu2021原式在例2中,被积函数的原函数可采用凑微分来计算,即202dxxex202221dxex20221xe)1(21)(21202eee．这时由于没有换元,也就不需要换限,这样计算更为简便.上一页下一页返回结束例3计算.sincos205xdxx)02(tx时，当220505coscossincosxxdxdxx解：015dtt1066t.61xtcos令)10(tx时，当例4当)(xf在],[aa上连续，且有①)(xf为偶函数，则aaadxxfdxxf0)(2)(；②)(xf为奇函数，则aadxxf0)(.证,)()()(00aaaadxxfdxxfdxxf在0)(adxxf中令tx,0)(adxxf0)(adttf,)(0adttf①)(xf为偶函数，则),()(tftfaaaadxxfdxxfdxxf00)()()(aaaaadttfdttfdttfdttfdttf00000)(2)()()()(②)(xf为奇函数，则),()(tftfaaaadxxfdxxfdxxf00)()()(0)()()()(0000aaaadttfdttfdttfdttf结论：设函数()fx在对称区间[-a,a]上连续，则：（1）当()fx为偶函数时，0()d2()daaafxxfxx；（2）当()fx为奇函数时，()0aafxdx.上一页下一页返回结束0cos1135xdxx01sin22234dxxxx例如，.设函数)(xu、)(xv在区间ba,上具有连续导数，则有bababavduuvudv.上式称为定积分的分部积分公式推导,vuvuuv,)(babauvdxuv,bababadxvudxvuuv.bababavduuvudv二、定积分的分部积分法上一页下一页返回结束0cos1xdxx计算例.0)(sinxxd00sinsinxdxxx0cos0x20coscos0cosxdxx解.上一页下一页返回结束exdxx1ln2例exdxx1ln解：exdx12ln21eexdxxx1212lnln21exdxe1221exe122412141412122ee)1(412e解：=例3计算.arcsin210xdx210arcsinxdx210arcsinxx21021xxdx621)1(112120221xdx1221021x.12312解令,arcsinxu,dxdv,12xdxdu,xv则dxxx1122.1定积分练习xdxxcos.2定积分20sincos.3xdxex定积分一：填空11cos.xdxA11sin.xdxxB11)(.dxeeCxx11)(.dxxeDx4.下列定积分等于零的是00e-1C二：计算ex14)(ln41edxxx13ln.1eexxddxxx1313lnlnln解：41)(ln4114exdxxx1145.2dxxx1145解：)5(412tx令1324)5(21tdttt133132)35(81)5(81ttdtt61102)1ln(2.3dxxx102)1ln(2dxxx解：)1()1ln(1022xdxttdxt212ln1令tdtt2121ln12ln2