2015年上海市初三数学竞赛(大同中学杯)(原新知杯)试题答案

1/52015年上海市初三数学竞赛（大同中学杯）一、填空题．（每题10分，共80分）1.已知AB是圆O的直径，1AB，延长AB到点C，使得1BC，CD是圆O的切线，D是切点，则ABD的面积为______．【解析】连OD，过D作AB的垂线，垂足为H，1AB，1BC，CD是圆O的切线，12OD，32OC，2CD，23DH，122236ABDS．2.有编号分别为1，2，3，4，5，6，7的7个大小相同的小球，从中任取3个小球，则取出的3个小球的编号和为奇数的概率为______．【解析】奇数4个，偶数3个，3奇或者1奇2偶两种情况，312443371635CCCC．3.实数x，y满足234xy，234yx，xy，则xyyx的值为______．【解析】作差得：30xyxy3xy，代入得：2310xx，2310yy，由韦达定理：1xy，225xyxyxyyxxy．4.若三个素数的乘积恰好等于它们和的23倍，则这三个素数为________．【解析】设23abcabc，23a，23bcbc，1124bc，设bc，1b从1，2，3，4中取得，代入验证得：,,23,3,13abc或23,5,7．ABCDOABCDOH2/55.如图，圆1O与圆2O外切于点P，从圆1O上点A作圆2O的切线AB，B是切点，连接AP并延长，与圆2O交于点C，已知圆1O、圆2O的半径分别为2、1，则ACAB______．【解析】连O1O2，O1A，O2C，作两圆的公切线DE，1222OAPEDPCO，又12APOCPO，12APOCPO∽，122AOAPPCCO，由切割线定理得：2ABAPAC，62ACAB．6.如图，在平面直角坐标系xOy中，MON的两边分别是射线0yxx与x轴正半轴，点6,5A、10,2B是MON内的两个定点，点P、Q分别是MON两边上的动点，则四边形ABQP周长的最小值是______．【解析】作A关于yx的对称点A1，作B关于x轴的对称点B1，1111AQQPPBAQQPPBAB，1(5,6)A，1(10,2)B，1189AB．ABCO1PO2xBAMPyOQNxBAMPyOQNA1B1ABCO1PO2DE3/57.不定方程2222xyxyxy的整数解,xy共有______组．【解析】222228xyxy，22x，x从0，1，2，3，4中取得，,0,00,22,02,44,24,4xy、、、、、，共6组．8.假设a是给定的正实数，n是给定的大于1的整数，实数1x，2x，…，nx满足等式22212nxxxa，则2222212131232nnxxxxxxxxxx21nnxx的最大值为______．【解析】原式2221212132324112nnnnxxxxxxxxxxxxx1naana二、解答题．（第9、10题，每题15分，第11、12题，每题12分，共70分）9.如图，在ABC中，BCa，CAb，60ACB，ABD是正三角形，P是其中心，求CP的长度．【解析】连AP，BP，60ACB，ABD是正三角形，P是其中心，120APB，ACBP四点共圆，由托勒密定理：APBCACPBABPC，解得：33CPab．10.在1，2，…，2015这2015个正整数中选出k个数，使得其中任意两个不同的数的和都不是50的倍数，求k的最大值．【解析】将2015个数按模50余数分成50组，余1编号为1组，余2编号为2组，…余49编号为49组，余0编号为50组，则1~15组每组41个数，16~50组每组40个数，考虑最多的取法：1组的数与49组的数不可同时取，考虑1组的数更多，取1组，同理：2组与48组取2组，…15组与35组取15组，ACBPDACBPD4/516组与34组任取一组，不妨取16便于计算，…，24组与26组取24组，25组与50组每组分别最多取一个，k最大可取15419402977．11.已知ABC的三边均为正整数，周长为35，G和I分别为ABC的重心和内心，且90GIC，求边AB的长度．【解析】连AG并延长，交BC于F，双向延长GI交AC、BC于E、D，过I作AC、BC的垂线，垂足为J、H，由梅涅劳斯定理：1AECDFGECDFGAG和I分别为ABC的重心和内心，90GIC，CECD，2AGGF，2AEDF，12bAEaDF，解得：1136DFba，2133AEba，3abCDCECECDCECDACBCACBCAB，解得：635abab，有对称性不妨设ab，35635bab，35635abaa，3563a，则a在6，7，8，9，10，11中取得，代入得：,10,14ab，15AB．12.设a、b是正整数，22ab不是4的倍数，求证：357abab不是完全平方数．【解析】22ababab，a，b为一个奇数一个偶数，设21am，2bn，m、n为正整数，则35726110145ababmnmn261265mod8mnmn15mod8或37mod85mod8而完全平方数模8余0、1、4，矛盾；ABCIG···ABCIGDFHEJ5/5设2am，21bn，m、n为正整数，同理可推出矛盾，故命题得证．免责声明：试题来源于网络，仅为个人收藏，分享知识，如有侵权，请联系进行删除。