2013年上海理工大学大学物理竞赛试题(含部分答案)

12013年上海理工大学大学物理竞赛试题姓名：学号：班级：任课老师：得分：1.一质量为m的物体，以初速度为V0的速度竖直上抛，物体受到的阻力与速度大小成正比，方向与速度相反，比例系数为K，求：该物体能够到达的最大高度和回到出发点的速度。（本题10分）2.一质点沿光滑的抛物线xy22无初速地滑下，质点初始坐标为(2，2)，求质点脱离抛物线处的坐标。（本题10分）3.设一动力暖气装置由一台卡诺热机和一台卡诺致冷机组合而成．热机靠燃料燃烧时释放的热量工作并向暖气系统中的水放热，同时，热机带动致冷机．致冷机自天然蓄水池中吸热，也向暖气系统放热．假定热机锅炉的温度为t1=210℃，天然蓄水池中水的温度为t2=15℃，暖气系统的温度为t3＝60℃，热机从燃料燃烧时获得热量Q1=2.1×107J，计算暖气系统所得热量。（本题10分）4.用热力学第二定律证明，绝热线和等温线不可能有两个交点。（本题5分）5.如图，电流从内部开始沿第一根导线顺时针通过后，紧挨着沿第二根逆时针返回，如此由内到外往返．最后一根导线中的电流沿(1)逆时针方向(2)顺时针方向，设导线中的电流强度为I，R远大于导线的直径．求(1)、(2)两种情况下，O点处的磁感强度B的大小与方向。（本题10分）6.一底面半径为R的圆锥体，锥面上均匀带电，电荷面密度为σ，设无穷远处为零电势点，试求锥顶点O处的电势值。（本题10分）7.如图所示，半径为R的均匀带电球面，带有电荷q．沿某一半径方向上有一均匀带电细线，电荷线密度为，长度为l，细线左端离球心距离为r0．设球和线上的电荷分布不受相互作用影响，试求细线所受球面电荷的电场力和细线在该电场中的电势能(设无穷远处的电势为零)。（本题10分）8.已知粒子1和粒子2质量都为m0，粒子1静止，粒子2以速度v0与粒子1发生弹性碰撞，（1）若碰撞是斜碰，考虑相对论效应，试论证两粒子碰撞之后速度方向的夹角是锐角、直角还是钝角，如果不考虑相对论效应结果又如何？（2）若碰撞是正碰，考虑相对论效应，试求碰撞后两粒子的速度。（本题10分）r0lqROOR2RI29.如图(a)所示，长为L的均匀杆，质量为m，静止在水平面上，可绕通过左端O的竖直光滑轴转动。一质量为m0＝m/3的小球以速度v0在水平面上垂直击杆于P点，并以速度v＝v0/3反弹回。设OP＝3L/4，杆与水平面间的摩擦系数为μ。求：(1)杆开始转动时的角速度；(2)杆受摩擦力矩的大小；(3)从杆开始转动到静止的过程中摩擦力矩做的功；(4)杆从开始转动到静止所转过的角度和经历的时间。（本题15分）10.如题所示，一质量为m半径为R的由绝缘材料制成的薄球壳，均匀带正电，电荷量为Q，球壳下面有与球壳固连的底座，底座静止在光滑的水平面上，球壳内部有一劲度系数为k的轻弹簧（质量不计），弹簧始终处于水平位置，其一端与球壳内壁固连，另一端恰位于球心处，球壳上有一小孔C，小孔位于过球心的水平线上，在此水平线上离球壳很远的O处有一质量为m的电荷量也为Q的带正电的点电荷P，它以足够大的初速度V0沿水平的OC方向开始运动，并知P能通过小孔C进入球壳内，不考虑重力和底座的影响，求P刚进入C孔到刚再由C孔出来经历的时间。（本题20分）11.设空间存在三个相互垂直的已知场：电场强度为E的匀强电场，磁感应强度为B的匀强磁场和重力加速度为g的重力场。一质量为m、电荷量为q的带正电的质点在此空间运动，已知在运动过程中，质点速度的大小恒定不变。(i)试通过论证，说明此质点作何种运动（不必求出运动的轨迹方程）。(ii)若在某一时刻，电场和磁场突然全部消失，已知此后该质点在运动过程中的最小动能为其初始动能（即电场和磁场刚要消失时的动能）的一半，试求在电场、磁场刚要消失时刻该质点的速度在三个场方向的分量。（本题10分）3部分解答5解∶设半圆形导线来回往返共N次，因为第一根是顺时针的，若最后一根逆时针，则有N／2根逆时针，N／2根顺时针．若最后一根顺时针，则有(N－1)／2根逆时针，(N＋1)／2根顺时针．(1)外一根为逆时针的情况，r→r+dr内单说逆时针或单说顺时针的电流为rRNIId2d它们在O点产生的磁场rrRINrIBd84dd002分∴RNRRNRRRBBB2//2ddRNRRRIN/2ln80NRRRRIN/2ln80]2/11ln)211(2[ln80NNRIN)]11ln()211[ln(80NNRIN3分∵221)1ln(xxx…∴NNNNN21121)]11ln()211ln(∴RIB1601分方向1分(2)最外一根为顺时针的情况，NRRNRRRRBBB/2/2dd)//2ln2(ln80NRRNRRRIN)]211ln()11[ln(80NNRIN3分)211(80NNRINRI16301分方向1分以顶点O作坐标原点，圆锥轴线为z轴，向下为正．在任意位置z处取高为dz的小圆环，其面积为zzzrSdcostg2cosd2d3分4其上电荷zzSqdcostg2dd它在O点产生的电势为zqUdtg2cosz4dd004分总电势0002dtg2dRzUUh3分设x轴沿细线方向，原点在球心处，在x处取线元dx，其上电荷为xqdd，该线元在带电球面的电场中所受电场力为：dF=qdx/(40x2)3分整个细线所受电场力为：lrrlqxxqFlrr000204d4002分方向沿x正方向．电荷元在球面电荷电场中具有电势能：dW=(qdx)/(40x)3分整个线电荷在电场中具有电势能：0000ln4d400rlrqxxqWlrr2分假设碰撞后球1和球2的速度方向之间的夹角为（见图），则由能量守恒和动量守恒可得22220000102mcmcmcmc（1）2220000110220110222cosmmmmmvvvvv（2）其中022011/cv，122111/cv，222211/cv．由（1）、（2）式得2101（3）2222012121212(/)coscvv（4）由（3）、（4）式得222220121212121212111cos02()()()ccvvvv（5）π2（6）即为锐角．在非相对论情况下，根据能量守恒和动量守恒可得ORxr0r0+ldxx52202100212121vvvmmm20（7）22200010201022cosmmmmmvvvvv（8）对斜碰，1v的方向与2v的方向不同，要同时满足（1）和（2）式，则两者方向的夹角π2（9）即为直角．2．根据能量守恒和动量守恒可得22220000222222012111mcmcmcmccccvvv（10）000102222222012111mmmcccvvvvvv（11）令022011/cv，122111/cv，222211/cv则有：20011/cv，21111/cv，22211/cv代入（10）、（11）式得2101（12）111222120（13）解（12）、（13）两式得1102（14）或0121（15）即10v，20vv（16）（或10vv，20v，不合题意）9.解(1)设球与杆碰撞时的相互作用力为F和F′，如图(b)所示；碰撞后杆的角速度为ω0，则对球应用动量定理，有∫Fdt＝m0v－(－m0v0)(1)对杆应用角动量定理，碰撞瞬间忽略杆与水平面的摩擦力矩(因为M摩3L4F′)，则有6∫Mdt＝∫3L4F′dt＝Jω(2)又F′＝F，J＝13mL2，代入(1)，(2)两式得m0(v＋v0)＝43LJω，ω＝3L4Jm0(v＋v0)＝v0L事实上，碰撞瞬间小球、细杆系统对O轴的角动量守恒，即有3L4mv0＝－3L4mv＋Jω同样可求得ω。(2)如图(c)，在杆上距O轴为l处取质元dm＝mLdl，dm受摩擦力df＝μgdm，df对O轴的力矩为dM＝ldf＝μmgLldl所以摩擦力矩M＝∫dM＝μmgL0Lldl＝12μmgL(3)由刚体转动的动能定理可知，摩擦力矩做的功等于杆的转动动能的增量.得ΔEk＝0－12Jω2＝－16mv20(4)由ΔEk＝∫－Mdθ＝－0θ12μmgLdθ＝－12μmgLθ，得杆转过的角度：θ＝－2ΔEkμmgL＝v203μgL又由角动量定理∫Mdt＝MΔt＝Jω得Δt＝JωM＝2v03μg或由匀变速转动公式，有Δθ＝θ－0＝ω－Δt＝ω2Δt同样可得Δt＝2θω＝2v03μg10，解：7811.参考解答：(i)在空间取如图所示的直角坐标Oxyz，Ox轴沿电场方向，Oy轴沿磁场方向，Oz轴与重力方向相反。因为磁场作用于质点的洛仑兹力与磁场方向垂直，即在Oxz平面内；作用于质点的电场力和重力也在Oxz平面内，故质点在y方向不受力作用，其速度沿y方向的分速度的大小和方向都是不变的。根据题意，质点速度的大小是恒定不变的，而磁场作用于质点的洛仑兹力对质点不做功，故质点的速度沿垂直磁场方向的分速度的大小一定也是恒定不变的，故此分速度必须与电场力和重力的合力垂直。由于电场力和重力的合力的方向是不变的，故此分速度的方向也是不变的。由此可得到结论：质点速度的方向也是不变的，即质点在给定的场中做匀速直线运动，其轨迹是直线，在Oxz平面内，与电场力和重力的合力垂直。(ii)质点作匀速直线运动表明电场、磁场和重力场对质点作用力的合力F等于0。设存在电场、磁场时质点速度的大小为v0，它在坐标系中的三个分量分别为v0x、v0y和v0z，这也就是在电场、磁场刚要消失时质点的速度在三个场方向的分量，以Fx、Fy和Fz分别表示F在坐标标系中的分量，则有Fx=qE−qv0zB=0(1)Fy=0(2)Fz=−mg+qv0xB=0(3)由(1)、(3)式得BEvz0(4)qBmgvx0(5)若知道了粒子的速率v0，粒子速度的y分量为20202020zxyvvvv(6)因为电场和磁场消失后，粒子仅在重力作用下运动，任何时刻t质点的速度为vx=v0x(7)vy=v0y(8)vz=v0z−gt(9)当vx等于0时，粒子的动能最小，这最小动能)(212020minkyxvvmE(10)根据题意有)21(2120minkmvE(11)由(10)、(11)式得)(2202020yxvvv(12)由(4)、(5)、(6)、(12)各式得220)()(1mgqEqBvy(13)评分标准：本题16分。第(i)小问4分。通过论证得到质点作匀速直线运动的结论得4分。第(ii)小问12分。(4)式3分，(5)式3分，求得(13)式6分。